md 数学公式 LaTex 化

1.md

@@ -13,7 +13,7 @@
 
 主要风险：
 
-- **问题2的候选区域 \( \mathcal Q \) 可能为空**，需要补非空判断和退化策略。
+- **问题2的候选区域 $\mathcal{Q}$ 可能为空**，需要补非空判断和退化策略。
 - **定向源第4问中 `no_signal` 不能直接删除空间候选点**，现有基线保守但效率低，需明确后备清除的规模和请求预算。
 - **现实20分钟窗口**下，49点×20频道最多980次检测，可能请求数过大；虚拟时间不是瓶颈，网络延迟和程序运行时间才是。
 - **正式测试机会少**，9月13日截止，必须尽早演练并保留正式机会。
@@ -28,8 +28,8 @@
 |---|---|---|---|---|
 | P0 规则固定 | 核对题目、附件1/2、协议、计时、日志要求 | 规则表、状态机、字段表 | 计时示例能逐步得到附件给定值；`/clear` 不切换频道；`accepted=false` 不更新 | 最高 |
 | P1 协议基线 | 实现 `/enter`、`/detect`、`/clear`、`/exit`；串行、幂等重试、超时 | 可运行客户端、自建回放测试 | 失败重试不污染状态；虚拟时间与公式一致；能主动退出 | 最高 |
-| P2 几何内核 | 角域半平面表示、半平面交、凸多边形、直径、最小包围圆 | `geometry` 模块、测试用例 | 处理0°/360°跨界、空集/单点/线段/无界；等边三角形反例通过 | 最高 |
+| P2 几何内核 | 角域半平面表示、半平面交、凸多边形、直径、最小包围圆 | `geometry` 模块、测试用例 | 处理 $0^\circ/360^\circ$ 跨界、空集/单点/线段/无界；等边三角形反例通过 | 最高 |
-| P3 问题2选点 | 构造 \(K_1\)，计算候选区域 \( \mathcal Q\)，采样评估后验包围圆 | 第二检测点策略、候选区域算法 | 保证收到信号；\( \mathcal Q\) 为空时有退化方案；near分支处理 | 高 |
+| P3 问题2选点 | 构造 $K_1$，计算候选区域 $\mathcal{Q}$，采样评估后验包围圆 | 第二检测点策略、候选区域算法 | 保证收到信号；$\mathcal{Q}$ 为空时有退化方案；`near` 分支处理 | 高 |
 | P4 问题3全向闭环 | 49点覆盖、逐频道覆盖记录、发现—定位—清除—停止 | 全向演练版本、统计脚本 | 10源和16源都能正确退出；边界朝外不漏；停止条件正确 | 最高 |
 | P5 问题4定向扩展 | 定向源覆盖证明、失去信号处理、20m圆盘后备清除 | 定向演练版本 | 边界朝外定向源能发现；失去信号后能清除；不误删真源 | 高 |
 | P6 加速与消融 | 共享检测、自适应覆盖、目标排序、提前清除 | 消融实验记录 | 全清不退化；虚拟时间/请求数有改善证据 | 中 |
@@ -44,22 +44,22 @@
 | 设计点 | 判断 | 需要补强/注意 |
 |---|---|---|
 | 四问统一框架 | 合理 | 问题1和2的几何结果要直接复用到3、4，避免重复建模 |
-| 有界误差±1°、示向度两位小数 | 正确 | 实现可加±1.005°保守裕量，但不能写成题面规定 |
+| 有界误差 $\pm 1^\circ$、示向度两位小数 | 正确 | 实现可加 $\pm 1.005^\circ$ 保守裕量，但不能写成题面规定 |
 | 同地点误差固定 | 正确 | 不能原地重复测量取平均 |
-| 角域半平面交 | 正确 | 必须处理0°/360°跨界；区分空集、单点、线段、有限多边形、无界 |
+| 角域半平面交 | 正确 | 必须处理 $0^\circ/360^\circ$ 跨界；区分空集、单点、线段、有限多边形、无界 |
 | 直径枚举 | 正确 | 小规模枚举顶点对即可；无界区域不能截断后声称直径 |
-| 以直径为直径的圆覆盖区域 | **不能保证** | 等边三角形反例正确；保证清除要用最小包围圆 \( \rho(K)\le20 \) |
+| 以直径为直径的圆覆盖区域 | **不能保证** | 等边三角形反例正确；保证清除要用最小包围圆 $\rho(K)\le 20$ |
-| 问题2候选区域 \( \mathcal Q \) | 方向正确 | \(K_1\) 应加 \( \Omega \) 和 \(B(s_1,1500)\) 约束；\( \mathcal Q\) 可能为空，需退化策略 |
+| 问题2候选区域 $\mathcal{Q}$ | 方向正确 | $K_1$ 应加 $\Omega$ 和 $B(s_1,1500)$ 约束；$\mathcal{Q}$ 可能为空，需退化策略 |
-| 外包圆候选 \(B(c,1000-r)\) | 正确 | 仅当 \(r<1000\) 时非空；若 \(r\) 接近1000，区域很小 |
+| 外包圆候选 $B(c,1000-r)$ | 正确 | 仅当 $r<1000$ 时非空；若 $r$ 接近 1000，区域很小 |
-| “候选点距第一次检测点不超过1000米” | 错误表述 | 计划已指出，正确是“到 \(K_1\) 中任意可能位置距离不超过1000米” |
+| “候选点距第一次检测点不超过1000米” | 错误表述 | 计划已指出，正确是“到 $K_1$ 中任意可能位置距离不超过 1000 米” |
 | 49点覆盖 | 证明成立 | 需实现网格边/顶点规则；全向和定向都适用；全 no_signal 可证明该频道不存在 |
 | 49点扫描规模 | 估算合理 | 虚拟时间约3.665小时，但现实20分钟受请求延迟约束 |
 | 定向源 `no_signal` | 不能直接删除空间候选点 | 基线可只记录覆盖，不删点；加速版再维护朝向可行集合 |
-| 定向源后备清除 | 思路可靠 | 候选集合有界后，用边长20m小方格中心，中心到格内点≤10√2<20，逐点 `/clear` |
+| 定向源后备清除 | 思路可靠 | 候选集合有界后，用边长 20 米小方格中心，中心到格内点的距离满足 $d\le 10\sqrt{2}<20$ 米，逐点 `/clear` |
 | 停止条件 | 严格正确 | 清除16个不同频道，或每频道清除成功/完整覆盖证明不存在 |
 | `/clear` 不切换频道 | 正确 | 清除后当前测向频道不变，影响下一次切换耗时 |
 | 协议幂等 | 正确 | 重试同 `request_id` 和完全相同内容；`accepted=false` 不更新状态 |
-| 现实预算 | 关键风险 | 用 `remaining_real_duration_s` 管理；预留退出和故障恢复；日志≤2MB |
+| 现实预算 | 关键风险 | 用 `remaining_real_duration_s` 管理；预留退出和故障恢复；日志不超过 2 MB |
 | 正式测试 | 时间紧 | 问题3和4各3次；建议9月13日15:30前完成，17:30后不能启动新测试 |
 
 ---
@@ -70,26 +70,26 @@
 
 建议把第一次测向后的候选集合写清楚：
 
-\[
+$$
-K_1=\Omega \cap W(s_1,\theta_1\pm\delta)\cap B(s_1,1500)
+K_1=\Omega\cap W(s_1,\theta_1\pm\delta)\cap B(s_1,1500)
-\]
+$$
 
-其中 \(W\) 是角域，\(\delta\) 取 \(1.005^\circ\) 保守裕量。  
+其中 $W$ 是角域，$\delta$ 取 $1.005^\circ$ 保守裕量。
 然后：
 
-\[
+$$
-\mathcal Q=\{q:\max_{g\in K_1}\|q-g\|\le1000\}
+\mathcal{Q}=\left\{q:\max_{g\in K_1}\lVert q-g\rVert\le 1000\right\}
-\]
+$$
 
-若 \( \mathcal Q\neq\varnothing \)，在其中采样选点，评估最坏后验包围圆半径和移动成本。  
+若 $\mathcal{Q}\neq\varnothing$，在其中采样选点，评估最坏后验包围圆半径和移动成本。
-若 \( \mathcal Q=\varnothing \)，则退化为：
+若 $\mathcal{Q}=\varnothing$，则退化为：
 
-\[
+$$
-q^*=\arg\min_q \max_{g\in K_1}\|q-g\|
+q^*=\arg\min_q\max_{g\in K_1}\lVert q-g\rVert
-\]
+$$
 
 即选一个使最坏接收距离最小的点，同时结合交会角筛选。  
-若 \(K_1\) 的外包圆为 \(B(c,r)\) 且 \(r<1000\)，则 \(B(c,1000-r)\) 是更简单的充分候选区域。
+若 $K_1$ 的外包圆为 $B(c,r)$ 且 $r<1000$，则 $B(c,1000-r)$ 是更简单的充分候选区域。
 
 ### 2. 问题4：定向源不要过早依赖 `no_signal` 删点
 
@@ -114,12 +114,12 @@ q^*=\arg\min_q \max_{g\in K_1}\|q-g\|
 
 ### 4. 问题1：直径圆覆盖判断可给更明确算法
 
-对凸多边形 \(P\)：
+对凸多边形 $P$：
 
-- 先求直径 \(D=\max_{i,j}\|v_i-v_j\|\)；
+- 先求直径 $D=\max_{i,j}\lVert v_i-v_j\rVert$；
 - 枚举所有顶点对作为候选直径，检查其余顶点是否都在以该对为直径的圆内；
 - 若存在一个直径对使所有顶点在圆内，则覆盖；否则不覆盖；
-- 但保证清除时不要用直径圆，要用最小包围圆 \( \rho(K)\le20 \)。
+- 但保证清除时不要用直径圆，要用最小包围圆 $\rho(K)\le 20$。
 
 ---
 
@@ -144,9 +144,9 @@ q^*=\arg\min_q \max_{g\in K_1}\|q-g\|
 现有设计思路**整体可行且偏保守**，适合竞赛中“先保证全清，再优化时间”的目标。  
 最需要立即补强的是：
 
-1. 问题2中 \(K_1\) 和 \( \mathcal Q\) 的严格定义及空集处理；
+1. 问题2中 $K_1$ 和 $\mathcal{Q}$ 的严格定义及空集处理；
 2. 问题4中定向源朝向不确定性和 `no_signal` 的正确使用；
 3. 现实20分钟窗口下的请求数控制；
 4. 正式测试时间安排，务必尽早演练并保留正式机会。
 
-下一步最有价值的工作仍然是：**协议计时基线 + 几何内核 + 全向闭环**。完成这条链路后，再用演练数据决定是否加入加速策略。
+下一步最有价值的工作仍然是：**协议计时基线 + 几何内核 + 全向闭环**。完成这条链路后，再用演练数据决定是否加入加速策略。

B题建模分析与实施计划.md

@@ -6,21 +6,21 @@
 
 依据：`issue/B题.pdf` 全文、`issue/附件/附件1.docx`《模拟器使用说明》、`issue/附件/附件2.docx`《模拟器通信接口说明及编程指南》。文档中的登录、测试和日志要求在这里作为交付约束分析，不作为自动执行正式测试的指令。
 
-**本次建议的取舍**
+## 本次建议的取舍
 
 | 建议 | 处理结论 |
 | --- | --- |
 | 四问复用几何内核、有界误差、覆盖证明、严格停止、幂等协议 | 保留，作为主线与验收条件 |
-| 问题二的候选集合加入 Ω 和1500米上界 | 采纳，但仅加入在线候选集合K，不改变问题一纯角域多边形P |
+| 问题二的候选集合加入 $\Omega$ 和 1500 米上界 | 采纳，但仅加入在线候选集合 $K$，不改变问题一纯角域多边形 $P$ |
-| 问题二首次测向后安全区域可能为空 | 对一般K成立；本题首次窄角域可直接证明非空，见下文 |
+| 问题二首次测向后安全区域可能为空 | 对一般 $K$ 成立；本题首次窄角域可直接证明非空，见下文 |
-| Q为空就去最小包围圆圆心并结合交会角 | 仅是一般情形的探索退化；ρ>1000时不保证接收，不能冒充保底方案 |
+| $Q$ 为空就去最小包围圆圆心并结合交会角 | 仅是一般情形的探索退化；$\rho>1000$ 时不保证接收，不能冒充保底方案 |
 | 枚举所有直径对判断直径圆 | 简化为任意一组最远点对检查一次；失败时给出圆外顶点 |
 | 定向无信号不直接删位置、失去信号后覆盖清除 | 采纳；执行前必须计算覆盖格数、路径和现实请求预算 |
 | 现实20分钟优先控制请求数 | 采纳为硬约束；全部清除后仍按题目虚拟时间优化 |
 | P0–P7分期与尽早正式测试 | 采纳分期；演练不限定3次，正式问题3/4各3次由团队另行安排 |
 | `/detect` | 修正为附件规定的 `/measure` |
 
-**1. 四问应当串成一条实现主线**
+## 1. 四问应当串成一条实现主线
 
 | 问题 | 要回答的实质问题 | 推荐抽象 | 必须交付的结果 |
 | --- | --- | --- | --- |
@@ -31,19 +31,19 @@
 
 第 1 问的定位区域和包围圆直接服务第 2 问选点与第 3、4 问清除；第 3 问的工程框架延伸到第 4 问。模型不必为每问重新搭建。
 
-**2. 用题面明确的观测能力约束物理抽象**
+## 2. 用题面明确的观测能力约束物理抽象
 
-目标区域为 Ω = {(x,y): x²+y²≤1800²}。每个频道最多有一个源，源总数为 10–16，频道为 1–20。对一个存在的源 c，用未知位置 g_c、接收半径 R_c∈[1000,1500]、类型和定向朝向描述；全向源不需要朝向参数。
+目标区域为 $\Omega=\{(x,y):x^2+y^2\le 1800^2\}$。每个频道最多有一个源，源总数为 10–16，频道为 1–20。对一个存在的源 $c$，用未知位置 $g_c$、接收半径 $R_c\in[1000,1500]$、类型和定向朝向描述；全向源不需要朝向参数。
 
-机器狗状态只需要位置 p、当前测向频道 k、虚拟时间、现实剩余时间、各频道的观测历史和处理状态。每个频道维护：未知／已发现待定位／可清除／已清除／已证明不存在，以及尚可能包含源的集合 K_c。
+机器狗状态只需要位置 $p$、当前测向频道 $k$、虚拟时间、现实剩余时间、各频道的观测历史和处理状态。每个频道维护：未知／已发现待定位／可清除／已清除／已证明不存在，以及尚可能包含源的集合 $K_c$。
 
 | 规则 | 数学或程序含义 | 容易出现的错误 |
 | --- | --- | --- |
 | 只返回 no_signal、near、direction；direction 附带示向度 | 这是带距离可见性门限的方位观测问题 | 构造接口并未提供的 RSSI、距离或场强数据 |
-| 同地点误差固定，幅度不超过 1° | 用有界误差集合，保留空间相关性 | 原地重复测量取平均，假定可消除误差 |
+| 同地点误差固定，幅度不超过 $1^\circ$ | 用有界误差集合，保留空间相关性 | 原地重复测量取平均，假定可消除误差 |
-| 示向度保留两位小数 | 题设模型取 ±1°；实现可另设 ±1.005° 保守裕量 | 把额外舍入裕量写成题面规定 |
+| 示向度保留两位小数 | 题设模型取 $\pm 1^\circ$；实现可另设 $\pm 1.005^\circ$ 保守裕量 | 把额外舍入裕量写成题面规定 |
-| 定向源覆盖朝向两侧各 90°，包含边界 | 检测点须处于以源为界的发射半平面内 | 把无信号直接判定为没有源 |
+| 定向源覆盖朝向两侧各 $90^\circ$，包含边界 | 检测点须处于以源为界的发射半平面内 | 把无信号直接判定为没有源 |
-| 可到目标圆域外检测与清除 | 目标位置受 Ω 限制，机器狗正常搜索不受 Ω 限制 | 所有搜索点强制留在圆域内，遗漏朝外发射的边界源 |
+| 可到目标圆域外检测与清除 | 目标位置受 $\Omega$ 限制，机器狗正常搜索不受 $\Omega$ 限制 | 所有搜索点强制留在圆域内，遗漏朝外发射的边界源 |
 | 清除半径 20 米，不受定向朝向限制 | 清除可成为失去信号时的可靠后备手段 | 认为背面接收不到信号就无法清除 |
 | /clear 不切换测向频道 | 保存独立的当前测向频道状态 | 清除后错误更新频道，算错下一次检测耗时 |
 
@@ -51,86 +51,86 @@
 
 精确的虚拟时间目标是：
 
-\[
+$$
 T=\frac{L}{5}+N_{\mathrm{switch}}+5N_{\mathrm{measure}}
   +5N_{\mathrm{clear,success}}+3N_{\mathrm{clear,fail}}.
-\]
+$$
 
-L 包括检测和清除引发的所有移动，切换次数只由被接受的检测动作决定。先满足全部清除，再减少 T；不能通过少清几个源来改善平均时间。程序运行时间是另一个硬约束，不能把虚拟检测的 5 秒实现为现实 sleep(5)。
+$L$ 包括检测和清除引发的所有移动，切换次数只由被接受的检测动作决定。先满足全部清除，再减少 $T$；不能通过少清几个源来改善平均时间。程序运行时间是另一个硬约束，不能把虚拟检测的 5 秒实现为现实 `sleep(5)`。
 
-**3. 定位与选点的统一几何标准**
+## 3. 定位与选点的统一几何标准
 
-在 s_i 测到 θ_i 后，定义 W_i 为从 s_i 出发、方向范围 [θ_i−δ,θ_i+δ] 的前向角域。它由两条线性半平面约束表示，必须正确处理 0°/360° 跨界。
+在 $s_i$ 测到 $\theta_i$ 后，定义 $W_i$ 为从 $s_i$ 出发、方向范围 $[\theta_i-\delta,\theta_i+\delta]$ 的前向角域。它由两条线性半平面约束表示，必须正确处理 $0^\circ/360^\circ$ 跨界。
 
-第 1 问的定位多边形 P 为这些角域的交。求各边界直线交点并筛选可行点、排序成凸多边形后，小规模下直接枚举顶点对即可计算直径：
+第 1 问的定位多边形 $P$ 为这些角域的交。求各边界直线交点并筛选可行点、排序成凸多边形后，小规模下直接枚举顶点对即可计算直径：
 
-\[
+$$
-D(P)=\max_{i,j}\|v_i-v_j\|.
+D(P)=\max_{i,j}\lVert v_i-v_j\rVert.
-\]
+$$
 
 先用简单可靠的顶点对枚举作基准，规模确有需要时再换旋转卡壳。算法必须区分空集、单点、线段、有限多边形和无界区域；不能靠任意大方框截断后声称得到无界区域的真实直径。旋转卡壳的背景可参考 [McGill 计算几何研究页面](https://www-cgrl.cs.mcgill.ca/~godfried/research/calipers.html)。
 
-**直径为 D 的圆不一定覆盖直径为 D 的区域。**例如边长 D 的等边三角形，最小包围圆半径为 D/√3，大于 D/2。后续保证清除应使用：
+**直径为 $D$ 的圆不一定覆盖直径为 $D$ 的区域。**例如边长为 $D$ 的等边三角形，最小包围圆半径为 $D/\sqrt{3}$，大于 $D/2$。后续保证清除应使用：
 
-\[
+$$
-\rho(K)=\min_z\max_{g\in K}\|g-z\|\le20.
+\rho(K)=\min_z\max_{g\in K}\lVert g-z\rVert\le 20.
-\]
+$$
 
-到最小包围圆圆心清除是充分选择，并非唯一选择。所有可保证清除的位置组成 C₂₀(K)=∩_{g∈K}B(g,20)；只要该集合非空，就可进一步选择距离机器狗最近的可行点来节省移动。D≤40只是必要条件，不是充分条件。最小包围圆是已有标准计算几何问题，可参考 [CGAL Min_circle_2 文档](https://doc.cgal.org/latest/Bounding_volumes/classCGAL_1_1Min__circle__2.html)。实现时给20米阈值保留数值余量；数值阈值附近返回谨慎判断，不把浮点容差当作精确算术证明。
+到最小包围圆圆心清除是充分选择，并非唯一选择。所有可保证清除的位置组成 $C_{20}(K)=\bigcap_{g\in K}B(g,20)$；只要该集合非空，就可进一步选择距离机器狗最近的可行点来节省移动。$D\le 40$ 只是必要条件，不是充分条件。最小包围圆是已有标准计算几何问题，可参考 [CGAL Min_circle_2 文档](https://doc.cgal.org/latest/Bounding_volumes/classCGAL_1_1Min__circle__2.html)。实现时给 20 米阈值保留数值余量；数值阈值附近返回谨慎判断，不把浮点容差当作精确算术证明。
 
-直径圆覆盖只需任意一组最远顶点A、B：包含距离D的两点且半径为D/2的圆，其圆心只能是(A+B)/2。因此检查一次全部顶点即可；若失败，换另一组直径对也不可能产生覆盖圆。问题一实现现输出最坏超出距离、圆外顶点索引和一个具体反例顶点。
+直径圆覆盖只需任意一组最远顶点 $A,B$：包含距离为 $D$ 的两点且半径为 $D/2$ 的圆，其圆心只能是 $(A+B)/2$。因此检查一次全部顶点即可；若失败，换另一组直径对也不可能产生覆盖圆。问题一实现现输出最坏超出距离、圆外顶点索引和一个具体反例顶点。
 
-在线定位还可用 Ω 和“收到信号意味着距离≤1500”约束 K。圆盘交角域可能包含曲线边界；若用多边形近似，必须构造外包近似，才能维持“不丢失真源”的保证。用圆周采样点连成的内接多边形不能直接作为保守外包。
+在线定位还可用 $\Omega$ 和“收到信号意味着距离 $\le 1500$”约束 $K$。圆盘交角域可能包含曲线边界；若用多边形近似，必须构造外包近似，才能维持“不丢失真源”的保证。用圆周采样点连成的内接多边形不能直接作为保守外包。
 
 第 2 问建议先明确“较好的定位效果”：以新观测后的最坏包围圆半径为主要几何指标，再考虑移动和检测成本。交会角大、面积小可作为候选点筛选指标，但不是对所有未知位置都最优的证明。
 
-第一次收到direction后，明确取K₁=Ω∩W(s₁,θ₁±δ)∩B(s₁,1500)。保留整个距离圆盘是保守处理，忽略direction还隐含的近距离排除不会丢失真源。对全向源，第二检测点的安全候选区域为：
+第一次收到 `direction` 后，明确取 $K_1=\Omega\cap W(s_1,\theta_1\pm\delta)\cap B(s_1,1500)$。保留整个距离圆盘是保守处理，忽略 `direction` 还隐含的近距离排除不会丢失真源。对全向源，第二检测点的安全候选区域为：
 
-\[
+$$
-\mathcal Q=\{q:\max_{g\in K_1}\|q-g\|\le1000\}.
+\mathcal{Q}=\left\{q:\max_{g\in K_1}\lVert q-g\rVert\le 1000\right\}.
-\]
+$$
 
-在这里测量，不论实际目标位于K₁何处，接收距离都满足题目最小接收半径；可能返回direction，也可能返回near。若已知外包圆K₁⊆B(c,r)，且r≤1000，则B(c,1000−r)是充分候选区域，等号时是单点。不要误写成“距第一次检测点不超过1000米”。宽松外包圆的r>1000不能证明真实Q为空。
+在这里测量，不论实际目标位于 $K_1$ 何处，接收距离都满足题目最小接收半径；可能返回 `direction`，也可能返回 `near`。若已知外包圆 $K_1\subseteq B(c,r)$，且 $r\le 1000$，则 $B(c,1000-r)$ 是充分候选区域，等号时是单点。不要误写成“距第一次检测点不超过 1000 米”。宽松外包圆的 $r>1000$ 不能证明真实 $\mathcal{Q}$ 为空。
 
-本题还有比“检查Q是否为空”更强的解析结论。令R=1500，u为第一次示向方向，δ≤45°，定义
+本题还有比“检查 $\mathcal{Q}$ 是否为空”更强的解析结论。令 $R=1500$，$u$ 为第一次示向方向，$\delta\le 45^\circ$，定义
 
-\[
+$$
-a=\frac{R}{2\cos\delta},\qquad c=s_1+a u.
+a=\frac{R}{2\cos\delta},\qquad c=s_1+au.
-\]
+$$
 
-整个截断角域W∩B(s₁,R)包含在B(c,a)内。证明：任意候选g=s₁+t uφ满足0≤t≤R、|φ−θ₁|≤δ，因此
+整个截断角域 $W\cap B(s_1,R)$ 包含在 $B(c,a)$ 内。证明：任意候选 $g=s_1+tu_\varphi$ 满足 $0\le t\le R$、$|\varphi-\theta_1|\le\delta$，因此
 
-\[
+$$
-\|g-c\|^2=t^2+a^2-2at\cos(\varphi-\theta_1).
+\lVert g-c\rVert^2=t^2+a^2-2at\cos(\varphi-\theta_1).
-\]
+$$
 
-该式关于t是凸函数，最大值在0或R取得；两端都不超过a²。于是K₁⊆B(c,a)，从而B(c,1000−a)⊆Q。δ=1.005°时，a≈750.115391米，安全圆盘半径约249.884609米，严格为正；题设δ=1°同样成立。即使检测点或c在Ω外也合法，因为机器狗不受源位置圆域限制。实现见 `geometry/planning.py::first_bearing_candidate_disk`。
+该式关于 $t$ 是凸函数，最大值在 $0$ 或 $R$ 取得；两端都不超过 $a^2$。于是 $K_1\subseteq B(c,a)$，从而 $B(c,1000-a)\subseteq\mathcal{Q}$。$\delta=1.005^\circ$ 时，$a\approx 750.115391$ 米，安全圆盘半径约 $249.884609$ 米，严格为正；题设 $\delta=1^\circ$ 同样成立。即使检测点或 $c$ 在 $\Omega$ 外也合法，因为机器狗不受源位置圆域限制。实现见 `geometry/planning.py::first_bearing_candidate_disk`。
 
-因此，在本题一致的首次测向条件下无需依赖“Q空集退化”。对后续更一般的非空紧集K，Q非空当且仅当ρ(K)≤1000；若确实ρ>1000，去MEC圆心只是最小化最坏接收距离的探索动作，必须允许no_signal。若K为空，应先核查频道、数据、误差界与几何计算，不给空集编造中心。上述证书只保证距离；不能直接用于定向源的朝向可见性保证。
+因此，在本题一致的首次测向条件下无需依赖“$\mathcal{Q}$ 空集退化”。对后续更一般的非空紧集 $K$，$\mathcal{Q}$ 非空当且仅当 $\rho(K)\le 1000$；若确实 $\rho>1000$，去 MEC 圆心只是最小化最坏接收距离的探索动作，必须允许 `no_signal`。若 $K$ 为空，应先核查频道、数据、误差界与几何计算，不给空集编造中心。上述证书只保证距离；不能直接用于定向源的朝向可见性保证。
 
-在上述安全圆盘内，围绕测向轴两侧取候选点，计算后验包围半径与动作代价。最坏情形目标可写为sup ρ(K₁∩W(q,θ′))，θ′遍历与K₁和误差界一致的读数；实现先用目标位置与误差区间端点采样，并加密检查。若返回near，则候选源位于当前点5米以内，可直接在当前位置尝试清除该频道。交会角仅作筛选或同分择优，不为改善交会角越出已证明安全的候选区域。采样是启发式，不能称为严格最坏情形最优解；圆弧先验如需离散，使用外包切线多边形并记录逼近误差。
+在上述安全圆盘内，围绕测向轴两侧取候选点，计算后验包围半径与动作代价。最坏情形目标可写为 $\sup_{\theta'}\rho\bigl(K_1\cap W(q,\theta')\bigr)$，其中 $\theta'$ 遍历与 $K_1$ 和误差界一致的读数；实现先用目标位置与误差区间端点采样，并加密检查。若返回 `near`，则候选源位于当前点 5 米以内，可直接在当前位置尝试清除该频道。交会角仅作筛选或同分择优，不为改善交会角越出已证明安全的候选区域。采样是启发式，不能称为严格最坏情形最优解；圆弧先验如需离散，使用外包切线多边形并记录逼近误差。
 
-**4. 搜索完整性和停止条件要有可验证的依据**
+## 4. 搜索完整性和停止条件要有可验证的依据
 
-第 3 问中，在 s 对尚未清除频道测得 no_signal，可以排除以 s 为中心、半径1000米的圆盘内存在该全向源。超过1000米仍可能存在接收半径较小的源，不能一律排除到1500米。
+第 3 问中，在 $s$ 对尚未清除频道测得 `no_signal`，可以排除以 $s$ 为中心、半径 1000 米的圆盘内存在该全向源。超过 1000 米仍可能存在接收半径较小的源，不能一律排除到 1500 米。
 
-第 4 问中，同样的 no_signal 约束的是“位置、半径、朝向”的联合假设。若位置和朝向暂不联合维护，最简单的可靠基线就是不利用这一观测直接删除空间候选点，只记录覆盖检测已完成。后续加速版本再维护朝向可行集合。
+第 4 问中，同样的 `no_signal` 约束的是“位置、半径、朝向”的联合假设。若位置和朝向暂不联合维护，最简单的可靠基线就是不利用这一观测直接删除空间候选点，只记录覆盖检测已完成。后续加速版本再维护朝向可行集合。
 
 可以先构造一个对全向、定向均适用的完整发现基线：
 
-\[
+$$
 S=\{(700i,700j):i,j=-3,-2,\ldots,3\},\quad |S|=49.
-\]
+$$
 
-这些点覆盖 [-2100,2100]²，包含目标圆域，并允许到圆域外访问。对于位于一个网格单元内部的源 g，该单元4个顶点到 g 的距离都不超过700√2≈989.95米。g 在这些顶点的凸包内部，所以经过 g 的任意发射半平面总包含至少一个顶点。该顶点满足接收距离与发射角条件。源恰在网格边或顶点时，取相邻单元的顶点；由于目标圆域与外框有余量，两侧相邻点都存在，仍可选择距离合格、且不与源重合的可见点。
+这些点覆盖 $[-2100,2100]^2$，包含目标圆域，并允许到圆域外访问。对于位于一个网格单元内部的源 $g$，该单元 4 个顶点到 $g$ 的距离都不超过 $700\sqrt{2}\approx 989.95$ 米。$g$ 在这些顶点的凸包内部，所以经过 $g$ 的任意发射半平面总包含至少一个顶点。该顶点满足接收距离与发射角条件。源恰在网格边或顶点时，取相邻单元的顶点；由于目标圆域与外框有余量，两侧相邻点都存在，仍可选择距离合格、且不与源重合的可见点。
 
 因此，对每个尚未解决的频道完成这些点的测量，能够保证发现该频道存在的源。实际实现可跳过已经清除或已经具有有效定位任务的频道，但必须保存逐频道的覆盖记录，不能把“路过某点”当作“测过所有频道”。
 
 作为规模检查，49点全部扫描20频道最多需要980次检测。若从原点去网格一角，再按逐行折返路线扫完，纯扫描路程约36569.85米；每点检测成本上界120秒，纯扫描虚拟总耗时上界约13193.97秒，即3.665小时。**该估算不含定位、清除及其绕行，也不保证满足现实20分钟窗口。**它说明覆盖基线在100小时虚拟上限内有设计空间，现实可行性仍要测接口延迟、总请求数和日志大小。
 
-发现源后，先通过主动测向缩小候选集合。若定向源再次失去信号，可对已知有界候选集合构造半径小于20米的有限圆盘覆盖，逐点调用/clear，作为不依赖朝向的后备清除方法。边长20米方格中心距格内任何点不超过10√2米；保留与候选集合相交的格子即可保守覆盖。格子按统一半开区间索引，源恰在网格线上时至少归入一个格子；若相交判定数值不确定则保留格子。
+发现源后，先通过主动测向缩小候选集合。若定向源再次失去信号，可对已知有界候选集合构造半径小于 20 米的有限圆盘覆盖，逐点调用 `/clear`，作为不依赖朝向的后备清除方法。边长 20 米方格中心距格内任何点不超过 $10\sqrt{2}$ 米；保留与候选集合相交的格子即可保守覆盖。格子按统一半开区间索引，源恰在网格线上时至少归入一个格子；若相交判定数值不确定则保留格子。
 
-有限不等于现实预算可行。设候选外包框宽w、高h，使用全局20米网格枚举时，上界可取N≤(⌈w/20⌉+2)(⌈h/20⌉+2)，再以实际相交格子列表得到精确请求上限。生成路径长度L后，单源全失败清除耗时为L/5+3N；若最后一次成功则为L/5+3(N−1)+5。现实代价用N乘实测单请求高分位耗时加本地计算时间估计。不满足剩余预算时应继续有希望的定位、选择其它任务或按预算退出，不能声称后备清除保证20分钟内成功。即使已知源落在半径1500米圆盘，按外包框枚举仍有约2.3万个格子的量级，故宽候选集合不能直接盲扫。
+有限不等于现实预算可行。设候选外包框宽为 $w$、高为 $h$，使用全局 20 米网格枚举时，上界可取 $N\le(\lceil w/20\rceil+2)(\lceil h/20\rceil+2)$，再以实际相交格子列表得到精确请求上限。生成路径长度 $L$ 后，单源全失败清除耗时为 $L/5+3N$；若最后一次成功则为 $L/5+3(N-1)+5$。现实代价用 $N$ 乘实测单请求高分位耗时加本地计算时间估计。不满足剩余预算时应继续有希望的定位、选择其它任务或按预算退出，不能声称后备清除保证 20 分钟内成功。即使已知源落在半径 1500 米圆盘，按外包框枚举仍有约 $2.3$ 万个格子的量级，故宽候选集合不能直接盲扫。
 
 停止成功的依据为以下任一项：
 
@@ -139,7 +139,7 @@ S=\{(700i,700j):i,j=-3,-2,\ldots,3\},\quad |S|=49.
 
 发现10个源、连续若干次无信号、候选采样点恰好为空，都不是充分停止条件。现实预算不足而退出应记为未证明完成，不能与成功退出混记。
 
-**5. 在可靠基线之上增加加速策略**
+## 5. 在可靠基线之上增加加速策略
 
 先做“发现一个、定位清除一个”的简单闭环，保证功能可运行；再增加以下独立可开关的策略，以便消融比较：
 
@@ -156,7 +156,7 @@ S=\{(700i,700j):i,j=-3,-2,\ldots,3\},\quad |S|=49.
 
 AI 的适合用法是把这些模块逐一变成可测试程序、生成边界案例、分析消融结果，以及在自建环境中搜索策略参数。先形成可解释基线，再判断学习方法是否有额外收益；避免把未建立的奖励与训练分布直接用于正式测试。
 
-**6. 抽象标准和验收标准**
+## 6. 抽象标准和验收标准
 
 采用“来源—输入—状态—动作—观测—约束—代价—输出—验证”的统一模块记录格式。它是本项目建议的工程标准，不是竞赛另行规定的官方评分标准。每个假设注明是题面事实、保守近似还是实验启发式；每条结论注明是数学证明还是演练观察。
 
@@ -177,11 +177,11 @@ AI 的适合用法是把这些模块逐一变成可测试程序、生成边界
 
 980次检测在单次0.5–1秒的假设下占490–980秒（约8.17–16.33分钟），还没有定位清除余量。这个延迟范围不是实测结论；本地接口和模拟器计算的实际耗时应测量。当前14个动作的单次短演练不足以估计高分位延迟或全程稳定性。已清除频道跳过，已发现频道暂停覆盖并进入定位队列，移动到同一点后共享频道测量；自适应跳点必须保留逐频道覆盖证据。根据附件，正式上传日志不超过2MB，需监测官方日志体积；自建JSON大小不能冒充加密日志的大小。
 
-基准实验至少覆盖：全向与混合源；数量10和16；接收半径1000和1500米；目标贴近圆域边界且朝外；测向接近0°/360°；误差取界值；检测点距离5米及清除距离20米的边界；重复请求、拒绝动作及短暂断连。样例数量按剩余时间和运行成本安排，不把有限样例通过等同于数学保证。
+基准实验至少覆盖：全向与混合源；数量 10 和 16；接收半径 1000 和 1500 米；目标贴近圆域边界且朝外；测向接近 $0^\circ/360^\circ$；误差取界值；检测点距离 5 米及清除距离 20 米的边界；重复请求、拒绝动作及短暂断连。样例数量按剩余时间和运行成本安排，不把有限样例通过等同于数学保证。
 
 比较策略时先看是否全清，再比较同一批场景的总虚拟时间、平均每源时间、中位数与高分位耗时、程序时间、请求数。自建环境可用固定场景做配对比较；官方案例随机且不能重读真值，演练成绩单独记录，不声称是在完全相同的隐藏案例上比较。
 
-**7. 建议实施次序与阶段交付**
+## 7. 建议实施次序与阶段交付
 
 下面按P0–P7列出可执行交付与当前状态。排期以验收门槛推进，避免把“几何代码完成”误认为“全清策略完成”。
 
@@ -190,7 +190,7 @@ AI 的适合用法是把这些模块逐一变成可测试程序、生成边界
 | P0 规则固定 | 规则表、状态机、四类API字段与成本 | 示例逐步105/111/194/199秒；clear不切换频道 | 已核对规则，完整状态机待工程化 |
 | P1 协议基线 | enter/measure/clear/exit客户端；串行、幂等、截止时间 | accepted=false和超时重试不污染状态；主动退出；故障注入回放 | 已有少量测向采集器及真实计时回放；完整客户端待实现 |
 | P2 几何内核 | 问题一解答、区域分类、直径圆证据、MEC、清除余量 | 跨界、退化、无界、解析反例、独立算法对照 | 已实现并优化，20项自动化测试通过 |
-| P3 问题二选点 | K₁先验、安全候选盘、后验半径采样与near分支 | 距离证书有效；采样加密；不把探索当接收保证 | 解析非空证明及证书已实现；选点器与实验待实现 |
+| P3 问题二选点 | $K_1$ 先验、安全候选盘、后验半径采样与 `near` 分支 | 距离证书有效；采样加密；不把探索当接收保证 | 解析非空证明及证书已实现；选点器与实验待实现 |
 | P4 全向闭环 | 49点覆盖记录、定位队列、清除、停止、日志统计 | 10/16源、边界源和错误响应案例；官方演练全清并正常退出 | 待实现 |
 | P5 定向扩展 | no_signal联合约束、覆盖发现、有限清除后备与预算 | 朝外边界源不漏；真源不误删；格数与退出预算检查 | 已有证明和设计；闭环待实现 |
 | P6 加速消融 | 共享测点、自适应覆盖、目标排序、提前清除 | 配对案例全清不退化，时间/请求数改善可复算 | 可删减；复杂学习与朝向搜索后置 |
@@ -202,11 +202,11 @@ AI 的适合用法是把这些模块逐一变成可测试程序、生成边界
 
 建议后续代码划分为 protocol、geometry、belief、coverage、planner、local_simulator、evaluation 七个模块。官方客户端与自建环境使用同一动作接口；自建真值只对测试端开放，策略端只能看到观测，防止评估时意外使用隐藏答案。
 
-**8. 当前已落实的结论与下一步**
+## 8. 当前已落实的结论与下一步
 
 已完成题面与附件核对、49点覆盖推导及扫描成本复算；此前497160个位置与朝向组合的辅助数值校核未发现覆盖遗漏，但采样不代替证明。问题一已通过官方演练三点观测离线验证；该次只有enter、measure、exit，没有清除动作，不能当作全清策略成绩。
 
-本次将MEC从全支撑点枚举改为带固定随机种子的Welzl增量算法，保留原枚举法作独立对照；对外输出增加直径圆反例顶点、超出距离和20米清除余量。CLI可显式追加0.005°舍入裕量。真实演练默认δ=1°时D=23.996723米、ρ=12.068583米；δ=1.005°时D=24.119088米、ρ=12.130377米，两种口径下直径圆都不覆盖，但MEC半径都小于20米。原始演练记录未改写。
+本次将 MEC 从全支撑点枚举改为带固定随机种子的 Welzl 增量算法，保留原枚举法作独立对照；对外输出增加直径圆反例顶点、超出距离和 20 米清除余量。CLI 可显式追加 $0.005^\circ$ 舍入裕量。真实演练默认 $\delta=1^\circ$ 时 $D=23.996723$ 米、$\rho=12.068583$ 米；$\delta=1.005^\circ$ 时 $D=24.119088$ 米、$\rho=12.130377$ 米，两种口径下直径圆都不覆盖，但 MEC 半径都小于 20 米。原始演练记录未改写。
 
 可复现报告见 `output/q1/optimization_report.json`，问题一证明、输入输出及数值限制见 `docs/问题一解答.md`。局部MEC基准只反映本地几何计算，不能据此宣称请求延迟、完整策略或官方成绩得到同样提升。
 

README.md

@@ -1,6 +1,6 @@
 # B题问题一 交会定位
 
-给定同一干扰源的检测点坐标及带±1°误差的示向度，计算前向角域交集、定位区域直径、直径圆覆盖判断与最小包围圆。
+给定同一干扰源的检测点坐标及带 $\pm 1^\circ$ 误差的示向度，计算前向角域交集、定位区域直径、直径圆覆盖判断与最小包围圆。
 
 - [完整中文解答与算法证明](docs/问题一解答.md)
 - [修订后的四问思路与P0–P7计划](B题建模分析与实施计划.md)
@@ -22,7 +22,7 @@ python scripts/benchmark_q1.py
 
 用浏览器打开 `output/q1/question1.html`。可选择合成反例或官方演练，逐个加入测点，切换全景与定位区域放大。
 
-输出新增直径圆覆盖反例顶点、最大超出距离和20米清除余量；默认仍为题设±1°，舍入裕量须显式启用。最小包围圆使用可复现的随机增量算法，原枚举法保留作独立对照。`geometry.first_bearing_candidate_disk` 提供问题二首次测向安全区域的解析证书；问题二选点优化器及问题三、四的全清闭环仍待实现。
+输出新增直径圆覆盖反例顶点、最大超出距离和 20 米清除余量；默认仍为题设 $\pm 1^\circ$，舍入裕量须显式启用。最小包围圆使用可复现的随机增量算法，原枚举法保留作独立对照。`geometry.first_bearing_candidate_disk` 提供问题二首次测向安全区域的解析证书；问题二选点优化器及问题三、四的全清闭环仍待实现。
 
 可视化事件检查使用Node.js：`node scripts/verify_visualization.cjs`。可选PNG重绘使用Pillow及Windows微软雅黑字体：`python scripts/render_q1_figures.py`；这些只用于图形校核，不是核心求解依赖。
 

docs/问题一解答.md

@@ -4,62 +4,62 @@
 
 代码、合成算例与官方演练观测均已实现和保存。本解答只解决问题一；在官方问题3演练中采集同一频道的三个检测点，用于检验交会计算，没有执行全域搜索清除任务，未使用正式测试。
 
-**一 题目假设和模型边界**
+## 一、题目假设和模型边界
 
-检测点为 \(S_i=(s_{ix},s_{iy})\)，测得示向度为 \(\theta_i\)，误差半角为 \(\delta=1^\circ\)。角度从正东开始逆时针计算。同一频道对应同一干扰源；位置不变时重复检测不会消除误差。
+检测点为 $S_i=(s_{ix},s_{iy})$，测得示向度为 $\theta_i$，误差半角为 $\delta=1^\circ$。角度从正东开始逆时针计算。同一频道对应同一干扰源；位置不变时重复检测不会消除误差。
 
 本问求附录2交会法所定义的多边形，因此主模型只取前向角域之交，不额外加入1800米圆域或1500米接收上界。这些先验可用于后续搜索定位，但加入圆盘后边界可能包含圆弧，不能仍按原问题的纯多边形处理。本程序也不以图像视窗作为真实边界。
 
-模拟器示向度保留两位小数，正文规定误差在±1°内。本次主计算使用±1°；如需把独立舍入误差也纳入保守预算，可用 `--rounding-margin-deg 0.005` 显式追加半角，输出会记录实际误差半角。这是额外的工程裕量，不是题面规定。
+模拟器示向度保留两位小数，正文规定误差在 $\pm 1^\circ$ 内。本次主计算使用 $\pm 1^\circ$；如需把独立舍入误差也纳入保守预算，可用 `--rounding-margin-deg 0.005` 显式追加半角，输出会记录实际误差半角。这是额外的工程裕量，不是题面规定。
 
-**二 从测向角域得到线性约束**
+## 二、从测向角域得到线性约束
 
-设二维叉积 \([a,b]=a_xb_y-a_yb_x\)，令
+设二维叉积 $[a,b]=a_xb_y-a_yb_x$，令
 
-\[
+$$
 u_i^-=(\cos(\theta_i-\delta),\sin(\theta_i-\delta)),\qquad
 u_i^+=(\cos(\theta_i+\delta),\sin(\theta_i+\delta)).
-\]
+$$
 
-未知源位置 \(X=(x,y)\) 必须满足
+未知源位置 $X=(x,y)$ 必须满足
 
-\[
+$$
 [u_i^-,X-S_i]\ge0,\qquad [u_i^+,X-S_i]\le0.
-\]
+$$
 
-这两条不等式选择两条边界射线之间的前向角域，而不是无限延伸的两条直线。写为标准形式 \(a_jx+b_jy\le c_j\)：
+这两条不等式选择两条边界射线之间的前向角域，而不是无限延伸的两条直线。写为标准形式 $a_jx+b_jy\le c_j$：
 
-\[
+$$
 \begin{aligned}
 \sin(\theta_i-\delta)x-\cos(\theta_i-\delta)y
 &\le \sin(\theta_i-\delta)s_{ix}-\cos(\theta_i-\delta)s_{iy},\\
 -\sin(\theta_i+\delta)x+\cos(\theta_i+\delta)y
 &\le-\sin(\theta_i+\delta)s_{ix}+\cos(\theta_i+\delta)s_{iy}.
 \end{aligned}
-\]
+$$
 
-程序另外保留 \(u_i\cdot(X-S_i)\ge0\) 的前向约束。当 \(0<\delta<90^\circ\) 时它是冗余的，但可让 \(\delta=0\) 的扩展情形正确表示射线，而不是整条直线。实现支持0≤δ<90°，题目算例始终使用1°。
+程序另外保留 $u_i\cdot(X-S_i)\ge 0$ 的前向约束。当 $0<\delta<90^\circ$ 时它是冗余的，但可让 $\delta=0$ 的扩展情形正确表示射线，而不是整条直线。实现支持 $0\le\delta<90^\circ$，题目算例始终使用 $1^\circ$。
 
 定位区域为
 
-\[
+$$
 P=\bigcap_{i=1}^{n}W_i=\{X:AX\le b\}.
-\]
+$$
 
-通过向量而不是简单的角度大小比较处理约束，可自然处理359°与0°跨界问题。
+通过向量而不是简单的角度大小比较处理约束，可自然处理 $359^\circ$ 与 $0^\circ$ 跨界问题。
 
-**三 可复现的算法**
+## 三、可复现的算法
 
 1. 验证输入为有限数值，将检测点平移至其均值附近并按尺度归一化，减小大坐标带来的抵消误差。
 2. 构造所有半平面；枚举每对不平行边界直线的交点。
 3. 只保留满足全部不等式的交点；去重后用单调链算法求凸包，并保留点、线段等退化结果。
-4. 判断有无非零方向 \(d\) 满足 \(Ad\le0\)。若存在，任一可行点沿该方向无限前进仍可行，区域无界，直径为无穷大。
+4. 判断有无非零方向 $d$ 满足 $Ad\le 0$。若存在，任一可行点沿该方向无限前进仍可行，区域无界，直径为无穷大。
 5. 对有界非空区域，枚举凸包顶点对，得到直径及一对最远顶点。
-6. 用任意一组最远顶点对中点与半径D/2检验圆覆盖；失败时返回圆外顶点及最大超出距离。用Welzl随机增量法求最小包围圆，输出20米清除半径余量，以区分“直径圆覆盖”和“保证清除”。
+6. 用任意一组最远顶点对中点与半径 $D/2$ 检验圆覆盖；失败时返回圆外顶点及最大超出距离。用 Welzl 随机增量法求最小包围圆，输出 20 米清除半径余量，以区分“直径圆覆盖”和“保证清除”。
 
 非空前向角域的交集不会包含一条双向无限直线，即它是尖的多面集。这保证非空区域存在极点，所以在本模型中可以通过是否存在可行边界交点来判空。无观测时需单独返回整个平面无界，不能依据“没有顶点”误判为空集。
 
-二维非平凡衰退锥若存在，至少有一条边界方向与某个约束边界平行。因此检查每条边界的两个切向方向是否满足 \(Ad\le0\)，即可判定无界性。无界情形中输出的有限顶点仅是区域的极点，不构成完整有限多边形。
+二维非平凡衰退锥若存在，至少有一条边界方向与某个约束边界平行。因此检查每条边界的两个切向方向是否满足 $Ad\le 0$，即可判定无界性。无界情形中输出的有限顶点仅是区域的极点，不构成完整有限多边形。
 
 伪代码如下：
 
@@ -69,101 +69,101 @@ P=\bigcap_{i=1}^{n}W_i=\{X:AX\le b\}.
 H ← 将每次测量转换为前向角域的半平面约束
 V ← 所有边界对交点中满足 H 的点
 若 V 为空：返回空集
-若存在非零 d 满足 H 的齐次约束 A d ≤ 0：返回无界
+若存在非零 d 满足 H 的齐次约束 A d <= 0：返回无界
 V ← 去重并排序为凸包
 (D, A, B) ← V 中的最远顶点对
 O ← (A+B)/2
-覆盖成立 ← max_{v∈V} ||v−O|| ≤ D/2
+覆盖成立 <- max_{v in V} ||v-O|| <= D/2
 返回 V、D、A、B、O、覆盖判断和最小包围圆
 ```
 
-设半平面数为k（本实现k=3n），最终顶点数为m。枚举交点并检验全部约束需要O(k³)，直径计算O(m²)，无界性检查O(k²)。可行交点排序的代价上界为O(k² log k)，临时交点存储上界O(k²)。新增直径圆证据只需O(m)遍历。
+设半平面数为 $k$（本实现中 $k=3n$），最终顶点数为 $m$。枚举交点并检验全部约束需要 $O(k^3)$，直径计算需要 $O(m^2)$，无界性检查需要 $O(k^2)$。可行交点排序的代价上界为 $O(k^2\log k)$，临时交点存储上界为 $O(k^2)$。新增直径圆证据只需 $O(m)$ 遍历。
 
-最小包围圆改为Welzl随机增量算法：先打乱点顺序；已有圆包含新点则保留，否则强制新点成为边界点并解更小子问题；二维最多需要3个支撑点。3个强制边界点必须用外接圆，不能误用这3点的无约束最小圆。实现以显式栈代替递归，防止大量点超过Python递归深度。固定随机种子使输出可复现，理论期望线性指随机排列下的期望，不是该固定种子的最坏复杂度保证。对外函数内部也做坐标归一化，最后重新计算所有点到输出圆心的最大距离，保持数值包含性。旧O(m⁴)支撑点枚举保留为独立测试基准。
+最小包围圆改为 Welzl 随机增量算法：先打乱点顺序；已有圆包含新点则保留，否则强制新点成为边界点并解更小子问题；二维最多需要 3 个支撑点。3 个强制边界点必须用外接圆，不能误用这 3 点的无约束最小圆。实现以显式栈代替递归，防止大量点超过 Python 递归深度。固定随机种子使输出可复现，理论期望线性指随机排列下的期望，不是该固定种子的最坏复杂度保证。对外函数内部也做坐标归一化，最后重新计算所有点到输出圆心的最大距离，保持数值包含性。旧 $O(m^4)$ 支撑点枚举保留为独立测试基准。
 
 半平面交与直径仍采用容易审查的小规模算法，未为少量测点引入更复杂的旋转卡壳。大规模在线数据可后续替换半平面交，不能把MEC局部提速等同于整个求解器线性复杂度。
 
-**四 为什么只枚举顶点对就能得到直径**
+## 四、为什么只枚举顶点对就能得到直径
 
 有界凸多边形内任意两点可表示为顶点的凸组合：
 
-\[
+$$
 x=\sum_i\lambda_i v_i,\quad y=\sum_j\mu_jv_j,\quad
 \lambda_i,\mu_j\ge0,\quad\sum_i\lambda_i=\sum_j\mu_j=1.
-\]
+$$
 
 由三角不等式，
 
-\[
+$$
-\|x-y\|=\left\|\sum_{i,j}\lambda_i\mu_j(v_i-v_j)\right\|
+\lVert x-y\rVert=\left\lVert\sum_{i,j}\lambda_i\mu_j(v_i-v_j)\right\rVert
-\le\sum_{i,j}\lambda_i\mu_j\|v_i-v_j\|
+\le\sum_{i,j}\lambda_i\mu_j\lVert v_i-v_j\rVert
-\le\max_{i,j}\|v_i-v_j\|.
+\le\max_{i,j}\lVert v_i-v_j\rVert.
-\]
+$$
 
 最远顶点对本身又属于区域，因此上界可以达到：
 
-\[
+$$
-\boxed{D(P)=\max_{i,j}\|v_i-v_j\|.}
+\boxed{D(P)=\max_{i,j}\lVert v_i-v_j\rVert.}
-\]
+$$
 
 点的直径为0，线段的直径为端点距离。对空集，本程序约定直径未定义，输出null；对无界区域，输出 `diameter_infinite=true`，不把Infinity写入不兼容标准的JSON数值。
 
-**五 直径圆能否覆盖的充分必要条件**
+## 五、直径圆能否覆盖的充分必要条件
 
-取任意最远顶点对A、B，距离为D，令O=(A+B)/2。如果半径D/2的某个圆能够同时包含A和B，则
+取任意最远顶点对 $A,B$，距离为 $D$，令 $O=(A+B)/2$。如果半径为 $D/2$ 的某个圆能够同时包含 $A$ 和 $B$，则
 
-\[
+$$
-D=\|A-B\|\le\|A-O'\|+\|O'-B\|\le D.
+D=\lVert A-B\rVert\le\lVert A-O'\rVert+\lVert O'-B\rVert\le D.
-\]
+$$
 
 两个不等式只能同时取等号，因此其圆心只能是O。又因为圆盘是凸集，包含全部顶点等价于包含整个多边形。所以
 
-\[
+$$
-\boxed{\text{存在直径为D的覆盖圆}\iff
+\boxed{\text{存在直径为 }D\text{ 的覆盖圆}\iff
-\max_{v\in V}\|v-(A+B)/2\|\le D/2.}
+\max_{v\in V}\lVert v-(A+B)/2\rVert\le D/2.}
-\]
+$$
 
-不必尝试移动直径圆，也不必尝试其它最远点对：若这个唯一可能的圆心不满足覆盖，就不存在直径为D的覆盖圆。最小包围圆半径ρ满足ρ≥D/2，当且仅当ρ=D/2时存在这样的覆盖圆。
+不必尝试移动直径圆，也不必尝试其他最远点对：若这个唯一可能的圆心不满足覆盖，就不存在直径为 $D$ 的覆盖圆。最小包围圆半径 $\rho$ 满足 $\rho\ge D/2$，当且仅当 $\rho=D/2$ 时存在这样的覆盖圆。
 
-代码的 `diameter_circle.max_excess_m` 为maxᵥ‖v−O‖−D/2；超出数值容差时返回 `witness_vertex` 和从0开始的 `outside_vertex_indices`。因此输出既有判断，也有可独立复核的反例。判定中使用 `coverage_tolerance_m`，边界附近的布尔结果属于浮点容差下结论。
+代码的 `diameter_circle.max_excess_m` 为 $\max_{v\in V}\lVert v-O\rVert-D/2$；超出数值容差时返回 `witness_vertex` 和从 0 开始的 `outside_vertex_indices`。因此输出既有判断，也有可独立复核的反例。判定中使用 `coverage_tolerance_m`，边界附近的布尔结果属于浮点容差下结论。
 
-保证清除使用MEC半径加数值余量εₘ，再比较20米。`clearance_certificate.remaining_margin_m=20−(ρ+εₘ)`；非负时支持当前圆心清除，负数时不作此保证。这里的证书以观测误差界正确、真源属于P和浮点几何计算可靠为前提，不是实际清除成功记录。数学上所有可行清除中心构成∩ᵥB(v,20)，MEC圆心是充分选择；后续可在此集合中另选距离机器狗最近的点。
+保证清除使用 MEC 半径加数值余量 $\varepsilon_m$，再与 20 米比较。`clearance_certificate.remaining_margin_m` 对应 $20-(\rho+\varepsilon_m)$；非负时支持当前圆心清除，负数时不作此保证。这里的证书以观测误差界正确、真源属于 $P$ 和浮点几何计算可靠为前提，不是实际清除成功记录。数学上所有可行清除中心构成 $\bigcap_{v\in V}B(v,20)$，MEC 圆心是充分选择；后续可在此集合中另选距离机器狗最近的点。
 
-**六 满足题设±1°的具体反例**
+## 六、满足题设 $\pm 1^\circ$ 的具体反例
 
 取三个检测点及示向度：
 
 | 检测点 | x（米） | y（米） | 示向度 |
 | --- | ---: | ---: | ---: |
-| S1 | −1000 | 0 | 1° |
+| $S_1$ | $-1000$ | $0$ | $1^\circ$ |
-| S2 | 540 | −500√3 | 121° |
+| $S_2$ | $540$ | $-500\sqrt{3}$ | $121^\circ$ |
-| S3 | 520 | 520√3 | 241° |
+| $S_3$ | $520$ | $520\sqrt{3}$ | $241^\circ$ |
 
-三个角域的交集恰为等边三角形，顶点是(0,0)、(40,0)、(20,20√3)。每个角域的一条边界对应三角形的一条边，另一条边界在三角形外侧，不切去三角形内部。可将真实源设在三角形中心(20,20√3/3)，其真实方位与上述读数的偏差均小于1°，且三个检测距离都小于1500米。因此这不是脱离测向模型的任意图形反例。
+三个角域的交集恰为等边三角形，顶点是 $(0,0)$、$(40,0)$、$(20,20\sqrt{3})$。每个角域的一条边界对应三角形的一条边，另一条边界在三角形外侧，不切去三角形内部。可将真实源设在三角形中心 $(20,20\sqrt{3}/3)$，其真实方位与上述读数的偏差均小于 $1^\circ$，且三个检测距离都小于 1500 米。因此这不是脱离测向模型的任意图形反例。
 
-它的直径D=40米；直径圆半径20米。以底边两端为最远点对，圆心为(20,0)，到第三个顶点的距离是20√3≈34.6410米，因此不能覆盖。其最小包围圆为
+它的直径为 $D=40$ 米；直径圆半径为 20 米。以底边两端为最远点对，圆心为 $(20,0)$，到第三个顶点的距离是 $20\sqrt{3}\approx 34.6410$ 米，因此不能覆盖。其最小包围圆为
 
-\[
+$$
-O_*=(20,20\sqrt3/3),\qquad \rho_*=40/\sqrt3\approx23.0940\text{米}>20\text{米}.
+O_*=(20,20\sqrt{3}/3),\qquad \rho_*=40/\sqrt{3}\approx 23.0940\,\text{米}>20\,\text{米}.
-\]
+$$
 
 ![等边三角形定位区域反例](../output/q1/figures/counterexample-736-light.png)
 
 图中蓝色为定位区域，红色虚线为直径圆，绿色实线为最小包围圆。黑色加号只在合成场景中表示已知真源。
 
-**七 官方演练数据验证**
+## 七、官方演练数据验证
 
 2026年9月10日，界面明确为“问题3 演练 测试”后，通过公开HTTP接口采集。案例编码为 `U5ZW-P9KN-TCAG-R7ST`，选取频道9。
 
 | 检测点 | x（米） | y（米） | 示向度 |
 | --- | ---: | ---: | ---: |
-| S1 | 0 | 0 | 131.52° |
+| $S_1$ | $0$ | $0$ | $131.52^\circ$ |
-| S2 | −613.761885 | 391.530775 | 34.92° |
+| $S_2$ | $-613.761885$ | $391.530775$ | $34.92^\circ$ |
-| S3 | −314.272134 | 656.683353 | 227.19° |
+| $S_3$ | $-314.272134$ | $656.683353$ | $227.19^\circ$ |
 
-重复在S1测量一次仍返回131.52°。这次重复观测只用于核查原地误差固定，没有作为新的独立测点加入模型。
+重复在 $S_1$ 测量一次仍返回 $131.52^\circ$。这次重复观测只用于核查原地误差固定，没有作为新的独立测点加入模型。
 
-使用±1°得到四边形，其顶点按逆时针顺序为：
+使用 $\pm 1^\circ$ 得到四边形，其顶点按逆时针顺序为：
 
 | 顶点 | x（米） | y（米） |
 | --- | ---: | ---: |
@@ -180,7 +180,7 @@ O_*=(20,20\sqrt3/3),\qquad \rho_*=40/\sqrt3\approx23.0940\text{米}>20\text{米}
 
 原始请求响应保存在 `output/q1/practice/*_actions.json`，保留了复算所需的请求ID、位置、频道与时间；三点观测及其计算结果保存在 `*_observations.json`。没有读取或解密模拟器隐藏场景数据。
 
-**八 运行方式和代码入口**
+## 八、运行方式和代码入口
 
 核心算法仅用Python标准库，支持Python3.10及以上；本次在Python3.12.14中验证。在项目根目录运行：
 
@@ -229,7 +229,7 @@ python scripts/capture_practice.py --robot-id 你的参赛队号 --practice-conf
 
 接口协议没有返回演练／正式模式的字段，`--practice-confirmed` 是操作者确认已核验界面的显式参数，不能替代界面核查。采集脚本没有启动测试的功能，没有正式模式选项，只会调用 `/enter`、`/measure`、`/exit`。禁止在正式测试会话中运行。
 
-**九 验证范围和数值限制**
+## 九、验证范围和数值限制
 
 20项自动化测试通过，包括100组随机有界案例、60组与独立矩形裁剪实现的对照、250组增量圆与穷举圆对照、1500个共圆点及重复点/共线点、平移旋转缩放不变性，以及已保存演练日志的逐动作计时复算。新增测试还覆盖清除距离20米临界值、显式舍入选项、首次安全候选圆盘边界和零半径情形。已测试一组有限但直径超过10亿米的近乎平行测向，确认不会因为显示范围而被截断成小区域。
 
@@ -237,12 +237,12 @@ python scripts/capture_practice.py --robot-id 你的参赛队号 --practice-conf
 
 | 误差半角 | 直径 / 米 | MEC半径 / 米 | 直径圆最大超出 / 米 | 含数值裕量的清除余量 / 米 |
 | --- | ---: | ---: | ---: | ---: |
-| 1°（默认题设） | 23.996723 | 12.068583 | 0.604002 | 7.931415 |
+| $1^\circ$（默认题设） | 23.996723 | 12.068583 | 0.604002 | 7.931415 |
-| 1.005°（额外舍入） | 24.119088 | 12.130377 | 0.608486 | 7.869621 |
+| $1.005^\circ$（额外舍入） | 24.119088 | 12.130377 | 0.608486 | 7.869621 |
 
 在本机60个共圆点的局部基准中，旧MEC枚举中位约306.5毫秒，新算法约0.096毫秒；4点时旧法约0.022毫秒、新法约0.029毫秒，小规模没有提速优势。这些是特定输入的局部实测，不是普遍倍率保证，也不代表网络、全清闭环或官方成绩。三点演练的完整问题一求解中位约0.099毫秒。运行基准脚本可以重新生成当前机器的报告。
 
-浮点计算不是精确算术。实现使用归一化位置容差10⁻⁹、平行行列式阈值10⁻¹²和较严格的衰退方向角度容差。极端近乎平行、差异接近机器精度或接近退化的输入可能需要高精度几何谓词；结果接近临界阈值时应做容差敏感性检查，而不把最后若干小数位当作严格证明。正常题设坐标和测向精度下，本次案例远离这些数值极限。
+浮点计算不是精确算术。实现使用归一化位置容差 $10^{-9}$、平行行列式阈值 $10^{-12}$ 和较严格的衰退方向角度容差。极端近乎平行、差异接近机器精度或接近退化的输入可能需要高精度几何谓词；结果接近临界阈值时应做容差敏感性检查，而不把最后若干小数位当作严格证明。正常题设坐标和测向精度下，本次案例远离这些数值极限。
 
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