第一问建模完成
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# B题问题一 交会定位区域的直径与圆覆盖
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问题一可以转化为二维半平面交问题：每次带误差的示向度给出一个前向角域，多次测量的交集就是定位区域。对于非空有界定位多边形，直径等于最远顶点对的距离。**以这个直径为直径的圆不一定覆盖定位区域。**判断是否能覆盖，应检验最远顶点对中点到所有顶点的距离，或直接计算最小包围圆。
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代码、合成算例与官方演练观测均已实现和保存。本解答只解决问题一；在官方问题3演练中采集同一频道的三个检测点，用于检验交会计算，没有执行全域搜索清除任务，未使用正式测试。
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**一 题目假设和模型边界**
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检测点为 \(S_i=(s_{ix},s_{iy})\)，测得示向度为 \(\theta_i\)，误差半角为 \(\delta=1^\circ\)。角度从正东开始逆时针计算。同一频道对应同一干扰源；位置不变时重复检测不会消除误差。
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本问求附录2交会法所定义的多边形，因此主模型只取前向角域之交，不额外加入1800米圆域或1500米接收上界。这些先验可用于后续搜索定位，但加入圆盘后边界可能包含圆弧，不能仍按原问题的纯多边形处理。本程序也不以图像视窗作为真实边界。
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模拟器示向度保留两位小数，正文规定误差在±1°内。本次主计算使用±1°；如需把独立舍入误差也纳入保守预算，可用 `--rounding-margin-deg 0.005` 显式追加半角，输出会记录实际误差半角。这是额外的工程裕量，不是题面规定。
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**二 从测向角域得到线性约束**
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设二维叉积 \([a,b]=a_xb_y-a_yb_x\)，令
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\[
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u_i^-=(\cos(\theta_i-\delta),\sin(\theta_i-\delta)),\qquad
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u_i^+=(\cos(\theta_i+\delta),\sin(\theta_i+\delta)).
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\]
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未知源位置 \(X=(x,y)\) 必须满足
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\[
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[u_i^-,X-S_i]\ge0,\qquad [u_i^+,X-S_i]\le0.
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\]
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这两条不等式选择两条边界射线之间的前向角域，而不是无限延伸的两条直线。写为标准形式 \(a_jx+b_jy\le c_j\)：
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\[
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\begin{aligned}
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\sin(\theta_i-\delta)x-\cos(\theta_i-\delta)y
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&\le \sin(\theta_i-\delta)s_{ix}-\cos(\theta_i-\delta)s_{iy},\\
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-\sin(\theta_i+\delta)x+\cos(\theta_i+\delta)y
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&\le-\sin(\theta_i+\delta)s_{ix}+\cos(\theta_i+\delta)s_{iy}.
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\end{aligned}
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\]
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程序另外保留 \(u_i\cdot(X-S_i)\ge0\) 的前向约束。当 \(0<\delta<90^\circ\) 时它是冗余的，但可让 \(\delta=0\) 的扩展情形正确表示射线，而不是整条直线。实现支持0≤δ<90°，题目算例始终使用1°。
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定位区域为
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\[
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P=\bigcap_{i=1}^{n}W_i=\{X:AX\le b\}.
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\]
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通过向量而不是简单的角度大小比较处理约束，可自然处理359°与0°跨界问题。
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**三 可复现的算法**
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1. 验证输入为有限数值，将检测点平移至其均值附近并按尺度归一化，减小大坐标带来的抵消误差。
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2. 构造所有半平面；枚举每对不平行边界直线的交点。
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3. 只保留满足全部不等式的交点；去重后用单调链算法求凸包，并保留点、线段等退化结果。
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4. 判断有无非零方向 \(d\) 满足 \(Ad\le0\)。若存在，任一可行点沿该方向无限前进仍可行，区域无界，直径为无穷大。
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5. 对有界非空区域，枚举凸包顶点对，得到直径及一对最远顶点。
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6. 用任意一组最远顶点对中点与半径D/2检验圆覆盖；失败时返回圆外顶点及最大超出距离。用Welzl随机增量法求最小包围圆，输出20米清除半径余量，以区分“直径圆覆盖”和“保证清除”。
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非空前向角域的交集不会包含一条双向无限直线，即它是尖的多面集。这保证非空区域存在极点，所以在本模型中可以通过是否存在可行边界交点来判空。无观测时需单独返回整个平面无界，不能依据“没有顶点”误判为空集。
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二维非平凡衰退锥若存在，至少有一条边界方向与某个约束边界平行。因此检查每条边界的两个切向方向是否满足 \(Ad\le0\)，即可判定无界性。无界情形中输出的有限顶点仅是区域的极点，不构成完整有限多边形。
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伪代码如下：
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```text
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输入同一频道的测量列表 M
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若 M 为空：返回无界
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H ← 将每次测量转换为前向角域的半平面约束
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V ← 所有边界对交点中满足 H 的点
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若 V 为空：返回空集
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若存在非零 d 满足 H 的齐次约束 A d ≤ 0：返回无界
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V ← 去重并排序为凸包
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(D, A, B) ← V 中的最远顶点对
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O ← (A+B)/2
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覆盖成立 ← max_{v∈V} ||v−O|| ≤ D/2
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返回 V、D、A、B、O、覆盖判断和最小包围圆
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```
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设半平面数为k（本实现k=3n），最终顶点数为m。枚举交点并检验全部约束需要O(k³)，直径计算O(m²)，无界性检查O(k²)。可行交点排序的代价上界为O(k² log k)，临时交点存储上界O(k²)。新增直径圆证据只需O(m)遍历。
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最小包围圆改为Welzl随机增量算法：先打乱点顺序；已有圆包含新点则保留，否则强制新点成为边界点并解更小子问题；二维最多需要3个支撑点。3个强制边界点必须用外接圆，不能误用这3点的无约束最小圆。实现以显式栈代替递归，防止大量点超过Python递归深度。固定随机种子使输出可复现，理论期望线性指随机排列下的期望，不是该固定种子的最坏复杂度保证。对外函数内部也做坐标归一化，最后重新计算所有点到输出圆心的最大距离，保持数值包含性。旧O(m⁴)支撑点枚举保留为独立测试基准。
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半平面交与直径仍采用容易审查的小规模算法，未为少量测点引入更复杂的旋转卡壳。大规模在线数据可后续替换半平面交，不能把MEC局部提速等同于整个求解器线性复杂度。
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**四 为什么只枚举顶点对就能得到直径**
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有界凸多边形内任意两点可表示为顶点的凸组合：
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\[
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x=\sum_i\lambda_i v_i,\quad y=\sum_j\mu_jv_j,\quad
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\lambda_i,\mu_j\ge0,\quad\sum_i\lambda_i=\sum_j\mu_j=1.
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\]
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由三角不等式，
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\[
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\|x-y\|=\left\|\sum_{i,j}\lambda_i\mu_j(v_i-v_j)\right\|
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\le\sum_{i,j}\lambda_i\mu_j\|v_i-v_j\|
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\le\max_{i,j}\|v_i-v_j\|.
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\]
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最远顶点对本身又属于区域，因此上界可以达到：
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\[
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\boxed{D(P)=\max_{i,j}\|v_i-v_j\|.}
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\]
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点的直径为0，线段的直径为端点距离。对空集，本程序约定直径未定义，输出null；对无界区域，输出 `diameter_infinite=true`，不把Infinity写入不兼容标准的JSON数值。
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**五 直径圆能否覆盖的充分必要条件**
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取任意最远顶点对A、B，距离为D，令O=(A+B)/2。如果半径D/2的某个圆能够同时包含A和B，则
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\[
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D=\|A-B\|\le\|A-O'\|+\|O'-B\|\le D.
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\]
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两个不等式只能同时取等号，因此其圆心只能是O。又因为圆盘是凸集，包含全部顶点等价于包含整个多边形。所以
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\[
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\boxed{\text{存在直径为D的覆盖圆}\iff
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\max_{v\in V}\|v-(A+B)/2\|\le D/2.}
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\]
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不必尝试移动直径圆，也不必尝试其它最远点对：若这个唯一可能的圆心不满足覆盖，就不存在直径为D的覆盖圆。最小包围圆半径ρ满足ρ≥D/2，当且仅当ρ=D/2时存在这样的覆盖圆。
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代码的 `diameter_circle.max_excess_m` 为maxᵥ‖v−O‖−D/2；超出数值容差时返回 `witness_vertex` 和从0开始的 `outside_vertex_indices`。因此输出既有判断，也有可独立复核的反例。判定中使用 `coverage_tolerance_m`，边界附近的布尔结果属于浮点容差下结论。
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保证清除使用MEC半径加数值余量εₘ，再比较20米。`clearance_certificate.remaining_margin_m=20−(ρ+εₘ)`；非负时支持当前圆心清除，负数时不作此保证。这里的证书以观测误差界正确、真源属于P和浮点几何计算可靠为前提，不是实际清除成功记录。数学上所有可行清除中心构成∩ᵥB(v,20)，MEC圆心是充分选择；后续可在此集合中另选距离机器狗最近的点。
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**六 满足题设±1°的具体反例**
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取三个检测点及示向度：
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| 检测点 | x（米） | y（米） | 示向度 |
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| --- | ---: | ---: | ---: |
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| S1 | −1000 | 0 | 1° |
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| S2 | 540 | −500√3 | 121° |
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| S3 | 520 | 520√3 | 241° |
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三个角域的交集恰为等边三角形，顶点是(0,0)、(40,0)、(20,20√3)。每个角域的一条边界对应三角形的一条边，另一条边界在三角形外侧，不切去三角形内部。可将真实源设在三角形中心(20,20√3/3)，其真实方位与上述读数的偏差均小于1°，且三个检测距离都小于1500米。因此这不是脱离测向模型的任意图形反例。
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它的直径D=40米；直径圆半径20米。以底边两端为最远点对，圆心为(20,0)，到第三个顶点的距离是20√3≈34.6410米，因此不能覆盖。其最小包围圆为
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\[
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O_*=(20,20\sqrt3/3),\qquad \rho_*=40/\sqrt3\approx23.0940\text{米}>20\text{米}.
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\]
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图中蓝色为定位区域，红色虚线为直径圆，绿色实线为最小包围圆。黑色加号只在合成场景中表示已知真源。
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**七 官方演练数据验证**
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2026年9月10日，界面明确为“问题3 演练 测试”后，通过公开HTTP接口采集。案例编码为 `U5ZW-P9KN-TCAG-R7ST`，选取频道9。
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| 检测点 | x（米） | y（米） | 示向度 |
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| --- | ---: | ---: | ---: |
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| S1 | 0 | 0 | 131.52° |
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| S2 | −613.761885 | 391.530775 | 34.92° |
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| S3 | −314.272134 | 656.683353 | 227.19° |
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重复在S1测量一次仍返回131.52°。这次重复观测只用于核查原地误差固定，没有作为新的独立测点加入模型。
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使用±1°得到四边形，其顶点按逆时针顺序为：
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| 顶点 | x（米） | y（米） |
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| --- | ---: | ---: |
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| V1 | −460.698306 | 502.411776 |
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| V2 | −456.424236 | 497.750714 |
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| V3 | −440.569893 | 515.476604 |
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| V4 | −441.370356 | 516.413163 |
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计算结果：D=23.996723米，最远点对为V1和V3；直径圆中心为(−450.634100,508.944190)，半径11.998362米，但最远顶点到这个圆心的距离为12.602364米，所以该圆不能覆盖区域。最小包围圆中心为(−449.976955,507.952835)，半径12.068583米。
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共发送14个被接受的请求：1次进入、12次检测、1次退出，最终虚拟时间293.602198秒。日志末尾为 `/exit`、`accepted=true`、`exit_reason=user_exit`；界面显示测试正常结束。没有调用 `/clear`，所以这里不能将演练结束解读为“清除了所有源”。官方没有公开该源的坐标真值，本例验证的是观测交会计算、接口适配和几何自洽性，不声称验证了真实位置误差。
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原始请求响应保存在 `output/q1/practice/*_actions.json`，保留了复算所需的请求ID、位置、频道与时间；三点观测及其计算结果保存在 `*_observations.json`。没有读取或解密模拟器隐藏场景数据。
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**八 运行方式和代码入口**
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核心算法仅用Python标准库，支持Python3.10及以上；本次在Python3.12.14中验证。在项目根目录运行：
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```powershell
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python -m geometry examples/q1/triangle.json -o output/q1/triangle_recomputed.json
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python main.py examples/q1/normal.json
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python -m geometry examples/q1/normal.json --rounding-margin-deg 0.005
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python -m unittest discover -s tests -v
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python scripts/build_q1_demo.py
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python scripts/benchmark_q1.py
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```
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输入JSON的最小格式：
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```json
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{
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"measurements": [
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{"x": 0, "y": 0, "bearing_deg": 131.52, "half_angle_deg": 1},
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{"x": -613.7618853216438, "y": 391.53077545248124, "bearing_deg": 34.92},
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{"x": -314.2721344680094, "y": 656.6833525352392, "bearing_deg": 227.19}
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]
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}
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```
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省略 `half_angle_deg` 时默认为1。输出包含区域状态、顶点、直径、最远点对、直径圆覆盖判断、反例证据、最小包围圆和清除余量。CLI的 `error_policy` 记录追加裕量与每条观测最终半角；默认追加0，不改变输入口径。`tolerance_m` 是归一化容差换算回米的尺度；核心算法不接收真源坐标，样例中的 `target` 只用于合成数据的可视化与测试。空集和无界区域不输出有限圆及清除证书。
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| 文件 | 职责 |
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| --- | --- |
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| `geometry/localization.py` | 测向角域、半平面、区域分类、直径和包围圆 |
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| `geometry/planning.py` | 问题二首次测向的距离保证候选圆盘；独立于问题一模型 |
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| `geometry/__main__.py`、`main.py` | JSON命令行输入输出 |
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| `tests/test_geometry.py` | 解析反例、随机几何、独立裁剪对照与退化测试 |
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| `tests/test_practice_replay.py` | 离线复算演练计时与观测结果，不连接模拟器 |
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| `tests/test_geometry_certificates.py` | 增量圆与穷举法对照、覆盖证据、清除阈值、舍入选项及首次选点证书 |
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| `scripts/benchmark_q1.py` | 局部性能对比与官方演练误差界敏感性复算 |
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| `scripts/capture_practice.py` | 在已经启动且已核验的演练中采集少量测向 |
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| `scripts/build_q1_demo.py` | 用Python算法生成案例、结果和交互图数据 |
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| `visualization/q1.template.html` | 可视化源模板；不另写一套求解算法 |
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| `output/q1/question1.html` | 可直接打开的离线交互式模拟，所有数据已内嵌 |
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如需再次采集，先在模拟器明确启动“问题3演练测试”，等待接口就绪，读取案例编码，然后运行：
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```powershell
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python scripts/capture_practice.py --robot-id 你的参赛队号 --practice-confirmed --case-code 界面中的演练案例编码
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```
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接口协议没有返回演练／正式模式的字段，`--practice-confirmed` 是操作者确认已核验界面的显式参数，不能替代界面核查。采集脚本没有启动测试的功能，没有正式模式选项，只会调用 `/enter`、`/measure`、`/exit`。禁止在正式测试会话中运行。
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**九 验证范围和数值限制**
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20项自动化测试通过，包括100组随机有界案例、60组与独立矩形裁剪实现的对照、250组增量圆与穷举圆对照、1500个共圆点及重复点/共线点、平移旋转缩放不变性，以及已保存演练日志的逐动作计时复算。新增测试还覆盖清除距离20米临界值、显式舍入选项、首次安全候选圆盘边界和零半径情形。已测试一组有限但直径超过10亿米的近乎平行测向，确认不会因为显示范围而被截断成小区域。
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本次离线优化报告保存在 `output/q1/optimization_report.json`。同一演练观测的敏感性结果如下，原始记录不改写：
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| 误差半角 | 直径 / 米 | MEC半径 / 米 | 直径圆最大超出 / 米 | 含数值裕量的清除余量 / 米 |
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| --- | ---: | ---: | ---: | ---: |
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| 1°（默认题设） | 23.996723 | 12.068583 | 0.604002 | 7.931415 |
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| 1.005°（额外舍入） | 24.119088 | 12.130377 | 0.608486 | 7.869621 |
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在本机60个共圆点的局部基准中，旧MEC枚举中位约306.5毫秒，新算法约0.096毫秒；4点时旧法约0.022毫秒、新法约0.029毫秒，小规模没有提速优势。这些是特定输入的局部实测，不是普遍倍率保证，也不代表网络、全清闭环或官方成绩。三点演练的完整问题一求解中位约0.099毫秒。运行基准脚本可以重新生成当前机器的报告。
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浮点计算不是精确算术。实现使用归一化位置容差10⁻⁹、平行行列式阈值10⁻¹²和较严格的衰退方向角度容差。极端近乎平行、差异接近机器精度或接近退化的输入可能需要高精度几何谓词；结果接近临界阈值时应做容差敏感性检查，而不把最后若干小数位当作严格证明。正常题设坐标和测向精度下，本次案例远离这些数值极限。
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交互图数据全部由同一Python求解器生成。已在最小DOM测试环境中检查32个“案例／测点数量／视图”组合，未发现缺失控件或NaN等非法图形坐标；并对360与736像素、明暗两种配色的SVG作静态图形检查。浏览器工具对本地文件URL的访问被策略拦截，因此没有声称完成真实浏览器的HTML/CSS布局验证。离线页面和对话内可视化均已生成；静态PNG可作为直接查看的补充。
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几何算法参考：[CGAL最小包围圆定义与Welzl增量方法](https://doc.cgal.org/latest/Bounding_volumes/classCGAL_1_1Min__circle__2.html)；[McGill旋转卡壳说明](https://www-cgrl.cs.mcgill.ca/~godfried/research/calipers.html)。本次代码仅用Python标准库，不依赖CGAL。
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