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@@ -1,6 +1,11 @@
 \section{问题二：保证接收的第二检测点选择}
 \subsection{候选位置集合与安全区域}
-设首次有效示向度为 $(s,\theta)$。有效读数除限定角域外，
+问题一说明了如何由多次观测确定位置，问题二则提出一个更早的问题：
+在只测过一次的情况下，第二点应当选在哪里。
+这里存在一对相互牵制的目标：若只追求大交会角，第二点可能远离源而收不到信号；
+若只求保证接收，又可能缺少横向基线。要同时处理两者，
+第一步是先刻画"由首次观测能推断出哪些位置"。
+设首次有效示向度为 $(s,\theta)$，则有效读数除限定角域外，
 还说明源距检测点不超过接收半径上界，故
 \begin{equation}
 K_1=\Omega\cap W(s,\theta,\delta_{\mathrm{eff}})\cap\B(s,R_+).
@@ -9,7 +14,9 @@ K_1=\Omega\cap W(s,\theta,\delta_{\mathrm{eff}})\cap\B(s,R_+).
 其中 $R_+=1500$ 为有效接收半径上界。
 $\direction$ 对应距离大于 $5$ m；式~\eqref{eq:k1} 采用其凸松弛，
 使真实可行位置始终包含在所维护的候选集合中。
+采用凸松弛而非精确的"挖去 $5$ m 小圆"，是为了让后续的圆盘交运算保持凸性。
 
+有了候选集合，第二步是把"保证接收"写成集合条件。
 对非空紧集 $K$ 定义
 \begin{equation}
 F_K(q)=\max_{g\in K}\norm{q-g},\qquad
@@ -23,9 +30,11 @@ $F_K$ 是凸函数且为 $1$-Lipschitz，因而 $\mathcal Q(K)$ 是闭凸集。
 \begin{equation}
 \mathcal Q(K)\ne\varnothing\quad\Longleftrightarrow\quad\rho(K)\le R_-.
 \end{equation}
-这一表述将第二点的鲁棒可行性转化为最小包围圆判据\cite{boyd}。
+这一步把第二点的鲁棒可行性转化为问题一已经解决的最小包围圆判据\cite{boyd}，
+两个问题由此共用同一套几何工具。
 
-在线用外切正多边形表示圆盘，再逐半平面裁剪。
+在线执行时，还需把解析区域换成可快速裁剪的表示。
+为此用外切正多边形表示圆盘，再逐半平面裁剪。
 若边数为 $M$、圆半径为 $r$，外切多边形顶点的半径为
 $r\sec(\pi/M)$，其最大径向超出量准确写为
 \begin{equation}
@@ -36,7 +45,7 @@ e_M(r)=r\bigl(\sec(\pi/M)-1\bigr).
 裁剪后得到 $K_1\subseteq P^{\mathrm{out}}$。
 算法求外包多边形 $P^{\mathrm{out}}$ 的最小包围圆 $\B(m,\rho_{\mathrm{out}})$。
 
-由三角不等式，充分安全盘为
+在此基础上，由三角不等式可直接得到一个保守但显式的安全盘。充分安全盘为
 \begin{equation}
 \mathcal Q_{\mathrm{in}}
 =\B\!\left(m,R_- -\rho_{\mathrm{out}}-\eta\right),\qquad
@@ -50,12 +59,14 @@ $\norm{q-g}\le\norm{q-m}+\norm{m-g}\le R_- -\eta$。
 当候选区域较大时，程序先在其圆心追加观测，再更新可行区域。
 
 \subsection{首次截断角域的解析候选盘}
-为给出不依赖离散多边形的显式答案，暂去掉 $\Omega$，考虑
-$S=W(s,\theta,\delta)\cap\B(s,R_+)$。
-当 $0\le\delta\le45^\circ$，令
+上述安全盘依赖离散多边形，只能在程序内使用；题目还要求给出解析的候选区域。
+为此暂去掉 $\Omega$，考虑 $S=W(s,\theta,\delta)\cap\B(s,R_+)$，
+它的形状是一个被圆弧截断的角域。当 $0\le\delta\le45^\circ$，令
 \begin{equation}
 a=\frac{R_+}{2\cos\delta},\qquad c=s+a\,u(\theta).
 \end{equation}
+即可得到该区域的最小包围圆。
+
 \begin{proposition}[截断角域最小包围圆]
 上述 $S$ 的最小包围圆为 $\B(c,a)$。
 \end{proposition}
@@ -75,6 +86,7 @@ $\lambda_0=1-1/(2\cos^2\delta)$ 非负且和为 $1$，
 对任意圆心 $z$，加权平方距离等于 $a^2+\norm{z-c}^2$，
 故至少一点距 $z$ 不小于 $a$。任何包含三点的圆半径均不小于 $a$。
 \end{proof}
+
 由于 $K_1\subseteq S$，于是
 \begin{equation}
 \boxed{
@@ -84,6 +96,10 @@ q\in\B\!\left(s+\frac{1500}{2\cos\delta}u(\theta),
 \end{equation}
 即为题目所求的一种明确候选区域，实际使用时再内缩 $1$ mm。
 该圆盘构成 $\mathcal Q(K_1)$ 的一个显式凸子集。
+表~\ref{tab:safeanalytic} 给出两种误差半角下的具体数值。
+可以看到，误差从 $1^\circ$ 放宽到 $1.005^\circ$ 时，
+圆心偏移仅增加约 $0.001$ m，候选盘半径仅减少约 $0.001$ m，
+说明该判据对题设的舍入余量并不敏感。
 
 \begin{table}[htbp]
 \centering\small
@@ -100,7 +116,8 @@ $1.005^\circ$ & 750.115391 & 249.884609\\
 \end{table}
 在线算法继续使用 $\Omega$ 裁剪后的完整候选形状，
 通常能够获得更紧的源包围圆与更大的充分安全盘。
-解析公式负责解释保证为何存在，多边形流程负责利用已有的全部几何约束。
+两者的分工是清楚的：解析公式负责解释保证为何存在，
+多边形流程负责利用已有的全部几何约束。
 
 \begin{figure}[htbp]
 \centering
@@ -113,6 +130,7 @@ $a\approx750.114$ m、$1000-a\approx249.886$ m，与表~\ref{tab:safeanalytic}
 \end{figure}
 
 \subsection{定位效果指标与有限候选求解}
+保证接收只解决了一半问题，另一半是"在安全区域内如何让第二次观测最有效"。
 理想的鲁棒选点模型为
 \begin{equation}
 \min_{q\in\mathcal Q_{\mathrm{in}}}
@@ -138,8 +156,9 @@ $\operatorname{bearing}(q,g)\pm\delta_{\mathrm{eff}}$，
 
 选取使 $(\widehat J(q),\norm{q-p}/5)$ 最小的点，
 然后将边界采样间距加密至 $15$ m 复核其评分。
-$\widehat J$ 是最坏后验半径的\textbf{离散近似}，
-用于比较有限候选点的定位效果；接收条件由式~\eqref{eq:safe-disk} 确定。
+需要强调的是，$\widehat J$ 是最坏后验半径的\textbf{离散近似}，
+只用于比较有限候选点的定位效果；接收条件由式~\eqref{eq:safe-disk} 保证，
+不受该近似影响。
 
 \begin{algorithm}[htbp]
 \caption{保证接收的第二检测点选择}
@@ -167,7 +186,13 @@ $\widehat J$ 是最坏后验半径的\textbf{离散近似}，
 \EndIf
 \end{algorithmic}
 \end{algorithm}
+
 若候选数为 $N_q$、边界样本数为 $N_g$、多边形顶点数为 $m$，
 一次裁剪为 $O(m)$，总计算量主要为
 $O(N_qN_g(m+C_{\mathrm{MEC}}(m)))$。
-该算法采用问题一的角域模型与最小包围圆方法，通过多边形裁剪逐次更新候选集。
+该算法复用问题一的角域模型与最小包围圆方法，通过多边形裁剪逐次更新候选集。
+
+综上，问题二得到两点结论：1. "对所有可能真源均保证接收"等价于候选集合的最小包围圆半径不超过 $1000$ m，
+据此可给出半径约 $249.885$ m 的显式安全候选盘；
+2. 在安全盘内以最坏后验半径为第一目标、移动时间为第二目标选点，
+既避免了"收不到信号"的失败模式，又保证了交会基线。