论文完成

docs/paper/sections/q3.tex

@@ -1,30 +1,41 @@
 \section{问题三：全向多源的网格滤波与滚动调度}
 \subsection{统一时间目标与任务状态}
+问题一、二分别给出了"能否清除"与"下一点选在哪里"的判据，
+问题三把它们放进一个连续运行的闭环：源的数量未知，机器人必须自己决定何时发现、何时定位、何时清除。
+在这样的任务中，优化的最终标准不是某一步的精度，而是完成任务所花的虚拟时间，
+因此第一步是把时间写成可优化的目标。
 按式~\eqref{eq:time} 的计时记账，优化目标是在全部源清除的约束下最小化虚拟耗时 $T$。
 题目统计的平均定位清除时间是 $\bar T=T/N_c^+$；
-不能用每次清除动作的固定 $5$ s 代替。
+由于清除动作本身的 $5$ s 是常数，该平均值不能代替总虚拟时间作为优化目标。
 清除请求中的频道是目标频道，不改变测向机频道；
 进入与退出均不增加虚拟时间，因此路径终点自由，无需返回原点。
+这一自由度允许我们把任务序列当作开放路径而非回路来处理。
 
-各频道的状态按“未知、已发现、可清除、已清除、已证无源”管理。
+在时间目标之外，还需要一套能表达"这条频道到底还有没有源"的状态。
+为此各频道的状态按"未知、已发现、可清除、已清除、已证无源"管理。
 首次获得 $\direction$ 或 $\near$ 即确立该频道存在源。
 最小包围圆判据决定清除时机，成功响应将状态更新为已清除。
 频道的候选集为空，或其所有覆盖站检测结果均为无信号时，可判定该频道无源。
+后一条判据依赖下一小节的覆盖证明，是本问题效率的关键：
+只有能够严格举证"不存在"，才能放心地停止检测。
 
 当前测试程序默认采用 \texttt{BayesLoop}：七点计划只作为解析覆盖与无源举证；
-证据层同时维护便于证书计算的凸候选集与逐频道网格幸存集，
+证据层同时维护便于判据计算的凸候选集与逐频道网格幸存集，
 后者统一吸收正负观测，负观测按最小接收半径删除整格，
 候选集为空即给出缺席证明。定位测量按信息增益与移动代价选点，
 覆盖、定位与清除三类任务组成统一任务表，用开放路径 2-opt 滚动重排，
 并不执行七个站点对所有频道逐一全扫描的固定流程。
 
 \subsection{七点解析覆盖与无源证据}
-取站点集合
+"证明某频道无源"要求对圆域内任意位置都保证有站点能收到信号。
+为达到这一目的，取站点集合
 \begin{equation}
 S(a)=\{(0,0)\}\cup
 \left\{a\left(\cos\frac{k\pi}{3},\sin\frac{k\pi}{3}\right):k=0,\ldots,5\right\}.
 \label{eq:seven}
 \end{equation}
+即原点加正六边形顶点，共七点。其覆盖能力可以精确刻画。
+
 \begin{proposition}[七点全向覆盖]
 当 $0<a/\sqrt3\le R$ 时，任意 $g\in\Omega$ 到最近站点的距离不超过
 \begin{equation}
@@ -42,35 +53,31 @@ $r^2+a^2-\sqrt3ar$。
 该凸二次式在 $[a/\sqrt3,R]$ 上的最大值于端点取得，
 分别为 $a^2/3$ 与 $R^2+a^2-\sqrt3aR$。
 \end{proof}
-当前 \texttt{bayes} 策略取 $a=1159.7$ m，
+
+命题给出了一个可调的覆盖半径。当前 \texttt{bayes} 策略取 $a=1159.7$ m，
 由式~\eqref{eq:coveragebound} 得 $D_{\mathrm{cov}}=984.539136$ m，
 比最小接收半径小约 $15.461$ m。
 因此每个合法全向源至少在一站可被接收。
 某频道在七站全部为无信号，就构成该频道不存在源的严格证据。
-以“站点、频道”为索引建立检测状态矩阵，记录各站对各频道的检测结果。
-该矩阵用于逐频道的严格缺席证明；实际执行不要求在每个站点重测所有频道，可由网格幸存集证明必为无信号的（站，频道）对会被跳过。
+以"站点、频道"为索引建立检测状态矩阵，记录各站对各频道的检测结果。
+该矩阵用于逐频道的严格缺席证明；实际执行不要求在每个站点重测所有频道，
+可由网格幸存集证明必为无信号的（站，频道）对会被跳过。
 
-\begin{figure}[htbp]
-\centering
-\includegraphics[width=0.68\linewidth]{geo-q3-seven-point-coverage.png}
-\caption{七点全向覆盖的站点构造与接收圆盘。}
-\label{fig:seven}
-\end{figure}
-
-图~\ref{fig:seven} 给出站点构造与最小接收圆盘的关系。
-顺次从原点访问六个环站的开放路径长为 $6a$。
+顺次从原点访问六个环站的开放路径长为 $6a$；
 任务总路径由覆盖站间移动以及定位、清除所需的局部移动共同构成。
 
 \subsection{正负观测的双重候选表示}
-每个已发现频道维护凸外包 $P_c^{\mathrm{out}}$。
+覆盖证明只回答"源是否可能被听见"，要把一次具体检测转化为位置信息，
+还需要更新候选集合。每个已发现频道维护凸外包 $P_c^{\mathrm{out}}$。
 $\direction$ 将候选集与 $\B(s,1500)$ 外切多边形及测向角域相交；
 $\near$ 与 $\B(s,5)$ 外切多边形相交。
-全向源的 $\sgnless$ 意味着
+难点在于全向源的 $\sgnless$ 观测，它意味着
 \begin{equation}
 \norm{g-s}>r_{\mathrm{eff}}\ge1000,
 \end{equation}
-排除圆盘可使可行区域呈非凸形状。为此，采用网格幸存集
-$\mathcal G_c$ 表示负观测带来的空间约束，同时保留便于几何运算的凸外包。
+即排除一个圆盘。圆盘的补集不凸，直接与凸候选集求交会破坏凸性。
+为此，采用网格幸存集 $\mathcal G_c$ 表示负观测带来的空间约束，
+同时保留便于几何运算的凸外包：前者负责吸收负信息，后者负责快速判据与选点。
 
 网格边长为 $\ell=14.65$ m，每格中心与格内点的最大距离为
 $\epsilon_g=\ell/\sqrt2$。初始保留所有可能与 $\Omega$ 相交的格，
@@ -83,9 +90,9 @@ $\epsilon_g=\ell/\sqrt2$。初始保留所有可能与 $\Omega$ 相交的格，
 \end{array}
 \label{eq:gridupdate}
 \end{equation}
+三式的裕量 $\epsilon_g$ 保证只有整格必然越界时才删除，故真源所在格永不被误删。
 方向观测另外检查角差。若 $d=\norm{z-s}>\epsilon_g$，
-源所在格引起的方位偏差可由
-$\arcsin(\epsilon_g/d)$ 上界；
+源所在格引起的方位偏差可由 $\arcsin(\epsilon_g/d)$ 上界；
 实现采用距离内缩后的角误差界，并在测点附近保留所有可能方位。
 只有角差超过 $\delta_{\mathrm{eff}}$ 加格内角裕量时才删除。
 
@@ -97,8 +104,10 @@ $\arcsin(\epsilon_g/d)$ 上界；
 从而节省相应检测与换频时间。
 
 \subsection{信息增益选点与清除判据}
+候选集收窄之后，还需决定下一个测点。
 问题二的算法2提供满足接收约束的检测点；
-问题三的 \texttt{BayesLoop} 进一步采用网格幸存集上的信息增益。
+问题三的 \texttt{BayesLoop} 进一步采用网格幸存集上的信息增益，
+即优先选择最能缩小候选集的测点。
 存在保证接收圆盘时，在其内部生成环形候选并补充当前接近方向上的测点；
 其余情况下，在网格最小包围圆附近生成环形采样点。
 候选集合同时包含当前位置与探索点，分别根据预期信息增益和移动代价评分。
@@ -117,8 +126,8 @@ J_{\mathrm{IG}}(q)=
 并以均匀 $r_{\mathrm{eff}}\in[1000,1500]$ 估计接收概率。
 该决策采用离散假设上的加权期望，接收半径的均匀分布作为选点先验。
 
-清除判断使用完整候选集合。
-凸候选集的清除判据为
+清除判断使用完整候选集合。由于清除要求在 $20$ m 内完成，
+判据必须同时计入几何半径与数值余量。凸候选集的清除判据为
 \begin{equation}
 \rho_c+b_c+0.5\le20,
 \label{eq:clearpoly}
@@ -137,6 +146,8 @@ $b_c$ 与 $0.5$ m 共同提供附加数值裕量。
 只要平移后的距离上界仍满足对应不等式，三角不等式便保证清除条件成立。
 
 \subsection{开放路径上的滚动任务排序}
+到这一步，每个频道都已知"是否需要检测、在哪里检测、何时清除"，
+剩下的问题是如何把这些动作排成一条省时的路线。
 统一任务表包含三类任务：覆盖站的批量扫频、已发现源的定位测量、
 满足半径条件的清除。站内检测优先使用测向机当前频道，减少换频次数。
 对任务序列 $\pi$，排序代价为
@@ -149,13 +160,16 @@ C(\pi)=\frac{\norm{p-q_{\pi_1}}}{5}
 其中服务时间 $t_{\pi_j}$ 依赖进入任务时的频道，清除不改变该频道。
 从最近邻初序开始，默认最多进行 $4$ 轮开放路径 2-opt 改进；
 每次只执行当前序列的首任务，得到新观测后重新生成和排序。
-这样新发现的源、收缩后的清除点和已证无源的频道都能及时改变路线。
+这样新发现的源、收缩后的清除点和已证无源的频道都能及时改变路线，
+避免为一条已经失效的任务继续赶路。
 
 已停靠位置可以顺带补测：要求此前未在该位置测过、距离保证成立、
 尚处于定位阶段，且预测半径有足够收缩。追加测量的费用为检测与换频时间，
 其收益来自节省额外移动。题设固定同地误差，因此优先选择新的检测位置。
 
 \subsection{算法三与完成条件}
+将上述模块串成闭环，即得问题三的求解算法。
+
 \begin{algorithm}[htbp]
 \caption{网格幸存集滤波、信息增益选点与滚动调度}
 \label{alg:q3}
@@ -179,7 +193,8 @@ C(\pi)=\frac{\norm{p-q_{\pi_1}}}{5}
 \State 预算不足或异常时退出并报告未解决频道
 \end{algorithmic}
 \end{algorithm}
-“清除数达到 $16$”利用题设数量上界。
+
+"清除数达到 $16$"利用题设数量上界。
 对任意已存在的 $16$ 个不同频道，也可提前排除其余未知频道，
 但已发现而未清除的源仍必须继续处理。
 
@@ -188,3 +203,8 @@ C(\pi)=\frac{\norm{p-q_{\pi_1}}}{5}
 停滞、协议异常或预算耗尽时，记录各频道状态并终止。
 程序以接口返回的现实预算为准，并预留退出时间，
 实际计时在整数微秒状态上累计，避免用实机运行秒数代替虚拟动作耗时。
+
+综上，问题三得到三点结论：1. 七点计划在环半径 $1159.7$ m 时给出 $984.539$ m 的覆盖上界，
+使"全站无信号"成为该频道缺席的严格证据；2. 网格幸存集把非凸的负观测纳入集合估计，
+并使大量必然无信号的检测被跳过；3. 把覆盖、定位、清除统一为一条开放路径并滚动重排，
+是压缩总虚拟时间的主要手段。