论文更改与图更改
Co-authored-by: Pengheng <Horldsence@users.noreply.github.com>
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\section{问题三：全向多源的覆盖搜索与滚动调度}
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\subsection{统一时间目标与任务状态}
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设整个会话移动距离为 $L$，检测、换频、成功和失败清除次数分别为
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$N_m,N_s,N_c^+,N_c^-$。忽略每段移动时间的微秒量化时，总虚拟耗时为
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\begin{equation}
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T=\frac{L}{5}+5N_m+N_s+5N_c^++3N_c^-.
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\label{eq:time}
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\end{equation}
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优化目标是在全部源清除的约束下最小化 $T$。
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题目统计的平均定位清除时间是 $\bar T=T/N_c^+$；
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不能用每次清除动作的固定 $5$ s 代替。
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清除请求中的频道是目标频道，不改变测向机频道；
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进入与退出均不增加虚拟时间，因此路径终点自由，无需返回原点。
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各频道的状态按“未知、已发现、可清除、已清除、已证无源”管理。
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首次获得 $\direction$ 或 $\near$ 即确立该频道存在源。
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几何证书仅决定能否清除，成功响应才将状态改为已清除。
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无源频道必须有覆盖或候选集排空的证据，不能由连续几次无信号直接推断。
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\subsection{七点覆盖的解析证明}
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取站点集合
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\begin{equation}
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S(a)=\{(0,0)\}\cup
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\left\{a\left(\cos\frac{k\pi}{3},\sin\frac{k\pi}{3}\right):k=0,\ldots,5\right\}.
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\label{eq:seven}
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\end{equation}
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\begin{proposition}[七点全向覆盖]
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当 $0<a/\sqrt3\le R$ 时，任意 $g\in\Omega$ 到最近站点的距离不超过
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\begin{equation}
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D_{\mathrm{cov}}(a)=
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\max\left\{\frac a{\sqrt3},\
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\sqrt{R^2+a^2-\sqrt3Ra}\right\}.
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\label{eq:coveragebound}
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\end{equation}
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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设 $g$ 距原点为 $r$，其方位与最近环站的夹角不超过 $\pi/6$。
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若 $r\le a/\sqrt3$，选取原点即可。
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若 $r\ge a/\sqrt3$，由余弦定理，距最近环站的平方不超过
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$r^2+a^2-\sqrt3ar$。
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该凸二次式在 $[a/\sqrt3,R]$ 上的最大值于端点取得，
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分别为 $a^2/3$ 与 $R^2+a^2-\sqrt3aR$。
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\end{proof}
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当前 \texttt{bayes} 策略取 $a=1159.7$ m，
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由式~\eqref{eq:coveragebound} 得 $D_{\mathrm{cov}}=984.539136$ m，
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比最小接收半径小约 $15.461$ m。
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因此每个合法全向源至少在一站可被接收。
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某频道在七站全部为无信号，就构成该频道不存在源的严格证据。
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覆盖账本以“站点、频道”为索引，路过站点并不等于已检测该频道。
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\begin{figure}[htbp]
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\centering
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\begin{tikzpicture}[x=0.0019cm,y=0.0019cm,font=\small]
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\begin{scope}
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\clip (0,0) circle (1800);
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\fill[inkblue!8] (0,0) circle (1000);
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\foreach \angle in {0,60,120,180,240,300}{
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\fill[inkblue!7] (\angle:1159.7) circle (1000);
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\draw[inkblue!30] (\angle:1159.7) circle (1000);
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}
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\draw[inkblue!30] (0,0) circle (1000);
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\end{scope}
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\draw[thick] (0,0) circle (1800);
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\draw[dashed,warmgray] (0,0) circle (1159.7);
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\foreach \angle in {0,60,120,180,240,300}{
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\fill[inkblue] (\angle:1159.7) circle (26);
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}
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\fill[inkblue] (0,0) circle (26) node[below left] {$O$};
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\draw[->] (0,0)--(1159.7,0) node[midway,above] {$a$};
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\draw[->,warmgray] (0,0)--(30:1800) node[midway,above left] {$R$};
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\node[anchor=west,align=left] at (2100,750)
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{实线：源位置边界\\虚线：六站所在圆\\浅色圆盘：$1000$ m 接收保证};
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\node[anchor=west,align=left] at (2100,-650)
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{$a=1159.7$ m\\$R=1800$ m\\最坏距离 $\le984.539$ m};
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\end{tikzpicture}
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\caption{七点全向覆盖构造。图示站点来自配置参数，不表示正式测试的实际轨迹。}
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\label{fig:seven}
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\end{figure}
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顺次从原点访问六个环站的简单开放路线长为 $6a$，
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但实际路线还包含定位与清除偏移，不能将 $6a/5$ 当作任务总耗时。
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历史 $49$ 点方格与半径 $1200$ m 的七点批量策略仍保留在代码中作为对照；
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本文不引用它们在自建场景中的性能数字，以保持实验数据来源一致。
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\subsection{正负观测的双重候选表示}
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每个已发现频道维护凸外包 $P_c^{\mathrm{out}}$。
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$\direction$ 将候选集与 $\B(s,1500)$ 外切多边形及测向角域相交；
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$\near$ 与 $\B(s,5)$ 外切多边形相交。
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全向源的 $\sgnless$ 意味着
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\begin{equation}
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\norm{g-s}>r_{\mathrm{eff}}\ge1000,
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\end{equation}
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其排除圆盘会使候选集非凸，因此凸表示不直接扣除负观测圆盘，
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而由另一套网格幸存集 $\mathcal G_c$ 处理。
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网格边长为 $\ell=14.65$ m，每格中心与格内点的最大距离为
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$\epsilon_g=\ell/\sqrt2$。初始保留所有可能与 $\Omega$ 相交的格，
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按以下充分排除条件更新格心 $z$：
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\begin{equation}
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\begin{array}{ll}
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\sgnless: & \norm{z-s}\le1000-\epsilon_g\ \Rightarrow\ \text{删除};\\
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\near: & \norm{z-s}>5+\epsilon_g\ \Rightarrow\ \text{删除};\\
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\direction: & \norm{z-s}>1500+\epsilon_g\ \Rightarrow\ \text{删除}.
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\end{array}
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\label{eq:gridupdate}
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\end{equation}
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方向观测另外检查角差。若 $d=\norm{z-s}>\epsilon_g$，
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源所在格引起的方位偏差可由
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$\arcsin(\epsilon_g/d)$ 上界；
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实现使用更保守的距离内缩版本，并在测点附近不作方位删格。
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只有角差超过 $\delta_{\mathrm{eff}}$ 加格内角裕量时才删除。
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在上述整格排除条件下，真源所在格不会被合法观测删除。
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因此幸存集为空可证明该频道不存在源。
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若全部幸存格心均满足 $\norm{z-s}>1500+\epsilon_g$，
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则在 $s$ 测量必无信号，且所有幸存格已在最小接收圆盘外，
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该观测不能带来进一步排除，可跳过并在账本中记录推断依据。
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这避免了为已知无信息的“站点、频道”对重复支付检测与换频时间。
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\subsection{信息增益选点与清除证书}
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问题二的算法2用于基线定位和安全后备；
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默认 \texttt{BayesLoop} 采用幸存网格上的信息评分。
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有安全盘时在其中生成环形候选，并增加与当前接近方向相关的候选；
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无安全盘时在网格最小圆附近生成探索环。
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当前位置也可参与评分，因而并非所有候选均具有算法2的接收保证。
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对候选 $q$ 计算
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\begin{equation}
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J_{\mathrm{IG}}(q)=
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\widehat{\mathbb E}\!\left[
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\log\frac{|\mathcal G_c^{\,\mathrm{post}}(q,Y)|}{|\mathcal G_c|}
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\right]
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\lambda\left(\frac{\norm{p-q}}5+\frac{\norm{q-m_c}}5\right),
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\label{eq:ig}
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\end{equation}
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其中 $\lambda=0.05$，空分支用正的小值截断。
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较小的对数幸存比例意味着较大信息收益，移动项则限制为测量而产生的绕行。
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评分最多取 $800$ 个子样本及 $7$ 个代表假设，
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并以均匀 $r_{\mathrm{eff}}\in[1000,1500]$ 估计接收概率。
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这里的“贝叶斯”体现对假设分支的加权决策，不等同于已知官方先验下的精确后验推断。
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安全判断使用完整候选集合，而非上述评分样本。
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凸候选集的清除判据为
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\begin{equation}
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\rho_c+b_c+0.5\le20,
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\label{eq:clearpoly}
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\end{equation}
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其中 $b_c\ge0$ 为代码的累计附加余量。
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凸多边形本身已外包真源，$\rho_c$ 是该实际多边形的包围半径；
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$b_c$ 的具体记账近似不作为外包正确性的必要依据。
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若负观测使网格更紧，也可使用
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\begin{equation}
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\rho_{\mathrm{grid}}+\epsilon_g+0.5\le20
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\label{eq:cleargrid}
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\end{equation}
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的网格证书，其中 $\rho_{\mathrm{grid}}$ 为幸存格心的最小包围半径。
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满足任一证书即可选择清除点。
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若证书尚有余量，可将圆心向当前位置平移 $\Delta$，
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只要 $\rho+\Delta$ 不超过证书允许半径，包含关系仍由三角不等式成立。
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\subsection{开放路径上的滚动任务排序}
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统一任务表包含三类任务：覆盖站的批量扫频、已发现源的定位测量、
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已有证书的清除。站内检测优先使用测向机当前频道，减少不必要的第一次换频。
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对任务序列 $\pi$，排序代价为
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\begin{equation}
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C(\pi)=\frac{\norm{p-q_{\pi_1}}}{5}
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+\sum_{j=1}^{k-1}\frac{\norm{q_{\pi_j}-q_{\pi_{j+1}}}}5
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+\sum_{j=1}^{k}t_{\pi_j}(c_{j-1}),
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\label{eq:route}
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\end{equation}
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其中服务时间 $t_{\pi_j}$ 依赖进入任务时的频道，清除不改变该频道。
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从最近邻初序开始，默认最多进行 $4$ 轮开放路径 2-opt 改进；
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每次只执行当前序列的首任务，得到新观测后重新生成和排序。
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这样新发现的源、收缩后的清除点和已证无源的频道都能及时改变路线。
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当前未启用精确任务序动态规划及路线感知探点开关，
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因此不将这些可选功能写为默认策略的既有性能来源。
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已停靠位置可以顺带补测：要求此前未在该位置测过、距离保证成立、
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尚无清除证书，且预测半径有足够收缩。一次机会测量仍支付检测和换频费用，
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收益来自避免额外移动。同地测向误差固定，反复原地测量不能当作独立样本平均。
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\subsection{算法三与完成条件}
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\begin{algorithmblock}{算法3：七点覆盖、网格更新与滚动调度（对应 algo-3）}
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\textbf{输入：}题设参数、七站计划、合法观测接口。\quad
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\textbf{输出：}逐频道处理状态与会话统计。
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\begin{enumerate}[leftmargin=2em,itemsep=1pt,topsep=4pt]
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\item 检验七点解析覆盖界，初始化频道状态、覆盖账本和网格幸存集。
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\item 进入后同步记录位置、频道及剩余现实预算，必要时执行有信息的机会测量。
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\item 构建覆盖、定位和清除任务；跳过能够证明无信息的检测。
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\item 按最近邻与开放路径 2-opt 排序，执行首任务，更新候选集和频道状态。
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\item 若出现清除证书，安排清除；清除失败后先补充观测，不直接宣称完成。
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\item 若已清除 $16$ 个源，或每个频道均已清除或有严格无源证据，则退出。
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否则返回步骤2；预算不足或异常时退出并报告未解决频道。
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\end{enumerate}
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\end{algorithmblock}
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“清除数达到 $16$”利用题设数量上界；
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“发现并清除 $10$ 个”只达到数量下界，不能作为完成证明。
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对任意已存在的 $16$ 个不同频道，也可提前排除其余未知频道，
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但已发现而未清除的源仍必须继续处理。
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覆盖证明保障发现，清除证书保障单次动作的正确性，
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两者均不自动保证在有限预算内完成全部定位。
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当前每轮追加有效定位测量上限为 $8$；
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停滞、协议异常或预算耗尽时应如实报告未完成。
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程序以接口返回的现实预算为准，并预留退出时间，
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实际计时在整数微秒状态上累计，避免用实机运行秒数代替虚拟动作耗时。
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