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@@ -30,8 +30,8 @@ u(\theta_i)\cdot(g-s_i)&\ge0
 P=\bigcap_{i=1}^{n}W_i=\{g:Ag\le b\}.
 \label{eq:q1set}
 \end{equation}
-这是纯角域交会模型。后续问题加入 $\Omega$ 与接收距离先验后会形成更紧的集合，
-但不能将这些附加约束混入问题一的直径结果。
+式~\eqref{eq:q1set} 根据各次测向角域确定问题一的定位区域。
+后续问题将在此基础上加入 $\Omega$ 与接收距离约束。
 半平面交是闭凸集，可能为空、单点、线段、有界多边形或无界集。
 
 \subsection{区域构造、空集及无界情形}
@@ -44,7 +44,6 @@ x=\frac{ce-bf}{ae-bd},\qquad y=\frac{af-cd}{ae-bd}.
 实现先平移与缩放坐标，以降低千米尺度坐标造成的数值误差；
 近平行边界仍参与求交，因为其远端交点可能决定细长区域的直径。
 
-不能以任意大矩形裁剪后得到的有限直径代替无界性判断。
 对非空集合定义衰退锥
 \begin{equation}
 \mathcal R=\{d:Ad\le0\}.
@@ -96,8 +95,7 @@ $D\le\norm{a-z}+\norm{z-b}\le D$。
 等号迫使 $z=o$。反之，圆盘为凸集，包含全部顶点即包含它们的凸包。
 \end{proof}
 若条件不成立，输出圆外顶点及超出量
-$e=\max_v\norm{v-o}-D/2$，即得到可独立检查的否定证据。
-不能仅以直径端点在圆周上判断整个区域被覆盖。
+$e=\max_v\norm{v-o}-D/2$，用于量化该圆盘的覆盖误差。
 
 \subsection{反例与可清除半径}
 构造等边三角形
@@ -128,7 +126,7 @@ $40/\sqrt3\approx23.094$ m，同样大于清除半径。
  \node[anchor=west,inkblue] at (49,24) {最小包围圆：$\rho=40/\sqrt3$};
  \node at (20,-26) {$AB=BC=CA=40$ m};
 \end{tikzpicture}
-\caption{直径圆不能覆盖等边三角形。此图为解析反例，不是模拟器观测。}
+\caption{等边三角形的直径圆与最小包围圆。}
 \label{fig:triangle}
 \end{figure}
 
@@ -136,7 +134,7 @@ $40/\sqrt3\approx23.094$ m，同样大于清除半径。
 $(-1000,0)$、$(540,-500\sqrt3)$、$(520,520\sqrt3)$，
 对应示向度为 $1^\circ$、$121^\circ$、$241^\circ$。
 各角域的一侧边界给出三角形的三条支撑线，另一侧边界包含整个三角形，
-故交集恰为上述三角形。这一构造只用于证明一般性命题，并不作为实验成绩。
+故交集恰为上述三角形。
 
 对一般候选区域，定义最小包围圆
 \begin{equation}
@@ -160,11 +158,10 @@ $D(P)\le40$ 是必要条件，但并非充分条件。
  \item 无可行点时返回空集；存在非零衰退切向时返回无界及无穷直径。
  \item 对可行交点去重、求凸包，并区分单点、线段和二维多边形。
  \item 枚举最远顶点对，计算 $D$、中点 $o$，检查全部顶点距 $o$ 是否不超过 $D/2$。
- \item 求最小包围圆，复核包含性和数值余量，输出清除证书。
+ \item 求最小包围圆，复核包含关系与数值余量，判断是否满足清除条件。
 \end{enumerate}
 \end{algorithmblock}
 边界交点枚举需 $O(k^2)$ 次，每点校验 $k$ 条约束，主计算量为 $O(k^3)$；
 凸包最坏需 $O(k^2\log k)$，直径枚举需 $O(m^2)$。
-Welzl 算法在随机排列下具有期望线性时间，
-固定种子实现不宣称最坏时间线性。该可审计方案适合少量观测，
+Welzl 算法在随机排列下具有期望线性时间。该求解流程适合少量观测，
 当前入口限制最多 $100$ 个检测点；更大规模可替换半平面交算法。