论文更改与图更改
Co-authored-by: Pengheng <Horldsence@users.noreply.github.com>
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\section{问题二：保证接收的第二检测点选择}
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\subsection{候选位置集合与安全区域}
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设首次有效示向度为 $(s,\theta)$。有效读数除限定角域外，
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还说明源距检测点不超过接收半径上界，故
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\begin{equation}
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K_1=\Omega\cap W(s,\theta,\delta_{\mathrm{eff}})\cap\B(s,R_+).
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\label{eq:k1}
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\end{equation}
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其中使用 $R_+=1500$ 而非 $R_-=1000$：收到信号并不能推出距离小于 $1000$ m。
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$\direction$ 还隐含距离大于 $5$ m；为了保持凸表示，在线不扣除这个小圆盘，
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只会多保留可能位置，不会排除真源。
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对非空紧集 $K$ 定义
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\begin{equation}
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F_K(q)=\max_{g\in K}\norm{q-g},\qquad
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\mathcal Q(K)=\{q:F_K(q)\le R_-\}
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=\bigcap_{g\in K}\B(g,R_-).
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\label{eq:exact-safe}
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\end{equation}
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该区域内的任何点均在所有可能真源的最小接收范围内。
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$F_K$ 是凸函数且为 $1$-Lipschitz，因而 $\mathcal Q(K)$ 是闭凸集。
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由式~\eqref{eq:mec} 可知
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\begin{equation}
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\mathcal Q(K)\ne\varnothing\quad\Longleftrightarrow\quad\rho(K)\le R_-.
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\end{equation}
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这一表述将第二点的鲁棒可行性转化为最小包围圆判据\cite{boyd}。
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在线用外切正多边形表示圆盘，再逐半平面裁剪。
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若边数为 $M$、圆半径为 $r$，外切多边形顶点的半径为
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$r\sec(\pi/M)$，其最大径向超出量准确写为
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\begin{equation}
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e_M(r)=r\bigl(\sec(\pi/M)-1\bigr).
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\label{eq:outer-error}
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\end{equation}
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默认 $M=192$。由于整个圆盘已包含在多边形中，
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裁剪后得到 $K_1\subseteq P^{\mathrm{out}}$。
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算法求 $P^{\mathrm{out}}$ 的实际最小包围圆 $\B(m,\rho_{\mathrm{out}})$，
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不将内接多边形误用作保守候选集。
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由三角不等式，充分安全盘为
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\begin{equation}
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\mathcal Q_{\mathrm{in}}
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=\B\!\left(m,R_- -\rho_{\mathrm{out}}-\eta\right),\qquad
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\eta=10^{-3}\ {\rm m}.
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\label{eq:safe-disk}
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\end{equation}
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任意 $q\in\mathcal Q_{\mathrm{in}}$ 与真源 $g$ 满足
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$\norm{q-g}\le\norm{q-m}+\norm{m-g}\le R_- -\eta$。
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因此第二次检测一定为 $\direction$ 或 $\near$。
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若盘半径为负，只能说明这个充分构造失效，
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不能据此断言真实安全区域为空；程序退回圆心探索，并明确无接收保证。
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\subsection{首次截断角域的解析候选盘}
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为给出不依赖离散多边形的显式答案，暂去掉 $\Omega$，考虑
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$S=W(s,\theta,\delta)\cap\B(s,R_+)$。
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当 $0\le\delta\le45^\circ$，令
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\begin{equation}
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a=\frac{R_+}{2\cos\delta},\qquad c=s+a\,u(\theta).
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\end{equation}
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\begin{proposition}[截断角域最小包围圆]
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上述 $S$ 的最小包围圆为 $\B(c,a)$。
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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任取 $g=s+t u(\theta+\varphi)$，其中 $0\le t\le R_+$、
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$|\varphi|\le\delta$。有
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$\norm{g-c}^2=t^2+a^2-2at\cos\varphi$。
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该式关于 $t$ 为凸二次式，最大值在区间端点取得。
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$t=0$ 时为 $a^2$；$t=R_+$ 时不超过
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$R_+^2+a^2-2aR_+\cos\delta=a^2$，故全域被包含。
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再取边界三点 $s,p_\pm=s+R_+u(\theta\pm\delta)$。
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权重
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$\lambda_\pm=1/(4\cos^2\delta)$、
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$\lambda_0=1-1/(2\cos^2\delta)$ 非负且和为 $1$，
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其加权中心为 $c$。三点均距 $c$ 为 $a$，
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对任意圆心 $z$，加权平方距离等于 $a^2+\norm{z-c}^2$，
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故至少一点距 $z$ 不小于 $a$。任何包含三点的圆半径均不小于 $a$。
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\end{proof}
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由于 $K_1\subseteq S$，于是
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\begin{equation}
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\boxed{
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q\in\B\!\left(s+\frac{1500}{2\cos\delta}u(\theta),
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1000-\frac{1500}{2\cos\delta}\right)}
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\label{eq:q2-answer}
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\end{equation}
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即为题目所求的一种明确候选区域，实际使用时再内缩 $1$ mm。
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它是充分子区域，不等于全部可行区域 $\mathcal Q(K_1)$。
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\begin{table}[htbp]
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\centering\small
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\caption{解析安全盘参数，由式~\eqref{eq:q2-answer} 直接计算}
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\begin{tabular}{lrr}
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\toprule
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误差半角 & 中心沿首次方向偏移 $a$/m & 候选盘半径/m\\
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\midrule
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$1^\circ$ & 750.114246 & 249.885754\\
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$1.005^\circ$ & 750.115391 & 249.884609\\
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\bottomrule
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\end{tabular}
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\label{tab:safeanalytic}
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\end{table}
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在线算法继续使用 $\Omega$ 裁剪后的完整候选形状，
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通常能够获得更紧的源包围圆与更大的充分安全盘。
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解析公式负责解释保证为何存在，多边形流程负责利用已有的全部几何约束。
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\begin{figure}[htbp]
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\centering
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\begin{tikzpicture}[x=0.006cm,y=0.006cm,font=\small,>=Stealth]
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\fill[inkblue!8] (0,0)--(1499.77,-26.18) arc[start angle=-1,end angle=1,radius=1500]--cycle;
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\draw[inkblue!45] (750.114,0) circle (750.114);
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\filldraw[fill=inkblue!12,draw=inkblue,thick] (750.114,0) circle (249.885);
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\draw[thick] (0,0)--(1499.77,26.18);
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\draw[thick] (0,0)--(1499.77,-26.18);
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\draw[->,dashed] (0,0)--(1650,0) node[right] {$u(\theta)$};
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\fill (0,0) circle (8) node[below left] {$s$};
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\fill[inkblue] (750.114,0) circle (8) node[below] {$c$};
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\draw[->,inkblue] (1010,345)--(890,155);
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\node[anchor=west,inkblue] at (990,390) {保证接收候选盘};
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\node at (750,-850) {圆域先验 $\Omega$ 可进一步收紧候选集};
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\node[anchor=east] at (1570,-125) {首次截断角域 $S$};
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\node[inkblue!70] at (750,830) {截断角域的最小包围圆};
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\end{tikzpicture}
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\caption{第二点解析候选区域的几何关系，采用 $1^\circ$ 半角、同一坐标比例绘制。}
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\label{fig:q2disk}
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\end{figure}
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\subsection{定位效果指标与有限候选求解}
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理想的鲁棒选点模型为
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\begin{equation}
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\min_{q\in\mathcal Q_{\mathrm{in}}}
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\left(\sup_{y\in\mathcal Y(q,K_1)}\rho(K_1\cap O(q,y)),
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\frac{\norm{q-p}}{5}\right)_{\mathrm{lex}},
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\label{eq:q2minimax}
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\end{equation}
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其中 $p$ 是当前机器人位置，$y$ 表示可能观测，
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$O(q,y)$ 为相应观测可行集，下标表示按字典序比较：
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先最小化最坏后验半径，再减少移动耗时。
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方向分支取相应角域，近距离分支取 $\B(q,5)$。
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这比仅优化交会角更直接地对应最终清除需求。
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连续极小极大问题求解成本较高，当前算法采用有限候选近似。
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在式~\eqref{eq:safe-disk} 的盘心及半径比例
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$0.4,0.75,1.0$ 的三个环上各取 $12$ 个方向，
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角度为 $(k+\tfrac12)2\pi/12$，共 $37$ 点。
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对每个候选 $q$，在 $P^{\mathrm{out}}$ 边界以不大于 $60$ m 的间距采样，
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包含全部顶点。对见证点 $g$ 枚举读数
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$\operatorname{bearing}(q,g)\pm\delta_{\mathrm{eff}}$，
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计算新角域交后的最小包围半径，并另外计算 $\near$ 分支；
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取所得最大值作为 $\widehat J(q)$。
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选取使 $(\widehat J(q),\norm{q-p}/5)$ 最小的点，
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然后将边界采样间距加密至 $15$ m 复核其评分。
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该方法未覆盖所有连续真源位置与误差取值，
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所以 $\widehat J$ 是最坏后验的\textbf{采样近似}，不是经过证明的全局上界；
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加密复核也不使其成为全局最优解。接收保证则由安全盘独立成立。
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\begin{algorithmblock}{算法2：保证接收的主动选点（对应 algo-2）}
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\textbf{输入：}首次测点与示向度，或任意已更新的候选凸外包；当前位置。\\
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\textbf{输出：}下一检测点、采样后验评分及接收保证状态。
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\begin{enumerate}[leftmargin=2em,itemsep=1pt,topsep=4pt]
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\item 初次调用时构造式~\eqref{eq:k1} 的外包多边形；后续调用使用已有外包。
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\item 计算最小包围圆和安全盘半径 $b=1000-\rho_{\mathrm{out}}-10^{-3}$。
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\item 若 $b<0$，返回圆心探索并注明无保证；否则生成 $37$ 个安全候选点。
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\item 对每点枚举边界见证与方向端点读数，补入近距离分支，得到 $\widehat J$。
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\item 按后验评分优先、移动时间次优选点，并以 $15$ m 见证间距复核。
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\item 获得新观测后更新候选集；$\near$ 可就地清除，
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$\direction$ 则继续检查清除证书，不满足时追加测量。
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\end{enumerate}
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\end{algorithmblock}
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若候选数为 $N_q$、见证数为 $N_g$、多边形顶点数为 $m$，
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一次裁剪为 $O(m)$，总计算量主要为
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$O(N_qN_g(m+C_{\mathrm{MEC}}(m)))$。
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该算法复用问题一的角域语义和最小圆函数，
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但在线候选集采用多边形裁剪，不直接调用问题一的纯角域直径求解器。
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