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\hypersetup{pdftitle={基于集合估计与覆盖优化的无线电干扰源自动定位清除},
pdfauthor={},pdfsubject={2026年全国大学生数学建模竞赛B题},pdfkeywords={交会定位,最小包围圆,主动测量,覆盖搜索}}
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\begin{document}
\setcounter{page}{1}
\begin{center}
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{\heiti\zihao{4} 摘\quad 要}
\end{center}
针对源数量、位置和有效接收半径均未知的无线电干扰源自动排查问题，本文建立了一个由\textbf{几何定位、主动测量、覆盖搜索与动作调度}组成的闭环模型。模型以有界测向误差维护真实位置的候选集合，以清除半径约束控制操作时机，并将移动、检测、换频及清除统一折算为虚拟耗时；同时以题设模拟器作为测试与验证环境，将发射源抽象为单点，用题设 $\pm1^\circ$ 有界测向误差和有效接收半径圆盘刻画观测。
无线电干扰源的自动排查难在信息条件：源的数量、位置与有效接收半径均未知，
单次检测至多给出一个带误差的方位，而"无信号"既可能来自距离，也可能来自定向源的朝向。
面对这一条件，本文不猜测源的点位置，而是维护"真实位置可能落在哪里"的候选集合，
并让每一次观测、移动与清除都作用在同一套集合约束上，
由此建立由\textbf{几何定位、主动测量、覆盖搜索与动作调度}构成的闭环模型，
并把移动、检测、换频与清除统一折算为虚拟耗时，使"能否清除"与"何时清除"成为可计算的判据。
\textbf{针对问题一}，由于带误差的示向度只限制方向而不能唯一确定位置，本文将每次观测转化为前向角域的半平面约束，并通过边界交点枚举、可行性筛选与凸包构造得到定位区域，同时区分空集、无界及退化情形。在此基础上，证明区域直径只需在顶点对中取得，并给出以该直径为直径的圆覆盖定位区域的充要判据。进一步分析发现，等边三角形反例说明“直径不超过 $40$ m”仍不足以保证一次清除；由此本文把清除条件落到\textbf{最小包围圆半径不超过 $20$ m}的充分判据上。
\textbf{针对问题一}，本文将带误差的示向度改写为前向角域的半平面约束，
经边界交点枚举、可行性筛选与凸包构造得到定位区域，并分别处理空集、无界与退化情形；
在此基础上给出直径的顶点可达性与"直径圆覆盖该区域"的充要判据，
并以反例说明覆盖与可清除并不等价，最终把清除条件落实到最小包围圆半径判据。
\textbf{针对问题二}，为使第二检测点既能接收信号又具有良好横向基线，先由首次示向度与接收半径上界构造候选位置集，并将“对所有候选源位置均保证接收”表示为 $1000$ m 圆盘之交。随后证明截断角域的最小包围半径为 $1500/(2\cos\delta)$；当有效误差半角取 $1.005^\circ$ 时，得到半径约 $249.885$ m 的充分安全候选盘。在线执行时，本文用更紧的凸外包圆替代解析盘，并在其中比较 $37$ 个候选点的最坏后验半径与移动时间，从而兼顾接收保证与定位收缩。
\textbf{针对问题二}，为兼顾接收保证与横向基线，
本文由首次示向度与接收半径上界构造候选位置集，
把"对任一候选源位置均保证接收"表示为圆盘之交，并用最小包围圆判据判断其非空；
进而解析求出截断角域的最小包围圆，给出显式安全候选盘，
并在其中以最坏后验半径与移动时间为准则选取第二检测点。
\textbf{针对问题三}，为在源数量未知时同时避免漏检和无效扫描，本文以原点与六个环站组成七点计划；在环半径 $1159.7$ m 时证明最坏覆盖距离不超过 $984.539$ m，使“七站全无信号”成为该频道缺席的解析证据。实际执行不再逐站全频道扫描，而是为每个频道维护网格幸存集，统一融合正负观测：候选集为空即判缺席，并跳过必为无信号的检测。定位点按期望信息增益与移动代价评分，覆盖、定位与清除三类任务统一建表，用最近邻和开放路径 2-opt 滚动重排。三次正式测试分别清除 $13$、$15$、$10$ 个源，总虚拟时间为 $3094.978$、$3493.335$、$2906.863$ s，程序运行时间合计 $\QThreeProgramTotal$ s。
\textbf{针对问题三}，为在源数量未知时区分"尚未发现"与"根本不存在"，
本文以原点与六个环站组成七点计划并证明其覆盖上界，
使"全站无信号"成为频道缺席的解析证据；
执行上为每个频道维护网格幸存集以融合正负观测，
按期望信息增益与移动代价选点，并将覆盖、定位与清除三类任务统一建表后滚动重排。
\textbf{针对问题四}，由于定向源使“无信号”同时可能来源于距离与朝向，本文将发现条件由位置圆盘覆盖提升为位置与朝向的前向半盘覆盖，采用 $31$ 点最小命中集作为发现计划，并按 $15$ m 位置间距、$72$ 个朝向档运行期校核；同时用逐频道的（位置 $\times$ 朝向）联合幸存集保留遮挡解释。探点先按可见性概率筛选，再取移动最省者；定位停滞时，利用清除与朝向无关的性质，执行 $20$ m 方格、至多 $400$ 格的预算化后备清除。作为备选，本文还由凸组合性质给出 $49$ 点方格方案的连续覆盖证明。三次正式测试分别清除 $13$、$10$、$14$ 个源，总虚拟时间为 $9362.226$、$9271.302$、$8608.382$ s，程序运行时间合计 $\QFourProgramTotal$ s。
\textbf{针对问题四}，针对定向源带来的无信号歧义，
本文将发现条件提升为位置与朝向的前向半盘覆盖，采用最小命中集作为发现计划，
以位置与朝向的联合幸存集保留遮挡解释；
探点按可见性概率筛选，并在定位停滞时利用清除与朝向无关的性质执行预算化后备清除，
另给出方格点集的连续覆盖证明作为备选方案。
六次正式测试均主动退出，且清除失败计数为零。正式成绩仅取自官方模拟器 \texttt{test} 目录下的六份正式导出包及其匹配统计；由于正式数据未公开源总数，本文以清除数量、总虚拟时间与程序运行时间评价，不据此宣称全清率。
\textbf{直接指标}部分只采用三次正式测试的原始统计。问题三三次测试分别清除 $13$、$15$、$10$ 个源，总虚拟时间为 $3094.978$、$3493.335$、$2906.863$ s，合计 $\QThreeTotal$ s，程序运行时间合计 $\QThreeProgramTotal$ s；问题四三次测试分别清除 $13$、$10$、$14$ 个源，总虚拟时间为 $9362.226$、$9271.302$、$8608.382$ s，合计 $\QFourTotal$ s，程序运行时间合计 $\QFourProgramTotal$ s。六次测试均主动退出、清除失败为零，累计清除 $\FormalClearCount$ 个源，总虚拟时间 $\FormalVirtualTotal$ s。由于题目关心任务完成时间和程序运行时间，本文直接以总虚拟时间、程序运行时间和清除数量作为优化效果指标，不使用自建基准集推断相对倍数。
四问的求解核心已整理为约 $5000$ 行的单文件程序，并按四问主线在附录中列出核心函数及一句话说明；评测机、命令行外壳、采集与绘图脚本、测试以及未被采用的方案不计入正文。综合上述，结论可归纳为：1. 带误差交会定位的严格清除判据是最小包围圆半径，而非定位区域直径；2. 主动测量应先保证接收，再在安全区域内优化横向基线与后验收缩；3. 多源搜索需把覆盖证明、正负观测滤波和滚动任务排序统一到同一时间目标下；4. 定向场景必须保留位置与朝向的联合解释，并以有限后备清除兜底。
全部模型与算法均在自建模拟器上完成了闭环验证，
机制论证与定量结论取自可复现真实位置与逐动作观测的演练局，
官方模拟器的正式测试仅用于附录中的最终效果验证。
\vspace{0.4em}
\noindent{\heiti 关键词：}有界误差；交会定位；最小包围圆；主动测量；定向覆盖
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\item 已知一个全向源的首次示向度，确定第二检测点的候选区域与选点策略，
在保证接收的条件下获得较好的定位效果。
\item 对数量未知的全向源设计自动发现、定位和清除算法，
在完成任务的前提下尽量减少总耗时，并报告官方测试结果。
在完成任务的前提下尽量减少总耗时，并报告测试结果。
\item 将策略推广到全向与定向源混合的情形，处理无信号的歧义，
给出相应的搜索、定位、清除算法及正式测试结果。
给出相应的搜索、定位、清除算法及测试结果。
\end{enumerate}
问题三、四各完成三次正式测试。本文依据六份正式日志及其对应统计，
报告各次清除数量、平均定位清除时间和程序运行时间。
问题三、四各完成三次正式测试。本文以自建模拟器演练局作为机制论证与定量分析的数据源，
并以官方模拟器的六份正式导出包在附录中验证算法效率与结论，
正式结果按题目表 1 的格式报告各次清除数量、平均定位清除时间与程序运行时间。
\section{问题分析}
四问并非彼此独立的技巧题，而是同一条“观测—证据—决策—执行”链路在不同信息条件下的展开，如图~\ref{fig:flow} 所示。题面给定的目标区域、运动方式、动作耗时与源/频道范围构成最上层的抽象；在线系统则分为证据层、决策层和执行层，分别维护候选集与幸存集、生成选点与任务表、串行执行动作；最下层是问题一至四各自的主线与发现、定位、清除三个闭环。后文的模型与算法都落在这条链路的某一层上：问题一、二提供证据层与决策层所需的几何判据，问题三、四解决时间约束下三个闭环的组织方式。
问题一处于整条链路的几何起点。带误差的示向度只限制真实方位所在的角度区间，
单条射线无法确定位置；若直接对射线求交，多解和数值敏感会同时出现。
为避免这一点，本文将观测改写为前向角域的半平面约束，并通过直线交点枚举与凸包构造获得可行域。
由这一改写还可进一步看出，可行域直径只反映区域尺度，并不等于覆盖该区域的圆半径：
最远顶点对的中点未必能覆盖全部候选位置。正是这一差别，
促使本文分别导出直径的顶点可达性与直径圆覆盖的充要判据，
并以等边三角形反例说明"直径不超过 $40$ m"不能保证一次清除，
最终把清除条件落到最小包围圆半径不超过 $20$ m 的充分判据上。
在问题一的几何基础上，问题二回答"第二测点选在哪里"。
这里存在一对相互牵制的目标：若只追求大交会角，第二点可能远离源而收不到信号；
若只求保证接收，又可能缺少横向基线。为兼顾二者，
本文先由首次示向度与接收半径上界构造候选位置集，
把"对未知真源均保证接收"表示为所有候选位置的 $1000$ m 圆盘之交，
再用最小包围圆判据判断该交集是否非空；在此基础上证明截断角域的最小包围半径为
$1500/(2\cos\delta)$，并在有效误差半角 $1.005^\circ$ 时给出半径约 $249.885$ m 的安全候选盘。
在线执行时，用更紧的凸外包圆替代解析盘，在 $37$ 个候选点中按最坏后验半径与移动时间择优。
因此，问题二的接收保证是可证明的几何事实，定位收缩则通过有限候选近似完成。
问题三把单源判据推广到数量未知的全向源。此时真正的困难不是清除一个已发现源，
而是在有限时间内区分"尚未发现"与"根本不存在"。
为此，本文以原点与六个环站组成七点计划，在环半径 $1159.7$ m 时证明最坏覆盖距离不超过 $984.539$ m，
使"七站全无信号"成为该频道缺席的解析证据。实际执行不再逐站全频道扫描，
而是为每个频道维护网格幸存集，统一融合正负观测：候选集为空即判缺席，并可跳过必为无信号的检测。
定位点由期望信息增益与移动代价共同评分，覆盖、定位、清除三类任务统一建表后
用最近邻与开放路径 2-opt 滚动重排，以减少发现任务与定位任务间的往返。
问题四进一步处理混合源，此时"无信号"既可能来自距离，也可能来自朝向。
七点全向计划不再满足前向半盘下的发现要求，因此本文把发现条件提升为位置与朝向的联合覆盖，
采用 $31$ 点最小命中集，并按 $15$ m 位置间距和 $72$ 个朝向档进行运行期校核；
同时用逐频道的位置 $\times$ 朝向联合幸存集保留朝向遮挡解释。
探点先按可见性概率筛选，再取移动最省者；定位停滞时，利用清除与朝向无关的性质，
执行 $20$ m 方格、至多 $400$ 格的预算化后备清除。作为备选，
本文还由凸组合性质给出 $49$ 点方格方案的连续覆盖证明。
上述链路在自建模拟器上闭环运行后，可归纳出四点结论：
1. 带误差交会定位的严格清除判据是最小包围圆半径，而非定位区域直径；
2. 主动测量应先保证接收，再在安全区域内优化横向基线与后验收缩；
3. 多源搜索需把覆盖证明、正负观测滤波和滚动任务排序统一到同一时间目标下；
4. 混合源场景必须保留位置与朝向的联合解释，并以有限后备清除兜底。
上述闭环对应的观测更新与决策关系如图~\ref{fig:framework}。
\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics[width=0.88\linewidth]{flow-overall-architecture.png}
\caption{四问共用的模型链路：题面抽象（L0）、在线三层（L1）、
四问主线（L2）与发现、定位、清除三个闭环（L3）。}
\label{fig:flow}
\end{figure}
问题一处于整条链路的几何起点。带误差的示向度只限制真实方位所在的角度区间，单条射线无法确定位置；若直接对射线求交，多解和数值敏感会同时出现。为避免这一点，本文将观测改写为前向角域的半平面约束，并通过直线交点枚举与凸包构造获得可行域。进一步地，可行域直径只反映区域尺度，并不等于覆盖该区域的圆半径：最远顶点对的中点未必能覆盖全部候选位置。由这一差别出发，本文分别导出直径的顶点可达性与直径圆覆盖的充要判据，并以等边三角形反例说明“直径不超过 $40$ m”不能保证一次清除，最终把清除条件落到最小包围圆半径不超过 $20$ m 的充分判据上。
在问题一的几何基础上，问题二回答“第二测点选在哪里”。如果只追求大交会角，第二点可能远离源而收不到信号；如果只求保证接收，又可能缺少横向基线。为兼顾二者，本文先由首次示向度与接收半径上界构造候选位置集，把“对未知真源均保证接收”表示为所有候选位置的 $1000$ m 圆盘之交；在此基础上证明截断角域的最小包围半径为 $1500/(2\cos\delta)$，并在有效误差半角 $1.005^\circ$ 时给出半径约 $249.885$ m 的安全候选盘。在线执行时，用更紧的凸外包圆替代解析盘，在 $37$ 个候选点中按最坏后验半径与移动时间择优。因此，问题二的接收保证是可证明的几何事实，定位收缩则通过有限候选近似完成。
问题三把单源判据推广到数量未知的全向源。此时真正的困难不是清除一个已发现源，而是在有限时间内区分“尚未发现”与“根本不存在”。为此，本文以原点与六个环站组成七点计划，在环半径 $1159.7$ m 时证明最坏覆盖距离不超过 $984.539$ m，使“七站全无信号”成为该频道缺席的解析证据。实际执行不再逐站全频道扫描，而是为每个频道维护网格幸存集，统一融合正负观测：候选集为空即判缺席，并可跳过必为无信号的检测。定位点由期望信息增益与移动代价共同评分，覆盖、定位、清除三类任务统一建表后用最近邻与开放路径 2-opt 滚动重排，以减少发现任务与定位任务间的往返。三次正式测试分别清除 $13$、$15$、$10$ 个源，平均定位清除时间为 $238.075$、$232.889$、$290.686$ s/个。
问题四进一步处理混合源，此时“无信号”既可能来自距离，也可能来自朝向。七点全向计划不再满足前向半盘下的发现要求，因此本文把发现条件提升为位置与朝向的联合覆盖，采用 $31$ 点最小命中集，并按 $15$ m 位置间距和 $72$ 个朝向档进行运行期校核；同时用逐频道的位置 $\times$ 朝向联合幸存集保留朝向遮挡解释。探点先按可见性概率筛选，再取移动最省者；定位停滞时，利用清除与朝向无关的性质，执行 $20$ m 方格、至多 $400$ 格的预算化后备清除。作为备选，本文还由凸组合性质给出 $49$ 点方格方案的连续覆盖证明。三次正式测试分别清除 $13$、$10$、$14$ 个源，平均定位清除时间为 $720.171$、$927.130$、$614.884$ s/个。
综合上述，结论可归纳为：1. 带误差交会定位的严格清除判据是最小包围圆半径，而非定位区域直径；2. 主动测量应先保证接收，再在安全区域内优化横向基线与后验收缩；3. 多源搜索需把覆盖证明、正负观测滤波和滚动任务排序统一到同一时间目标下；4. 混合源场景必须保留位置与朝向的联合解释，并以有限后备清除兜底。上述闭环对应的观测更新与决策关系如图~\ref{fig:framework}。
\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics[width=0.88\linewidth]{framework-decision-loop.png}
\includegraphics[width=0.62\linewidth]{framework-decision-loop.png}
\caption{基于观测更新、集合估计与任务排序的闭环决策过程。}
\label{fig:framework}
\end{figure}
\section{模型假设}
\begin{enumerate}[label=假设\arabic*：,leftmargin=4.5em,itemsep=4pt]
\begin{enumerate}[label=假设\arabic*,leftmargin=4.5em,itemsep=4pt]
\item 源的位置、频道、发射朝向和有效接收半径在一次测试中保持不变，
不同频道互不干扰。这与静态测试案例及题设的频道独立性一致。
\item 采用二维欧氏距离，忽略高度差；机器人匀速直线移动，
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案例编码及文件校验值见附录~\ref{app:data}。
案例编码及文件校验值见附录~\ref{app:formal}。
\end{thebibliography}
\clearpage
\appendix
\ctexset{section={number=\Alph{section},aftername={\quad}}}
\input{sections/appendix}
\end{document}