md 数学公式 LaTex 化
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主要风险：
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- **问题2的候选区域 \( \mathcal Q \) 可能为空**，需要补非空判断和退化策略。
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- **问题2的候选区域 $\mathcal{Q}$ 可能为空**，需要补非空判断和退化策略。
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- **定向源第4问中 `no_signal` 不能直接删除空间候选点**，现有基线保守但效率低，需明确后备清除的规模和请求预算。
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- **现实20分钟窗口**下，49点×20频道最多980次检测，可能请求数过大；虚拟时间不是瓶颈，网络延迟和程序运行时间才是。
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- **正式测试机会少**，9月13日截止，必须尽早演练并保留正式机会。
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@@ -28,8 +28,8 @@
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| P0 规则固定 | 核对题目、附件1/2、协议、计时、日志要求 | 规则表、状态机、字段表 | 计时示例能逐步得到附件给定值；`/clear` 不切换频道；`accepted=false` 不更新 | 最高 |
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| P1 协议基线 | 实现 `/enter`、`/detect`、`/clear`、`/exit`；串行、幂等重试、超时 | 可运行客户端、自建回放测试 | 失败重试不污染状态；虚拟时间与公式一致；能主动退出 | 最高 |
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| P2 几何内核 | 角域半平面表示、半平面交、凸多边形、直径、最小包围圆 | `geometry` 模块、测试用例 | 处理0°/360°跨界、空集/单点/线段/无界；等边三角形反例通过 | 最高 |
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| P3 问题2选点 | 构造 \(K_1\)，计算候选区域 \( \mathcal Q\)，采样评估后验包围圆 | 第二检测点策略、候选区域算法 | 保证收到信号；\( \mathcal Q\) 为空时有退化方案；near分支处理 | 高 |
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| P2 几何内核 | 角域半平面表示、半平面交、凸多边形、直径、最小包围圆 | `geometry` 模块、测试用例 | 处理 $0^\circ/360^\circ$ 跨界、空集/单点/线段/无界；等边三角形反例通过 | 最高 |
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| P3 问题2选点 | 构造 $K_1$，计算候选区域 $\mathcal{Q}$，采样评估后验包围圆 | 第二检测点策略、候选区域算法 | 保证收到信号；$\mathcal{Q}$ 为空时有退化方案；`near` 分支处理 | 高 |
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| P4 问题3全向闭环 | 49点覆盖、逐频道覆盖记录、发现—定位—清除—停止 | 全向演练版本、统计脚本 | 10源和16源都能正确退出；边界朝外不漏；停止条件正确 | 最高 |
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| P5 问题4定向扩展 | 定向源覆盖证明、失去信号处理、20m圆盘后备清除 | 定向演练版本 | 边界朝外定向源能发现；失去信号后能清除；不误删真源 | 高 |
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| P6 加速与消融 | 共享检测、自适应覆盖、目标排序、提前清除 | 消融实验记录 | 全清不退化；虚拟时间/请求数有改善证据 | 中 |
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@@ -44,22 +44,22 @@
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| 设计点 | 判断 | 需要补强/注意 |
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| 四问统一框架 | 合理 | 问题1和2的几何结果要直接复用到3、4，避免重复建模 |
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| 有界误差±1°、示向度两位小数 | 正确 | 实现可加±1.005°保守裕量，但不能写成题面规定 |
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| 有界误差 $\pm 1^\circ$、示向度两位小数 | 正确 | 实现可加 $\pm 1.005^\circ$ 保守裕量，但不能写成题面规定 |
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| 同地点误差固定 | 正确 | 不能原地重复测量取平均 |
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| 角域半平面交 | 正确 | 必须处理0°/360°跨界；区分空集、单点、线段、有限多边形、无界 |
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| 角域半平面交 | 正确 | 必须处理 $0^\circ/360^\circ$ 跨界；区分空集、单点、线段、有限多边形、无界 |
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| 直径枚举 | 正确 | 小规模枚举顶点对即可；无界区域不能截断后声称直径 |
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| 以直径为直径的圆覆盖区域 | **不能保证** | 等边三角形反例正确；保证清除要用最小包围圆 \( \rho(K)\le20 \) |
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| 问题2候选区域 \( \mathcal Q \) | 方向正确 | \(K_1\) 应加 \( \Omega \) 和 \(B(s_1,1500)\) 约束；\( \mathcal Q\) 可能为空，需退化策略 |
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| 外包圆候选 \(B(c,1000-r)\) | 正确 | 仅当 \(r<1000\) 时非空；若 \(r\) 接近1000，区域很小 |
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| “候选点距第一次检测点不超过1000米” | 错误表述 | 计划已指出，正确是“到 \(K_1\) 中任意可能位置距离不超过1000米” |
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| 以直径为直径的圆覆盖区域 | **不能保证** | 等边三角形反例正确；保证清除要用最小包围圆 $\rho(K)\le 20$ |
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| 问题2候选区域 $\mathcal{Q}$ | 方向正确 | $K_1$ 应加 $\Omega$ 和 $B(s_1,1500)$ 约束；$\mathcal{Q}$ 可能为空，需退化策略 |
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| 外包圆候选 $B(c,1000-r)$ | 正确 | 仅当 $r<1000$ 时非空；若 $r$ 接近 1000，区域很小 |
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| “候选点距第一次检测点不超过1000米” | 错误表述 | 计划已指出，正确是“到 $K_1$ 中任意可能位置距离不超过 1000 米” |
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| 49点覆盖 | 证明成立 | 需实现网格边/顶点规则；全向和定向都适用；全 no_signal 可证明该频道不存在 |
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| 49点扫描规模 | 估算合理 | 虚拟时间约3.665小时，但现实20分钟受请求延迟约束 |
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| 定向源 `no_signal` | 不能直接删除空间候选点 | 基线可只记录覆盖，不删点；加速版再维护朝向可行集合 |
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| 定向源后备清除 | 思路可靠 | 候选集合有界后，用边长20m小方格中心，中心到格内点≤10√2<20，逐点 `/clear` |
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| 定向源后备清除 | 思路可靠 | 候选集合有界后，用边长 20 米小方格中心，中心到格内点的距离满足 $d\le 10\sqrt{2}<20$ 米，逐点 `/clear` |
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| 停止条件 | 严格正确 | 清除16个不同频道，或每频道清除成功/完整覆盖证明不存在 |
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| `/clear` 不切换频道 | 正确 | 清除后当前测向频道不变，影响下一次切换耗时 |
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| 协议幂等 | 正确 | 重试同 `request_id` 和完全相同内容；`accepted=false` 不更新状态 |
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| 现实预算 | 关键风险 | 用 `remaining_real_duration_s` 管理；预留退出和故障恢复；日志≤2MB |
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| 现实预算 | 关键风险 | 用 `remaining_real_duration_s` 管理；预留退出和故障恢复；日志不超过 2 MB |
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| 正式测试 | 时间紧 | 问题3和4各3次；建议9月13日15:30前完成，17:30后不能启动新测试 |
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@@ -70,26 +70,26 @@
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建议把第一次测向后的候选集合写清楚：
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\[
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K_1=\Omega \cap W(s_1,\theta_1\pm\delta)\cap B(s_1,1500)
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\]
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$$
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K_1=\Omega\cap W(s_1,\theta_1\pm\delta)\cap B(s_1,1500)
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$$
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其中 \(W\) 是角域，\(\delta\) 取 \(1.005^\circ\) 保守裕量。
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其中 $W$ 是角域，$\delta$ 取 $1.005^\circ$ 保守裕量。
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然后：
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\[
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\mathcal Q=\{q:\max_{g\in K_1}\|q-g\|\le1000\}
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\]
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$$
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\mathcal{Q}=\left\{q:\max_{g\in K_1}\lVert q-g\rVert\le 1000\right\}
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$$
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若 \( \mathcal Q\neq\varnothing \)，在其中采样选点，评估最坏后验包围圆半径和移动成本。
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若 \( \mathcal Q=\varnothing \)，则退化为：
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若 $\mathcal{Q}\neq\varnothing$，在其中采样选点，评估最坏后验包围圆半径和移动成本。
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若 $\mathcal{Q}=\varnothing$，则退化为：
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\[
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q^*=\arg\min_q \max_{g\in K_1}\|q-g\|
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\]
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$$
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q^*=\arg\min_q\max_{g\in K_1}\lVert q-g\rVert
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$$
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即选一个使最坏接收距离最小的点，同时结合交会角筛选。
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若 \(K_1\) 的外包圆为 \(B(c,r)\) 且 \(r<1000\)，则 \(B(c,1000-r)\) 是更简单的充分候选区域。
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若 $K_1$ 的外包圆为 $B(c,r)$ 且 $r<1000$，则 $B(c,1000-r)$ 是更简单的充分候选区域。
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### 2. 问题4：定向源不要过早依赖 `no_signal` 删点
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@@ -114,12 +114,12 @@ q^*=\arg\min_q \max_{g\in K_1}\|q-g\|
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### 4. 问题1：直径圆覆盖判断可给更明确算法
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对凸多边形 \(P\)：
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对凸多边形 $P$：
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- 先求直径 \(D=\max_{i,j}\|v_i-v_j\|\)；
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- 先求直径 $D=\max_{i,j}\lVert v_i-v_j\rVert$；
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- 枚举所有顶点对作为候选直径，检查其余顶点是否都在以该对为直径的圆内；
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- 若存在一个直径对使所有顶点在圆内，则覆盖；否则不覆盖；
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- 但保证清除时不要用直径圆，要用最小包围圆 \( \rho(K)\le20 \)。
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- 但保证清除时不要用直径圆，要用最小包围圆 $\rho(K)\le 20$。
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@@ -144,9 +144,9 @@ q^*=\arg\min_q \max_{g\in K_1}\|q-g\|
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现有设计思路**整体可行且偏保守**，适合竞赛中“先保证全清，再优化时间”的目标。
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最需要立即补强的是：
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1. 问题2中 \(K_1\) 和 \( \mathcal Q\) 的严格定义及空集处理；
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1. 问题2中 $K_1$ 和 $\mathcal{Q}$ 的严格定义及空集处理；
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2. 问题4中定向源朝向不确定性和 `no_signal` 的正确使用；
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3. 现实20分钟窗口下的请求数控制；
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4. 正式测试时间安排，务必尽早演练并保留正式机会。
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下一步最有价值的工作仍然是：**协议计时基线 + 几何内核 + 全向闭环**。完成这条链路后，再用演练数据决定是否加入加速策略。
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下一步最有价值的工作仍然是：**协议计时基线 + 几何内核 + 全向闭环**。完成这条链路后，再用演练数据决定是否加入加速策略。
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