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\section{问题一：有界误差交会定位与覆盖圆}
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\subsection{前向角域的半平面模型}
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给定检测点 $s_i=(s_{ix},s_{iy})$ 与读数 $\theta_i$，
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误差约束意味着真实方位位于
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$[\theta_i-\delta,\theta_i+\delta]$ 内。因此可行位置属于前向角域
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\subsection{从示向度到前向角域的半平面模型}
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交会定位的第一个困难在于，带误差的示向度只限制方向而不唯一确定位置。
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由题设可知，示向度误差不超过 $\pm1^\circ$，故给定检测点 $s_i=(s_{ix},s_{iy})$ 与读数 $\theta_i$ 后，
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真实方位必然落在 $[\theta_i-\delta,\theta_i+\delta]$ 内。据此，
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真实位置属于以前向方向 $u(\theta_i)$ 为中轴的角域
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\begin{equation}
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W_i=\left\{g:
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\begin{aligned}\relax
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@@ -12,7 +13,10 @@ u(\theta_i)\cdot(g-s_i)&\ge0
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\end{aligned}\right\}.
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\label{eq:wedge}
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\end{equation}
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三条不等式均可写为 $a x+b y\le c$，其法向依次为
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三条不等式的意义并不相同。前两条把位置限制在左右边界之间，
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第三条显式保留"只在前方"这一方向性，
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从而使零误差的退化情形对应一条射线而不是整条直线。
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为便于统一求解，将其改写为 $a x+b y\le c$ 的形式，法向依次为
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\begin{equation}
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\begin{aligned}
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&(\sin(\theta_i-\delta),-\cos(\theta_i-\delta)),\\
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@@ -20,46 +24,50 @@ u(\theta_i)\cdot(g-s_i)&\ge0
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&(-\cos\theta_i,-\sin\theta_i),
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\end{aligned}
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\end{equation}
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右端为相应法向与 $s_i$ 的内积。在 $0<\delta<90^\circ$ 时，
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前两条已限定前向窄角域；第三条显式保留方向性，
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并使零误差退化情形对应射线而非整条直线。
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采用正弦、余弦表示可自动处理 $0^\circ/360^\circ$ 跨界。
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右端为相应法向与 $s_i$ 的内积。采用正弦、余弦表示还有一个工程上的好处：
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$0^\circ$ 与 $360^\circ$ 的跨界无需特判即可自动处理。
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问题一的多边形定位区域定义为
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由于所有角域都是凸的半平面交，多个测点的信息可以直接合并。
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问题一的多边形定位区域因此定义为
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\begin{equation}
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P=\bigcap_{i=1}^{n}W_i=\{g:Ag\le b\}.
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\label{eq:q1set}
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\end{equation}
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式~\eqref{eq:q1set} 根据各次测向角域确定问题一的定位区域。
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后续问题将在此基础上加入 $\Omega$ 与接收距离约束。
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半平面交是闭凸集，可能为空、单点、线段、有界多边形或无界集。
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式~\eqref{eq:q1set} 根据各次测向角域确定问题一的定位区域；
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后续问题将在此基础上加入圆域 $\Omega$ 与接收距离约束。
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值得先说明的是，半平面交是闭凸集，可能为空集、单点、线段、有界多边形或无界集，
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这些情形必须分别处理，否则"直径"与"覆盖圆"都没有定义。
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\subsection{区域构造、空集及无界情形}
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令约束数 $k=3n$。对任意两条不平行边界
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要求解式~\eqref{eq:q1set}，只需枚举约束边界之间的交点再筛除不可行者。
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令约束数 $k=3n$，对任意两条不平行边界
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$a x+b y=c$、$d x+e y=f$，候选交点为
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\begin{equation}
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x=\frac{ce-bf}{ae-bd},\qquad y=\frac{af-cd}{ae-bd}.
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\end{equation}
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仅保留满足全部不等式的交点，再经去重和单调链凸包构造得到顶点集合。
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实现先平移与缩放坐标，以降低千米尺度坐标造成的数值误差；
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近平行边界仍参与求交，因为其远端交点可能决定细长区域的直径。
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仅保留满足全部不等式的交点，再经去重和单调链凸包构造即得顶点集合。
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数值上，实现先平移与缩放坐标，以降低千米尺度坐标带来的误差；
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同时保留近平行边界的求交，因为其远端交点可能决定细长区域的直径。
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对非空集合定义衰退锥
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顶点集确定之后，还需判断区域是否无界。为此对非空集合定义衰退锥
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\begin{equation}
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\mathcal R=\{d:Ad\le0\}.
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\end{equation}
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若 $\mathcal R$ 含非零向量，则 $g+td\in P$ 对所有 $t\ge0$ 成立，
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区域无界，直径为 $+\infty$。二维多面锥只需检查约束边界的两个切向
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区域无界、直径为 $+\infty$。二维多面锥只需检查约束边界的两个切向
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$(b,-a)$ 与 $(-b,a)$ 是否满足全部齐次不等式。
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本题至少一个前向窄角域会排除直线性，故非空交集存在极点；
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在此特定输入族中，没有可行边界交点可以判为空集。
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无观测输入单独返回整个平面，不按空集处理。
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由于本题至少一个前向窄角域会排除直线性，非空交集必存在极点，
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故在该输入族中不存在可行边界交点却判为空集的情况；无观测输入单独返回整个平面，
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不按空集处理。
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有界非空区域中，一个顶点对应单点，两个顶点对应线段，其余为凸多边形。
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空集没有本文定义的有效直径与覆盖圆，程序以显式状态报告观测不相容，
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便于检查频道、误差界或输入数据。
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\subsection{直径与直径圆的判定}
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题目要求计算定位区域直径，并判断以该直径为直径的圆能否覆盖整个区域。
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对前者，可以证明无需在区域内部搜索。
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\begin{proposition}[顶点直径]
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设 $P=\operatorname{conv}\{v_1,\ldots,v_m\}$ 非空有界，则
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\begin{equation}
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@@ -79,7 +87,9 @@ $x=\sum_i\lambda_i v_i$、$y=\sum_j\mu_jv_j$。
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\]
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最远顶点对本身属于 $P$，故上界可达。
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\end{proof}
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因此无需在整个区域内部搜索，只需枚举顶点对，计算量为 $O(m^2)$。
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由命题可知，只需枚举顶点对即可，计算量为 $O(m^2)$。
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至于第二个问题，结论比直觉更严格：最远顶点对的中点未必能覆盖整个区域。
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\begin{proposition}[直径圆覆盖的充要条件]
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取最远顶点对 $a,b$，令 $D=\norm{a-b}$、$o=(a+b)/2$。
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@@ -94,18 +104,21 @@ $x=\sum_i\lambda_i v_i$、$y=\sum_j\mu_jv_j$。
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$D\le\norm{a-z}+\norm{z-b}\le D$。
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等号迫使 $z=o$。反之，圆盘为凸集，包含全部顶点即包含它们的凸包。
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\end{proof}
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若条件不成立，输出圆外顶点及超出量
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$e=\max_v\norm{v-o}-D/2$，即得到可独立检查的否定证据。
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不能仅以直径端点在圆周上判断整个区域被覆盖。
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图~\ref{fig:q1geometry}(a) 给出一组三点交会算例：左图为三条前向角域及其交集，
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右图为定位区域的放大，虚线为直径圆、实线为最小包围圆。
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该算例的定位区域由四个顶点确定，直径为 $23.997$ m，
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以该直径为直径的圆半径为 $11.998$ m，
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而最远顶点到圆心的距离为 $12.602$ m，故直径圆并不覆盖定位区域；
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其最小包围圆半径为 $12.069$ m，满足 $20$ m 的清除判据。
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证明过程同时说明：圆心被 $a,b$ 唯一确定，因此只需逐一检查其余顶点到该中点的距离。
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若条件不成立，输出圆外顶点及超出量 $e=\max_v\norm{v-o}-D/2$，
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即得到可独立检查的否定证据。换言之，不能仅以直径端点在圆周上判断整个区域被覆盖。
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图~\ref{fig:q1geometry}(a)(b) 给出一组三点交会算例及其实例区域的放大，
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(b) 中虚线为直径圆、实线为最小包围圆。
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该算例的定位区域由 $\ExOneVertices$ 个顶点确定，直径为 $\ExOneDiameter$ m，
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以该直径为直径的圆半径为 $\ExOneRadius$ m，
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而最远顶点到圆心的距离超出该圆 $\ExOneExceed$ m，故直径圆并不覆盖定位区域；
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其最小包围圆半径为 $\ExOneMec$ m，满足 $20$ m 的清除判据。
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这说明直径不超过 $40$ m 与能否清除是两个不同的判据，覆盖判定必须逐顶点检查。
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\subsection{反例与可清除半径}
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上述差别并非数值巧合，而是几何上的必然。为说明这一点，
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构造等边三角形
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\begin{equation}
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A=(0,0),\qquad B=(40,0),\qquad C=(20,20\sqrt3).
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@@ -114,31 +127,28 @@ A=(0,0),\qquad B=(40,0),\qquad C=(20,20\sqrt3).
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但 $C$ 到圆心的距离为 $20\sqrt3$ m，位于圆外。
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其最小包围圆圆心为 $(20,20/\sqrt3)$，半径
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$40/\sqrt3\approx23.094$ m，同样大于清除半径。
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图~\ref{fig:q1geometry}(b) 展示两类圆的差别。
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图~\ref{fig:q1geometry}(c) 展示两类圆的差别。
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\begin{figure}[htbp]
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\centering
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\begin{minipage}[t]{0.49\linewidth}\centering
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\includegraphics[width=\linewidth]{geo-q1-convex-intersection-zoom.png}
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\end{minipage}\hfill
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\begin{minipage}[t]{0.49\linewidth}\centering
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\includegraphics[width=\linewidth]{geo-q1-diameter-circle-counterexample.png}
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\end{minipage}
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\caption{问题一的两组几何。(a) 三点交会算例：定位区域及其直径圆与最小包围圆，
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观测取自官方演练案例 \texttt{U5ZW-P9KN-TCAG-R7ST} 的频道 $9$，
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\includegraphics[width=\linewidth]{geo-q1-geometry.png}
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\caption{问题一的几何算例。(a) 三点交会：三条浅色示向度的角域边界与它们的交集（定位区域），
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观测取自自建模拟器演练局 \texttt{8VRC-ADW4-XDXM-F62L} 的频道 $\ExOneChannel$；
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(b) 该定位区域的放大：虚线为直径圆、实线为最小包围圆，
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几何量由生产求解器 \texttt{mcm26b.geometry.solve} 现算；
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(b) 等边三角形解析反例，虚线直径圆 $r=20$ m 不覆盖顶点 $C$，
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实线最小包围圆 $\rho=40/\sqrt3\approx23.094$ m 覆盖全部顶点，不是模拟器观测。}
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(c) 等边三角形解析反例：虚线直径圆 $r=20$ m 不覆盖顶点 $C$，
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实线最小包围圆 $\rho=40/\sqrt3\approx23.094$ m 覆盖全部顶点，该图不是模拟器观测。}
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\label{fig:q1geometry}
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\end{figure}
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该形状可由题设的 $\pm1^\circ$ 角域构造出来。例如检测点
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该三角形并非人为设定的特例，它可以由题设的 $\pm1^\circ$ 角域构造出来。例如检测点
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$(-1000,0)$、$(540,-500\sqrt3)$、$(520,520\sqrt3)$，
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对应示向度为 $1^\circ$、$121^\circ$、$241^\circ$。
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各角域的一侧边界给出三角形的三条支撑线，另一侧边界包含整个三角形，
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故交集恰为上述三角形。
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对一般候选区域，定义最小包围圆
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既然覆盖判据不足以保证清除，就需要一个与清除动作直接对应的指标。
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为此对一般候选区域定义最小包围圆
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\begin{equation}
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\rho(P)=\min_{z\in\mathbb R^2}\max_{g\in P}\norm{g-z},\qquad
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m\in\arg\min_z\max_{g\in P}\norm{g-z}.
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@@ -148,9 +158,11 @@ m\in\arg\min_z\max_{g\in P}\norm{g-z}.
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实现采用固定随机种子及显式栈，并在输出前检查全部顶点的包含关系。
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在精确模型中，若 $\rho(P)\le20$，于 $m$ 清除即可覆盖所有可能真源；
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考虑浮点计算后采用 $\rho(P)+\eta_{\mathrm{num}}\le20$ 的充分判据。
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$D(P)\le40$ 是必要条件，但并非充分条件。
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由此可见，$D(P)\le40$ 只是必要条件，并非充分条件。
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\subsection{算法一与复杂度}
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将上述判定串成流程，即得问题一的求解算法。
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\subsection{算法一及复杂度}
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\begin{algorithm}[htbp]
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\caption{有界测向角域交会与覆盖圆判定}
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\label{alg:q1}
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@@ -172,7 +184,14 @@ $D(P)\le40$ 是必要条件，但并非充分条件。
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\State \Return $\rho+\eta_{\mathrm{num}}\le20$ 是否成立
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\end{algorithmic}
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\end{algorithm}
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边界交点枚举需 $O(k^2)$ 次，每点校验 $k$ 条约束，主计算量为 $O(k^3)$；
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凸包最坏需 $O(k^2\log k)$，直径枚举需 $O(m^2)$。
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Welzl 算法在随机排列下具有期望线性时间。该求解流程适合少量观测，
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当前入口限制最多 $100$ 个检测点；更大规模可替换半平面交算法。
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综上，问题一给出两点结论：1. 带误差交会定位的直径可由顶点对枚举精确得到，
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覆盖判定则必须逐顶点检查；2. 与清除动作真正对应的判据是最小包围圆半径不超过 $20$ m，
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直径约束只是它的必要条件。
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