paper
This commit is contained in:
Horldsence
@@ -0,0 +1,596 @@
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% 2026 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛论文（B 题）
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% 编译：latexmk -xelatex -outdir=build main.tex
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% （或 xelatex main.tex 连续编译两遍）
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% 规范要点（附件3，2026 年修订稿）：
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% 1. A4 纸，上下左右页边距至少 2.5cm；
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% 2. 纸质版第一页承诺书、第二页编号专用页；
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% 3. 摘要专用页含标题与关键词，不超过一页；页码从摘要页起，
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% 页脚中部阿拉伯数字从 1 连续编号；
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% 4. 正文不要目录，不超过 30 页；之后为附录（页数不限）；
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% 5. 摘要页、正文、附录中不得出现参赛者身份、学校、赛区信息；
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% 6. 电子版第一页必须为摘要专用页（不含承诺书与编号专用页）。
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\documentclass[zihao=-4,a4paper]{ctexart}
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% ---------- 电子版 / 纸质版切换 ----------
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% 电子版（默认）：第一页即摘要专用页，不包含承诺书与编号专用页；
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% 纸质版打印：将下面 \paperfalse 改为 \papertrue，会自动加入
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% 承诺书（第 1 页）与编号专用页（第 2 页），页码仍从摘要页开始。
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\newif\ifpaper
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\paperfalse
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% ---------- 页面与基础宏包 ----------
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\usepackage[left=2.5cm,right=2.5cm,top=2.5cm,bottom=2.5cm]{geometry}
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\usepackage{amsmath,amssymb,bm}
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\usepackage{graphicx}
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\usepackage{booktabs,array,multirow,longtable}
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\usepackage[font=small,labelsep=quad]{caption}
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\usepackage{xcolor}
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\usepackage{listings}
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\usepackage{enumitem}
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\usepackage[hidelinks]{hyperref}
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% ---------- 字体设置（使用本目录 fonts/ 下复制的字体，工程自包含） ----------
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% 中文正文：宋体（Songti SC）；标题/强调：黑体（Heiti SC）
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% 西文与数字：Times New Roman
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% 若在 Windows 下编译且未携带 fonts/ 目录，可改用中易宋体/黑体：
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% \setCJKmainfont{SimSun} \setCJKsansfont{SimHei} \setmainfont{Times New Roman}
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\setmainfont{Times New Roman}[
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Path = fonts/, Extension = .ttf,
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BoldFont = {Times New Roman Bold},
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ItalicFont = {Times New Roman Italic},
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BoldItalicFont = {Times New Roman Bold Italic},
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]
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\setCJKmainfont{SongtiSC}[
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Path = fonts/, Extension = .ttf,
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UprightFont = SongtiSC-Regular,
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BoldFont = SongtiSC-Bold,
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ItalicFont = SongtiSC-Regular,
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BoldItalicFont = SongtiSC-Bold,
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]
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\setCJKsansfont{HeitiSC}[
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Path = fonts/, Extension = .ttf,
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UprightFont = HeitiSC-Light,
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BoldFont = HeitiSC-Medium,
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]
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\setCJKmonofont{SongtiSC}[Path = fonts/, Extension = .ttf, UprightFont = SongtiSC-Regular]
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\setCJKfamilyfont{zhsong}{SongtiSC}[Path = fonts/, Extension = .ttf, UprightFont = SongtiSC-Regular, BoldFont = SongtiSC-Bold]
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\setCJKfamilyfont{zhei}{HeitiSC}[Path = fonts/, Extension = .ttf, UprightFont = HeitiSC-Light, BoldFont = HeitiSC-Medium]
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\setCJKfamilyfont{zhkai}{SongtiSC}[Path = fonts/, Extension = .ttf, UprightFont = SongtiSC-Regular]
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% ---------- 标题层级：一级四号黑体居中，二级小四黑体左对齐 ----------
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\ctexset{
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section = {
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format = {\centering\heiti\zihao{4}},
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aftername = {\quad},
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beforeskip = {1.2ex plus 0.3ex},
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||||
afterskip = {1.0ex plus 0.2ex},
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},
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subsection = {
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format = {\heiti\zihao{-4}},
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||||
aftername = {\quad},
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||||
beforeskip = {1.0ex plus 0.2ex},
|
||||
afterskip = {0.8ex plus 0.2ex},
|
||||
},
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||||
subsubsection = {
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format = {\heiti\zihao{-4}},
|
||||
aftername = {\quad},
|
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},
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}
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\linespread{1.4}
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\setlength{\parskip}{0.3ex}
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\setlength{\emergencystretch}{3em}
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% 规范：页码位于页脚中部，阿拉伯数字从摘要页 1 开始连续编号
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\pagestyle{plain}
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% ---------- 草稿批注宏（定稿前必须全部删除或落实） ----------
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\newcommand{\todonote}[1]{\textcolor{red}{【#1】}}
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% ---------- 代码排版设置（附录） ----------
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\lstset{
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language=Python,
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basicstyle=\ttfamily\zihao{-5},
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keywordstyle=\bfseries,
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commentstyle=\color{black!60},
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stringstyle=\color{black!60},
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||||
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||||
numberstyle=\tiny\color{black!50},
|
||||
frame=single,
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||||
framerule=0.3pt,
|
||||
rulecolor=\color{black!40},
|
||||
tabsize=4,
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||||
}
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% ---------- 常用数学简写 ----------
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\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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\newcommand{\diff}{\,\mathrm{d}}
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\begin{document}
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% ============================================================
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% 纸质版专用页（电子版不编译）
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% 注意：承诺书与编号专用页的正式文字以组委会当年发布的专用页为准，
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% 此处为占位排版。电子版必须不含本部分。
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\ifpaper
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\thispagestyle{empty}
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\begin{center}
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{\heiti\zihao{2} 承\ 诺\ 书}
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\end{center}
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\vspace{1em}
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\todonote{纸质版承诺书：请将组委会当年发布的专用页原文粘贴于此（含编号、
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队员信息表与全体队员签名、日期）。电子版论文不得包含本页。}
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\vspace{2em}
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\begin{center}
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||||
{\heiti\zihao{2} 编号专用页}
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\end{center}
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\vspace{2em}
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\begin{center}
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||||
{\zihao{4} 报名号：\rule[-2pt]{8cm}{0.4pt}}
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\end{center}
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\todonote{纸质版编号专用页：仅填写报名号，不得出现姓名、学校、赛区等信息。}
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\clearpage
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\fi
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% ============================================================
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% 摘要专用页（电子版第一页；页码从此页开始编号）
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\setcounter{page}{1}
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\begin{center}
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{\heiti\zihao{3} 基于有界误差交会定位与覆盖证明搜索的\\[0.3em]
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无线电干扰源快速定位与清除}
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\end{center}
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\vspace{0.8em}
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\begin{center}
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{\heiti\zihao{4} 摘\quad 要}
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\end{center}
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针对无线电干扰源的快速自动定位与清除问题，本文以测向观测的三值反馈
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\texttt{no\_signal}、\texttt{near}、\texttt{direction} 为唯一信息来源，建立了
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\textbf{有界误差交会定位—主动选点—覆盖证明搜索—动作耗时调度}的统一框架：四个问题
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复用同一几何内核，以覆盖证明与严格停止条件保证“清除所有干扰源”这一硬约束，
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在此之上再优化时间指标。
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\textbf{针对问题~1}，将 $\pm 1^{\circ}$ 有界误差下的测向观测建模为以检测点为顶点的
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前向角域 $W_i$，交会定位区域即诸角域的半平面交 $P=\bigcap_i W_i$，给出定位区域直径
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$D(P)=\max_{i,j}\|v_i-v_j\|$ 的顶点对枚举算法，并处理空集、单点、线段与无界区域等
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退化情形。对“直径为 $D$ 的圆能否覆盖区域”，以等边三角形给出否定反例，进而给出
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只需检查一组最远顶点对的覆盖判定算法；以最小包围圆半径 $\rho(K)\le 20$ 米作为
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可保证清除的充分判据，采用 Welzl 随机增量算法求解并以枚举法对照。对官方演练的
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三点观测离线复算，$\delta=1^{\circ}$ 时 $D=23.9967$ 米、$\rho=12.0686$ 米：
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直径圆不覆盖定位区域，但存在一点可保证清除。
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\textbf{针对问题~2}，首次测向后取候选集合
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$K_1=\Omega\cap W(s_1,\theta_1\pm\delta)\cap \overline{B}(s_1,1500)$，并给出安全
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候选区域恒非空的解析证明：记 $a=R/(2\cos\delta)$、$c=s_1+a\bm{u}$，则
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$K_1\subseteq B(c,a)$，从而 $B(c,1000-a)\subseteq\mathcal{Q}$（$\delta=1^{\circ}$
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时安全圆盘半径约 $249.88$ 米）。在安全区域内以“最坏后验包围圆半径”为主目标、
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移动与检测成本为次目标主动选取第二检测点，交会角仅作同分筛选指标。
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\textbf{针对问题~3}，建立以虚拟时间
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$T=L/5+N_{\mathrm{switch}}+5N_{\mathrm{measure}}+5N_{\mathrm{clear}}^{\mathrm{s}}
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+3N_{\mathrm{clear}}^{\mathrm{f}}$
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为目标的全向源搜索清除模型。构造间距 $700$ 米的 $7\times 7=49$ 点覆盖基线，由
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$700\sqrt{2}\approx 989.95<1000$ 米证明任何位置的源均能被某格点发现，从而保证
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不漏源；维护逐频道覆盖记录与“发现—定位—清除”闭环，给出严格停止条件与请求数
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预算控制。\todonote{演练统计值待填入}
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\textbf{针对问题~4}，将定向源建模为位置—半径—朝向的联合假设：\texttt{no\_signal}
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不单独删除空间候选点，避免误删真源；证明 $49$ 点覆盖基线对定向源仍然有效。对再次
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失去信号的源，给出候选集合的 $20$ 米网格有限圆盘覆盖后备清除方法及请求次数上界
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$N\le(\lceil w/20\rceil+2)(\lceil h/20\rceil+2)$，并纳入现实时间预算约束。
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\todonote{演练统计值与正式测试结果（表~1）待填入}
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最后对模型的保守性与效率进行评价：几何内核可复用、覆盖保证可验证；局限在于
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主动选点为采样启发式、后备清除请求数较大，可通过共享测点与自适应覆盖加速。
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\vspace{0.8em}
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\noindent{\heiti 关键词：}交会定位；半平面交；最小包围圆；覆盖证明；主动选点；动作调度
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\clearpage
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% 正文（不超过 30 页，不要目录）
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\section{问题重述}
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\subsection{问题背景}
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无线电干扰源的定位与清除是无线电频谱管理的重要任务。精准定位阶段需要携带便携式
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测向机的人员（本题中为搭载测向机的机器狗）进入目标分布区域，通过逐点检测示向度
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逐步定位干扰源并加以清除。目标区域为半径 $1800$ 米的圆形区域
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$\Omega=\{(x,y):x^2+y^2\le 1800^2\}$，干扰源按覆盖角度范围分为全向与定向两类，
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其有效接收半径在 $1000$ 至 $1500$ 米之间，频道位于 $1$ 至 $20$ 中且互不相同。
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测向机同一地点的检测误差固定，全局误差在 $[-1^{\circ},1^{\circ}]$ 内；机器狗移动
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速度为 $5$ 米/秒，检测耗时 $5$ 秒，频道切换耗时 $1$ 秒，光学精确定位与清除分别在
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距离不超过 $20$ 米时进行，耗时 $3$ 秒与 $2$ 秒。
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\subsection{待解决的问题}
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\begin{enumerate}[label=（\arabic*）,leftmargin=3em]
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\item \textbf{问题~1}：已知若干检测点坐标及某干扰源在各点的示向度，给出交会定位法
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计算多边形定位区域直径的算法，并回答“以定位区域直径为直径的圆能否覆盖此
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定位区域”。
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\item \textbf{问题~2}：已知某全向干扰源在一个检测点处测得的示向度，给出第二个
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检测点的选择策略与候选区域，以获得较好的定位效果。
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||||
\item \textbf{问题~3}：目标区域中全向干扰源总数为 $10$--$16$ 个但具体个数未知，
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制定机器狗自动搜索定位及清除策略并设计算法，确保全部清除的前提下时间最短，
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通过模拟器演练并给出清除比例、平均定位清除时间等统计值与三次正式测试结果。
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\item \textbf{问题~4}：目标区域中同时存在全向与定向干扰源，总数与定向方向均未知，
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给出检测与清除策略及算法，并完成演练与三次正式测试。
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||||
\end{enumerate}
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\section{问题分析}
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四个问题构成一条递进的主线：问题~1 的交会定位几何是全部后续问题的基础；问题~2 在
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单次观测下研究“下一步去哪里测”的主动测量设计；问题~3、问题~4 则是在数量未知的
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条件下，把定位几何组织成“全域覆盖发现—逐个定位—清除—证明完成”的闭环调度问题。
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因此不必为每问单独建模，而是复用同一几何内核与观测更新机制。
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\textbf{问题~1 的分析}。误差有界意味着单次测向只能确定源位于以示向度方向为轴、
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半角 $1^{\circ}$ 的前向角域内；多检测点角域的交集即为定位区域。求交即半平面交，
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是经典计算几何问题；直径在凸多边形顶点上取得，可用顶点对枚举求得。“直径圆能否
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覆盖区域”需要区分“直径”与“外接”两个概念，等边三角形说明直径圆一般不覆盖，
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正确的保证清除工具是最小包围圆。
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\textbf{问题~2 的分析}。第二检测点的选取是在目标位置未知条件下的主动测量设计：
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无论真实源位于当前候选集合何处，新检测点都必须保证能接收到信号（距离不超过其有效
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接收半径），否则该次检测将退化为无效动作。因此先构造保守候选集合，再解析证明存在
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“任何情况下都接收到信号”的安全区域，在安全区域内按最坏情形的后验包围半径最小化
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选取检测点。
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\textbf{问题~3 的分析}。全清是硬约束：发现 $10$ 个源或连续多次无信号都不构成停止
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依据。需要一组对任何源位置都能保证“至少一个检测点落在其有效接收范围内”的覆盖点集，
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并对每个频道维护覆盖记录，使“未发现”严格等价于“已证明不存在”。在该保证之上，
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用虚拟时间公式统一度量移动、切换、检测与清除成本，安排发现与处理的调度。
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\textbf{问题~4 的分析}。定向源的发射半平面使得“无信号”不能单独否定位置假设：
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源可能恰在检测点背后发射。把观测视为对“位置—半径—朝向”联合假设的约束即可保持
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不漏源的保守性；同时证明覆盖基线对定向源依然成立，失去信号后的已定位源可用有限
|
||||
圆盘覆盖逐点清除作为后备。
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||||
\section{模型假设}
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||||
\begin{enumerate}[label=\arabic*.,leftmargin=2.5em]
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||||
\item 示向度误差满足 $|\varepsilon|\le 1^{\circ}$，且同一检测点重复检测误差不变；
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||||
仅在不同地点误差才呈现统计规律（题设）。本文取有界误差模型，不假设误差的
|
||||
分布形式。
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||||
\item 每个频道至多存在一个干扰源，源总数为 $10$--$16$，频道编号 $1$--$20$；
|
||||
不同源信号互不影响（题设）。
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||||
\item 各源有效接收半径未知但属于 $[1000,1500]$ 米；信号场强仅随距离衰减，
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||||
与角度无关（题设）。
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||||
\item 定向源有效覆盖角度为定向方向两侧各 $90^{\circ}$（含边界）；光学精确定位与
|
||||
清除只依赖距离、不受覆盖角度限制（题设）。
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||||
\item 策略仅依赖接口返回的三值观测（\texttt{no\_signal}、\texttt{near}、
|
||||
\texttt{direction} 及示向度读数），不引入场强、距离等接口未提供的观测量
|
||||
（工程约定）。
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||||
\item 机器狗沿直线匀速行进、停机检测，虚拟时间按题设动作耗时累计；程序运行时间
|
||||
与虚拟时间相互独立（题设）。
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\section{符号说明}
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||||
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||||
\begin{table}[htbp]
|
||||
\centering
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||||
\caption{主要符号说明}
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||||
\label{tab:symbols}
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||||
\begin{tabular}{cl}
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||||
\toprule
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||||
符号 & 说明 \\
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||||
\midrule
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||||
$\Omega$ & 目标区域 $\{(x,y):x^2+y^2\le 1800^2\}$（米） \\
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||||
$R_c$ & 干扰源 $c$ 的有效接收半径，$R_c\in[1000,1500]$ 米 \\
|
||||
$\delta$ & 示向度误差界，$\delta=1^{\circ}$ \\
|
||||
$s_i,\ \theta_i$ & 第 $i$ 个检测点坐标及其测得的示向度读数 \\
|
||||
$W_i$ & 检测点 $s_i$ 处的前向角域 $[\theta_i-\delta,\theta_i+\delta]$ \\
|
||||
$P$ & 交会定位区域（诸角域的半平面交） \\
|
||||
$D(P)$ & 定位区域 $P$ 的直径 \\
|
||||
$K$ & 某频道源的可能位置候选集合 \\
|
||||
$\rho(K)$ & $K$ 的最小包围圆半径 \\
|
||||
$\mathcal{Q}$ & 第二检测点的安全候选区域 \\
|
||||
$L$ & 机器狗移动总路程（米） \\
|
||||
$N_{\mathrm{switch}},N_{\mathrm{measure}},N_{\mathrm{clear}}$ & 频道切换、检测、清除动作次数 \\
|
||||
$T$ & 完成任务的虚拟总时间（秒） \\
|
||||
\bottomrule
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{table}
|
||||
|
||||
\section{问题~1：有界误差交会定位模型}
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||||
|
||||
\subsection{测向误差的前向角域建模}
|
||||
|
||||
设第 $i$ 个检测点 $s_i$ 处测得示向度 $\theta_i$。由假设~1，真实方位角位于
|
||||
$[\theta_i-\delta,\theta_i+\delta]$ 内，故源必然落在以 $s_i$ 为顶点、以该方向区间
|
||||
为边界的前向角域
|
||||
\begin{equation}
|
||||
W_i=\bigl\{s_i+t\,(\cos\varphi,\sin\varphi):t\ge 0,\ \varphi\in[\theta_i-\delta,\theta_i+\delta]\bigr\}
|
||||
\label{eq:wedge}
|
||||
\end{equation}
|
||||
内。$W_i$ 由两条过 $s_i$ 的线性不等式表示，实现时须正确处理 $0^{\circ}/360^{\circ}$
|
||||
跨界。示向度读数保留两位小数时，可取 $\delta=1.005^{\circ}$ 作保守裕量；本文推导
|
||||
对任意 $\delta\in(0,45^{\circ})$ 成立。
|
||||
|
||||
\subsection{定位区域：角域的半平面交}
|
||||
|
||||
交会定位区域为
|
||||
\begin{equation}
|
||||
P=\bigcap_i W_i .
|
||||
\label{eq:polygon}
|
||||
\end{equation}
|
||||
求各边界直线交点并筛除不可行点，再按极角排序即得凸多边形 $P$。算法必须区分五种
|
||||
情形：空集（观测矛盾，应核查频道与数据）、单点、线段、有界多边形与无界区域；
|
||||
对无界区域不能截断后声称得到真实直径。
|
||||
|
||||
\subsection{定位区域直径的算法}
|
||||
|
||||
凸函数 $\|x-y\|$ 的最大值在紧凸集的极点处取得，故当 $P$ 为有界多边形
|
||||
$P=\mathrm{conv}\{v_1,\dots,v_n\}$ 时
|
||||
\begin{equation}
|
||||
D(P)=\max_{1\le i<j\le n}\|v_i-v_j\| .
|
||||
\label{eq:diameter}
|
||||
\end{equation}
|
||||
$n$ 很小（等于检测点数的常数倍），直接枚举顶点对即可，复杂度 $O(n^2)$，结果可靠；
|
||||
规模确有需要时可换用旋转卡壳算法 $O(n)$\cite{preparata,toussaint,mcgill}。本文以
|
||||
顶点对枚举为基准实现，旋转卡壳仅作对照。
|
||||
|
||||
\subsection{直径圆能否覆盖定位区域}
|
||||
|
||||
\textbf{结论：不一定。}反例：边长为 $D$ 的等边三角形，其直径为 $D$，但最小包围圆
|
||||
半径为 $D/\sqrt{3}>D/2$，直径圆不能覆盖三角形区域。
|
||||
|
||||
直径圆覆盖判定可一次完成：设 $A,B$ 为 $P$ 的一对最远顶点，$\|A-B\|=D$。若存在直径
|
||||
为 $D$ 的圆覆盖 $P$，其圆心必为 $(A+B)/2$（因该圆须同时包含相距 $D$ 的两点）。故
|
||||
只需检查全部顶点到 $(A+B)/2$ 的距离是否不超过 $D/2$；若失败，换任何一组直径对也
|
||||
不可能成功，同时输出最坏超出距离与圆外顶点作为反例证据。
|
||||
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||||
\subsection{最小包围圆与可保证清除}
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||||
定位的最终目的是清除：清除半径为 $20$ 米，故正确判据是最小包围圆
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||||
\begin{equation}
|
||||
\rho(K)=\min_{z}\max_{g\in K}\|g-z\|\le 20 .
|
||||
\label{eq:mec}
|
||||
\end{equation}
|
||||
$\rho(K)\le 20$ 时，最小包围圆圆心即可作为清除点；更一般地，所有可保证清除的位置
|
||||
组成 $C_{20}(K)=\bigcap_{g\in K}B(g,20)$，非空时可取其中距机器狗最近者以节省移动。
|
||||
$D\le 40$ 只是必要条件。最小包围圆采用带固定随机种子的 Welzl 增量算法\cite{welzl}
|
||||
计算，保留全支撑点枚举法作独立对照，并对 $20$ 米阈值保留数值余量。
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||||
|
||||
\textbf{演练验证。}对官方演练的三点观测离线复算：$\delta=1^{\circ}$ 时
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||||
$D=23.996723$ 米、$\rho=12.068583$ 米；$\delta=1.005^{\circ}$ 时
|
||||
$D=24.119088$ 米、$\rho=12.130377$ 米。两种口径下直径圆均不覆盖定位区域，
|
||||
但最小包围圆半径均小于 $20$ 米，即一点可保证清除，与可视化结果一致
|
||||
\todonote{此处可补充定位区域图（figures/）}。
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||||
\section{问题~2：第二检测点的主动选点模型}
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\subsection{首次测向后的候选集合}
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设在 $s_1$ 处首次测得 \texttt{direction}，示向度 $\theta_1$。记
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||||
\begin{equation}
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||||
K_1=\Omega\cap W(s_1,\theta_1\pm\delta)\cap \overline{B}(s_1,1500),
|
||||
\label{eq:k1}
|
||||
\end{equation}
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||||
即目标区域、角域与最大可能接收圆盘的交。保留整个距离圆盘是保守处理：即使
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||||
\texttt{direction} 还隐含“距离超过 $5$ 米”的排除，忽略它也不会丢失真源。
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||||
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||||
\subsection{安全候选区域的解析非空证明}
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||||
第二个检测点 $q$ 必须保证：无论真实源位于 $K_1$ 内何处，$q$ 都落在其有效接收半径
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||||
内（任何 $R_c\ge 1000$）。故安全候选区域定义为
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal{Q}=\Bigl\{q:\max_{g\in K_1}\|q-g\|\le 1000\Bigr\} .
|
||||
\label{eq:Q}
|
||||
\end{equation}
|
||||
对一般的 $K_1$，$\mathcal{Q}$ 非空当且仅当 $\rho(K_1)\le 1000$。本题首次测向条件下
|
||||
有更强的解析结论：取 $R=1500$、$\bm{u}$ 为示向度方向单位向量，
|
||||
\begin{equation}
|
||||
a=\frac{R}{2\cos\delta},\qquad c=s_1+a\,\bm{u},
|
||||
\end{equation}
|
||||
则 $K_1\subseteq B(c,a)$。事实上任意候选 $g=s_1+t\,\bm{u}_\varphi$
|
||||
（$0\le t\le R$，$|\varphi-\theta_1|\le\delta$）满足
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\|g-c\|^2=t^2+a^2-2at\cos(\varphi-\theta_1),
|
||||
\end{equation}
|
||||
该式关于 $t$ 为凸函数，最大值在 $t=0$ 或 $t=R$ 取得；$t=0$ 处值为 $a^2$，
|
||||
$t=R$ 处由 $a=R/(2\cos\delta)$ 知其不超过 $a^2$。于是
|
||||
$B(c,1000-a)\subseteq\mathcal{Q}$。取 $\delta=1.005^{\circ}$ 时
|
||||
$a\approx 750.115391$ 米，安全圆盘半径约 $249.884609$ 米，严格为正；题设
|
||||
$\delta=1^{\circ}$ 时同样成立。即使 $c$ 位于 $\Omega$ 外也合法，因为机器狗不受
|
||||
源位置圆域限制。
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||||
|
||||
\subsection{选点目标与算法}
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||||
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||||
在安全圆盘内以“信息收益—成本”双指标选点：主目标为最坏情形后验包围圆半径
|
||||
$\sup_{\theta'}\rho\bigl(K_1\cap W(q,\theta')\bigr)$，其中 $\theta'$ 取遍与 $K_1$
|
||||
及误差界一致的读数；次目标为移动与检测成本。实现上对目标位置与误差区间端点采样
|
||||
并加密检查，交会角只作同分筛选指标，不为改善交会角越出已证明安全的候选区域。
|
||||
若返回 \texttt{near}，则源位于当前点 $5$ 米以内，可直接在当前位置尝试清除。
|
||||
\todonote{候选区域示意图与选点对比实验待补}
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||||
|
||||
\section{问题~3：全向干扰源的搜索定位与清除调度}
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||||
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||||
\subsection{虚拟时间与动作成本模型}
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||||
依据题设动作耗时，完成任务所需虚拟时间
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||||
\begin{equation}
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||||
T=\frac{L}{5}+N_{\mathrm{switch}}+5N_{\mathrm{measure}}
|
||||
+5N_{\mathrm{clear}}^{\mathrm{s}}+3N_{\mathrm{clear}}^{\mathrm{f}},
|
||||
\label{eq:time}
|
||||
\end{equation}
|
||||
其中 $L$ 为移动总路程（含检测与清除引发的移动），频道切换次数只计被接受的检测
|
||||
动作。优化顺序为：先保证全部清除，再减小 $T$；不能通过少清除源来改善平均时间。
|
||||
虚拟活动时长上限为 $100$ 小时；程序运行时间另受 $20$ 分钟窗口约束，二者独立。
|
||||
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||||
\subsection{全域覆盖发现基线}
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||||
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||||
在 $s$ 处对某频道测得 \texttt{no\_signal}，只能排除以 $s$ 为中心、半径 $1000$ 米
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||||
圆盘内存在该频道源（有效接收半径可能只有 $1000$ 米），不能一律排除到 $1500$ 米。
|
||||
据此构造覆盖点集
|
||||
\begin{equation}
|
||||
S=\{(700i,700j):i,j=-3,-2,\dots,3\},\qquad |S|=49,
|
||||
\end{equation}
|
||||
其覆盖范围 $[-2100,2100]^2$ 包含 $\Omega$。对任一单元内的源 $g$，其所在单元的
|
||||
$4$ 个格点到 $g$ 的距离均不超过 $700\sqrt{2}\approx 989.95<1000$ 米，故必存在
|
||||
合格检测点；又 $g$ 位于 $4$ 个格点的凸包内部，经过 $g$ 的任意发射半平面必包含
|
||||
至少一个格点（否则全部格点落入相反开半平面，与 $g$ 在凸包内矛盾）。因此 $49$ 点
|
||||
逐一检测可保证发现该频道的源；源恰在网格线上时按半开区间归入相邻单元处理。
|
||||
$49$ 点 $\times\,20$ 频道至多 $980$ 次检测，虚拟耗时上界约 $1.32\times 10^4$ 秒，
|
||||
在 $100$ 小时上限内有充分设计空间；实际执行中已清除频道跳过、同点共享多频道测量、
|
||||
已发现频道转入定位队列。
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||||
|
||||
\subsection{发现—定位—清除闭环}
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||||
|
||||
机器狗维护逐频道状态：未知／已发现待定位／可清除／已清除／已证明不存在，以及候选
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||||
集合 $K_c$。闭环流程为：覆盖扫描发现源 $\to$ 用问题~2 的主动选点缩小 $K_c$ 直至
|
||||
$\rho(K_c)\le 20$ $\to$ 移动到 $C_{20}(K_c)$ 内距当前点最近的点清除 $\to$ 更新覆盖
|
||||
记录与队列。多个已发现源按“预期信息改善／增量虚拟耗时”排序处理；候选采样点恰
|
||||
返回 \texttt{near} 时立即就地清除。
|
||||
|
||||
\subsection{停止条件与结果统计}
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||||
|
||||
\textbf{停止成功的依据为以下之一}：（i）已成功清除 $16$ 个不同频道的源（数量
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||||
上界）；（ii）每个频道都已有清除成功记录或经完整覆盖证明不存在。发现 $10$ 个源、
|
||||
连续若干次无信号、候选采样为空均不是充分停止条件；程序运行时间或窗口不足而退出
|
||||
记为未证明完成，不与成功混记。结果统计按题设给出
|
||||
\begin{align}
|
||||
\text{被清除干扰源个数的比例} &= \frac{\text{被清除干扰源的个数}}{\text{干扰源总数}} ,\\
|
||||
\text{平均定位清除时间} &= \frac{\text{定位清除总时间}}{\text{被清除干扰源的个数}} .
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
\begin{table}[htbp]
|
||||
\centering
|
||||
\caption{问题~3 正式测试结果（按题目表~1 格式）}
|
||||
\label{tab:q3formal}
|
||||
\begin{tabular}{lcccc}
|
||||
\toprule
|
||||
& 测试案例编码 & 清除干扰源个数 & 平均定位清除时间 & 程序运行时间 \\
|
||||
\midrule
|
||||
测试~1 & \todonote{待填} & \todonote{待填} & \todonote{待填} & \todonote{待填} \\
|
||||
测试~2 & \todonote{待填} & \todonote{待填} & \todonote{待填} & \todonote{待填} \\
|
||||
测试~3 & \todonote{待填} & \todonote{待填} & \todonote{待填} & \todonote{待填} \\
|
||||
\bottomrule
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{table}
|
||||
|
||||
\todonote{演练测试统计值（清除比例、平均定位清除时间）待演练后填入}
|
||||
|
||||
\section{问题~4：含定向干扰源的检测与清除}
|
||||
|
||||
\subsection{定向源观测模型}
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||||
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||||
定向源的接收条件是“距离 $\le R_c$ 且检测点位于发射半平面内”。因此
|
||||
\texttt{no\_signal} 约束的是位置—半径—朝向的\textbf{联合假设}：若不联合维护朝向
|
||||
可行集合，就不能用它单独删除空间候选点。可靠基线是对 \texttt{no\_signal} 只记录
|
||||
“该点覆盖检测已完成”，不做空间删除；加速版本再维护朝向可行集合，且必须验证
|
||||
不误删真源。
|
||||
|
||||
\subsection{覆盖发现基线对定向源仍然有效}
|
||||
|
||||
由 7.2 节的凸包论证：源 $g$ 位于所在单元 $4$ 格点的凸包内部，故经过 $g$ 的任意
|
||||
发射半平面必含至少一个格点；该格点同时满足距离不超过 $989.95<1000$ 米。因此
|
||||
$49$ 点逐频道检测对全向与定向源统一保证发现，包括贴近 $\Omega$ 边界朝外发射的源
|
||||
（格点允许越出 $\Omega$ 访问）。
|
||||
|
||||
\subsection{失去信号后的后备清除}
|
||||
|
||||
已发现的定向源在定位过程中可能再次失去信号。对已知有界候选集合 $K$，构造边长
|
||||
$20$ 米的全局网格：格中心到格内任意点距离不超过 $10\sqrt{2}\approx 14.14<20$ 米，
|
||||
保留与 $K$ 的外包框相交的格子即得无空洞的有限圆盘覆盖，逐点调用清除动作。请求
|
||||
次数上界
|
||||
\begin{equation}
|
||||
N\le\Bigl(\lceil w/20\rceil+2\Bigr)\Bigl(\lceil h/20\rceil+2\Bigr),
|
||||
\end{equation}
|
||||
其中 $w,h$ 为候选集合外包框的宽与高；单源全失败清除耗时为 $L/5+3N$。若 $K$ 外包
|
||||
尺寸较大（如半径 $1500$ 米圆盘的外包框达上万格点），盲扫不满足现实预算，应先继续
|
||||
定位缩小候选集合。现实时间预算按“剩余请求数 $\times$ 实测单请求高分位耗时”估计，
|
||||
不满足预算时转入其他任务或按预算退出。
|
||||
|
||||
\begin{table}[htbp]
|
||||
\centering
|
||||
\caption{问题~4 正式测试结果（按题目表~1 格式）}
|
||||
\label{tab:q4formal}
|
||||
\begin{tabular}{lcccc}
|
||||
\toprule
|
||||
& 测试案例编码 & 清除干扰源个数 & 平均定位清除时间 & 程序运行时间 \\
|
||||
\midrule
|
||||
测试~1 & \todonote{待填} & \todonote{待填} & \todonote{待填} & \todonote{待填} \\
|
||||
测试~2 & \todonote{待填} & \todonote{待填} & \todonote{待填} & \todonote{待填} \\
|
||||
测试~3 & \todonote{待填} & \todonote{待填} & \todonote{待填} & \todonote{待填} \\
|
||||
\bottomrule
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{table}
|
||||
|
||||
\section{模型评价与推广}
|
||||
|
||||
\textbf{优点}：（1）四个问题复用同一几何内核（角域半平面交—直径—最小包围圆），
|
||||
模型一致、实现可复用；（2）全程坚持保守几何：有界误差不取平均、无信号只排除
|
||||
$1000$ 米、\texttt{no\_signal} 对定向源不删位置、停止条件需覆盖证明，所有“清除
|
||||
完毕”的结论都可验证；（3）虚拟时间公式把调度目标显式化，且区分了虚拟时间与程序
|
||||
运行时间两类约束。
|
||||
|
||||
\textbf{缺点与改进}：（1）主动选点采用最坏情形采样，是启发式而非全局最优，可研究
|
||||
对候选集合的更精细离散化；（2）$49$ 点覆盖基线存在冗余，自适应跳点须以保留逐频道
|
||||
覆盖证据为前提；（3）后备清除请求数较大，宜结合朝向可行集合减小候选集合；（4）
|
||||
当前演练验证限于问题~1 的几何内核，问题~3、4 的闭环策略与统计结果有待演练填充。
|
||||
|
||||
\begin{thebibliography}{9}
|
||||
\zihao{5}
|
||||
\bibitem{preparata} Preparata F P, Shamos M I. Computational Geometry: An
|
||||
Introduction[M]. New York: Springer-Verlag, 1985.
|
||||
\bibitem{welzl} Welzl E. Smallest enclosing disks (balls and ellipsoids)[C]//
|
||||
Maurer H. New Results and New Trends in Computer Science. Lecture Notes in
|
||||
Computer Science, vol 555. Berlin: Springer, 1991: 359--370.
|
||||
\bibitem{toussaint} Toussaint G T. Solving geometric problems with the rotating
|
||||
calipers[C]//Proceedings of IEEE MELECON. Athens: IEEE, 1983.
|
||||
\bibitem{mcgill} CGAL Project. Bounding Volumes: Min\_circle\_2[EB/OL].
|
||||
\url{https://doc.cgal.org/latest/Bounding_volumes/}, 2026.
|
||||
\bibitem{cgrl} McGill School of Computer Science. Rotating Calipers[EB/OL].
|
||||
\url{https://www-cgrl.cs.mcgill.ca/~godfried/research/calipers.html}, 2026.
|
||||
\end{thebibliography}
|
||||
|
||||
\clearpage
|
||||
% ============================================================
|
||||
% 附录（页数不限；电子版与纸质版均须包含）
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% ============================================================
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\appendix
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||||
\section{支撑材料文件列表}
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||||
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||||
\todonote{提交前更新为实际支撑材料压缩包内容，须与附录~B 源码一致}
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||||
\begin{table}[htbp]
|
||||
\centering
|
||||
\caption{支撑材料文件列表}
|
||||
\begin{tabular}{lll}
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||||
\toprule
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||||
文件/目录 & 内容 & 说明 \\
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\midrule
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||||
\texttt{geometry/} & 几何内核源代码 & 角域交、直径、最小包围圆 \\
|
||||
\texttt{planning.py} & 问题~2 安全候选盘计算 & \texttt{first\_bearing\_candidate\_disk} \\
|
||||
\texttt{examples/q1/} & 问题~1 输入样例 & 含等边三角形反例 \\
|
||||
\texttt{output/q1/} & 问题~1 输出与演练记录 & 优化报告、可视化 \\
|
||||
\bottomrule
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{table}
|
||||
|
||||
\section{程序源代码}
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||||
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||||
以下为支撑模型计算的核心源代码，完整可运行代码以支撑材料压缩包为准。
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||||
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||||
\subsection{\texttt{geometry/localization.py}：交会定位几何内核}
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||||
|
||||
\lstinputlisting[language=Python]{../../../geometry/localization.py}
|
||||
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||||
\subsection{\texttt{geometry/planning.py}：问题~2 安全候选区域}
|
||||
|
||||
\lstinputlisting[language=Python]{../../../geometry/planning.py}
|
||||
|
||||
\end{document}
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Reference in New Issue
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