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docs/paper/main.tex

@@ -155,26 +155,27 @@
 \end{center}
 
 针对无线电干扰源的快速自动定位与清除问题，本文以测向观测的三值反馈
-\texttt{no\_signal}、\texttt{near}、\texttt{direction} 为唯一信息来源，建立了
+\texttt{no\_signal}、\texttt{near}、\texttt{direction} 为唯一信息来源，建立
 \textbf{有界误差交会定位—主动选点—覆盖证明搜索—动作耗时调度}的统一框架：四个问题
-复用同一几何内核，以覆盖证明与严格停止条件保证“清除所有干扰源”这一硬约束，
-在此之上再优化时间指标。
+复用同一几何内核，以覆盖证明与严格停止条件保证“清除所有干扰源”的硬约束，再优化
+时间指标。
 
 \textbf{针对问题~1}，将 $\pm 1^{\circ}$ 有界误差下的测向观测建模为以检测点为顶点的
-前向角域 $W_i$，交会定位区域即诸角域的半平面交 $P=\bigcap_i W_i$，给出定位区域直径
-$D(P)=\max_{i,j}\|v_i-v_j\|$ 的顶点对枚举算法，并处理空集、单点、线段与无界区域等
-退化情形。对“直径为 $D$ 的圆能否覆盖区域”，以等边三角形给出否定反例，进而给出
-只需检查一组最远顶点对的覆盖判定算法；以最小包围圆半径 $\rho(K)\le 20$ 米作为
-可保证清除的充分判据，采用 Welzl 随机增量算法求解并以枚举法对照。对官方演练的
-三点观测离线复算，$\delta=1^{\circ}$ 时 $D=23.9967$ 米、$\rho=12.0686$ 米：
-直径圆不覆盖定位区域，但存在一点可保证清除。
+前向角域 $W_i$，交会定位区域即诸角域的半平面交 $P=\bigcap_i W_i$，给出直径
+$D(P)=\max_{i,j}\|v_i-v_j\|$ 的顶点对枚举算法，并处理空集、无界区域等退化情形。
+对“直径圆能否覆盖定位区域”，给出只需检查最远顶点对中点的充要判定，并以符合题设
+测向条件的等边三角形反例给出否定回答；以最小包围圆半径 $\rho(K)\le 20$ 米为可保证
+清除的充分判据，用 Welzl 算法求解并以支撑点枚举对照。官方演练三点观测复算：
+$\delta=1^{\circ}$ 时 $D=23.9967$ 米、$\rho=12.0686$ 米，直径圆不覆盖定位区域，
+但存在一点可保证清除。
 
-\textbf{针对问题~2}，首次测向后取候选集合
-$K_1=\Omega\cap W(s_1,\theta_1\pm\delta)\cap \overline{B}(s_1,1500)$，并给出安全
-候选区域恒非空的解析证明：记 $a=R/(2\cos\delta)$、$c=s_1+a\bm{u}$，则
-$K_1\subseteq B(c,a)$，从而 $B(c,1000-a)\subseteq\mathcal{Q}$（$\delta=1^{\circ}$
-时安全圆盘半径约 $249.88$ 米）。在安全区域内以“最坏后验包围圆半径”为主目标、
-移动与检测成本为次目标主动选取第二检测点，交会角仅作同分筛选指标。
+\textbf{针对问题~2}，首次测向后取保守候选集合
+$K_1=\Omega\cap W(s_1,\theta_1\pm\delta)\cap B(s_1,1500)$，将接收保证写成一族闭
+圆盘之交并给出非空判据；进而证明截断角域的最小包围圆恰为 $B(c,a)$
+（$a=R/(2\cos\delta)$、$c=s_1+a\bm{u}$），故安全候选圆盘
+$B(c,1000-a)\subseteq\mathcal{Q}$ 严格非空（$\delta=1^{\circ}$ 时半径约 $249.89$
+米）。在安全区域内以“最坏保守后验包围半径”为主目标、移动与检测成本为次目标
+主动选点，交会角仅作局部解释与同分筛选指标。
 
 \textbf{针对问题~3}，建立以虚拟时间
 $T=L/5+N_{\mathrm{switch}}+5N_{\mathrm{measure}}+5N_{\mathrm{clear}}^{\mathrm{s}}
@@ -193,7 +194,7 @@ $N\le(\lceil w/20\rceil+2)(\lceil h/20\rceil+2)$，并纳入现实时间预算
 最后对模型的保守性与效率进行评价：几何内核可复用、覆盖保证可验证；局限在于
 主动选点为采样启发式、后备清除请求数较大，可通过共享测点与自适应覆盖加速。
 
-\vspace{0.8em}
+\vspace{0.4em}
 \noindent{\heiti 关键词：}交会定位；半平面交；最小包围圆；覆盖证明；主动选点；动作调度
 \clearpage
 
@@ -236,17 +237,27 @@ $\Omega=\{(x,y):x^2+y^2\le 1800^2\}$，干扰源按覆盖角度范围分为全
 条件下，把定位几何组织成“全域覆盖发现—逐个定位—清除—证明完成”的闭环调度问题。
 因此不必为每问单独建模，而是复用同一几何内核与观测更新机制。
 
-\textbf{问题~1 的分析}。误差有界意味着单次测向只能确定源位于以示向度方向为轴、
-半角 $1^{\circ}$ 的前向角域内；多检测点角域的交集即为定位区域。求交即半平面交，
-是经典计算几何问题；直径在凸多边形顶点上取得，可用顶点对枚举求得。“直径圆能否
-覆盖区域”需要区分“直径”与“外接”两个概念，等边三角形说明直径圆一般不覆盖，
-正确的保证清除工具是最小包围圆。
+\textbf{问题~1 的分析}。题面附录~2 第（1）项把测向误差限定在
+$[-1^{\circ},1^{\circ}]$，且同一地点重复检测不改变误差：没有误差分布可利用、
+原地重复测量不产生新信息，故采用有界误差的集合相交建模——单次测向只能确定源
+位于以示向度方向为轴、半角 $1^{\circ}$ 的前向角域内，多检测点角域的交集即为
+定位区域。题目要求“采用交会定位法”计算“多边形定位区域”的直径（附录~2 第（3）
+项图~2），角域边界为直线，求交即半平面交这一经典计算几何问题；直径在凸多边形
+顶点上取得，可用顶点对枚举精确求得。对“直径圆能否覆盖区域”的追问，需要区分
+“直径”与“外接”两个概念：先给出只需检查最远顶点对中点的充要判定，再构造符合
+题设测向条件的等边三角形反例说明一般不覆盖。最后，清除以 $20$ 米距离为判据
+（附录~2 第（8）项），正确的保证清除工具是最小包围圆。
 
-\textbf{问题~2 的分析}。第二检测点的选取是在目标位置未知条件下的主动测量设计：
-无论真实源位于当前候选集合何处，新检测点都必须保证能接收到信号（距离不超过其有效
-接收半径），否则该次检测将退化为无效动作。因此先构造保守候选集合，再解析证明存在
-“任何情况下都接收到信号”的安全区域，在安全区域内按最坏情形的后验包围半径最小化
-选取检测点。
+\textbf{问题~2 的分析}。题目要求同时给出第二检测点的“选择策略”与“候选区域”，
+这是在目标位置未知条件下的主动测量设计，方法取舍由两条题设决定。其一，有效接收
+半径在 $1000$ 至 $1500$ 米之间且具体值未知（附录~2 第（2）项）：无论真实源位于
+当前候选集合何处，新检测点都必须保证落在其接收半径内，否则该次检测退化为无效
+动作，故先构造保守候选集合，再解析证明存在“任何情况下都收到信号”的安全区域。
+其二，题面只给有界误差而无误差分布与源位置分布（附录~2 第（1）项），概率类方法
+没有严格依据，故在安全区域内以最坏情形的后验包围半径为主目标、移动与检测成本
+（附录~2 第（5）、（6）项）为次目标选取检测点，交会角仅作局部几何解释与同分筛选。
+此外，$1800$ 米圆域限制的是源位置而非机器狗（附录~3），安全选点允许越出圆域；
+返回 \texttt{near} 的分支按附录~2 第（9）项就地清除，不视为策略失败。
 
 \textbf{问题~3 的分析}。全清是硬约束：发现 $10$ 个源或连续多次无信号都不构成停止
 依据。需要一组对任何源位置都能保证“至少一个检测点落在其有效接收范围内”的覆盖点集，
@@ -297,6 +308,10 @@ $\Omega=\{(x,y):x^2+y^2\le 1800^2\}$，干扰源按覆盖角度范围分为全
     $K$ & 某频道源的可能位置候选集合 \\
     $\rho(K)$ & $K$ 的最小包围圆半径 \\
     $\mathcal{Q}$ & 第二检测点的安全候选区域 \\
+    $B(c,r)$ & 以 $c$ 为圆心、$r$ 为半径的闭圆盘（米） \\
+    $R_-,\ R_+$ & 有效接收半径的下、上限，$1000$、$1500$ 米 \\
+    $J(q)$ & 第二检测点 $q$ 的最坏保守后验包围半径（米） \\
+    $C(q)$ & 在 $q$ 处完成一次检测的虚拟时间增量（秒） \\
     $L$ & 机器狗移动总路程（米） \\
     $N_{\mathrm{switch}},N_{\mathrm{measure}},N_{\mathrm{clear}}$ & 频道切换、检测、清除动作次数 \\
     $T$ & 完成任务的虚拟总时间（秒） \\
@@ -306,114 +321,554 @@ $\Omega=\{(x,y):x^2+y^2\le 1800^2\}$，干扰源按覆盖角度范围分为全
 
 \section{问题~1：有界误差交会定位模型}
 
-\subsection{测向误差的前向角域建模}
+\subsection{建模思路来源}
 
-设第 $i$ 个检测点 $s_i$ 处测得示向度 $\theta_i$。由假设~1，真实方位角位于
-$[\theta_i-\delta,\theta_i+\delta]$ 内，故源必然落在以 $s_i$ 为顶点、以该方向区间
-为边界的前向角域
+本问每种方法的取舍都由题面描述直接确定，对应关系如下。
+
+\textbf{由误差描述确定集合模型。}题面附录~2 第（1）项指出：示向度与真实方位角之间
+的误差“在一段时间内，同一地点的电磁环境干扰是固定的，所以重复检测不会改变检测
+误差”，且“从目标区域全局来看，所有这些误差在 $[-1^{\circ},1^{\circ}]$ 范围内”。
+因此单次观测不能确定一条精确射线，却可以确定一个必含真实方向的角域；题面没有
+给出误差的分布形式，原地重复测量又不产生新信息，故采用有界误差下的集合相交，
+而非直线最小二乘或多次读数平均——后两者既不能保证真源不被排除，也与“同点误差
+不变”的题设相悖。
+
+\textbf{由交会定位的规定确定半平面交。}问题~1 要求“采用交会定位法（见附录~2）
+计算多边形定位区域直径”，附录~2 第（3）项的图~2 把定位区域画成两个检测点示向度
+实线两侧各 $1^{\circ}$ 虚线所夹的四边形。角域边界是直线，故定位区域是二维线性
+不等式组的可行域，可用半平面交显式构造，问题随之成为凸几何问题\cite{boyd}。
+
+\textbf{由直径的定义确定顶点枚举。}题目规定直径是“区域内任意两点之间距离的最大
+值”。两点距离关于其变元是凸函数，在紧凸集上的最大值必在极点处取得，故只需在
+顶点对上枚举，无需任何近似。
+
+\textbf{由覆盖之问确定“先判定、后反例”。}题目追问“以定位区域直径为直径的圆能否
+覆盖此定位区域”。“直径”是最长弦概念，与“外接”并非同一对象，因此先给出存在
+覆盖圆的充要判定，再构造符合题设测向条件的反例，据此回答“不一定”。
+
+\textbf{由清除条件确定最小包围圆。}附录~2 第（8）项规定光学精确定位与清除“在距离
+干扰源不超过 $20$ 米”时进行，且成功与否仅与清除点到干扰源的距离有关。定位精度的
+最终判据因而是“存在一点到所有可能源位置都不超过 $20$ 米”，即最小包围圆半径
+$\rho\le 20$，而非直径不超过 $40$ 米。
+
+\subsection{测向观测的前向角域与半平面约束}
+
+设第 $i$ 个检测点 $s_i=(s_{ix},s_{iy})$ 处测得示向度 $\theta_i$（题面附录~2
+第（1）项：示向度自 $x$ 轴正向逆时针计量，范围 $[0^{\circ},360^{\circ})$）。
+由假设~1，真实方位角位于 $[\theta_i-\delta,\theta_i+\delta]$ 内，故源必然落在
+以 $s_i$ 为顶点、以该方向区间为边界的前向角域
 \begin{equation}
-  W_i=\bigl\{s_i+t\,(\cos\varphi,\sin\varphi):t\ge 0,\ \varphi\in[\theta_i-\delta,\theta_i+\delta]\bigr\}
+  W_i=\bigl\{s_i+t\,u(\varphi):t\ge 0,\ \varphi\in[\theta_i-\delta,\theta_i+\delta]\bigr\},
+  \qquad u(\varphi)=(\cos\varphi,\sin\varphi)
   \label{eq:wedge}
 \end{equation}
-内。$W_i$ 由两条过 $s_i$ 的线性不等式表示，实现时须正确处理 $0^{\circ}/360^{\circ}$
-跨界。示向度读数保留两位小数时，可取 $\delta=1.005^{\circ}$ 作保守裕量；本文推导
-对任意 $\delta\in(0,45^{\circ})$ 成立。
-
-\subsection{定位区域：角域的半平面交}
-
-交会定位区域为
+内。记二维叉积 $[a,b]=a_xb_y-a_yb_x$ 与 $u_i^{\pm}=u(\theta_i\pm\delta)$。当
+$0<\delta<90^{\circ}$ 时，“位于两条边界射线之间”等价于
 \begin{equation}
-  P=\bigcap_i W_i .
+  [\,u_i^-,\,g-s_i\,]\ge 0,\qquad [\,u_i^+,\,g-s_i\,]\le 0,
+  \label{eq:cross}
+\end{equation}
+即 $g-s_i$ 位于下边界射线的左侧、上边界射线的右侧。展开即标准线性约束
+\begin{align}
+  \sin(\theta_i-\delta)\,x-\cos(\theta_i-\delta)\,y
+    &\le \sin(\theta_i-\delta)\,s_{ix}-\cos(\theta_i-\delta)\,s_{iy},\\
+  -\sin(\theta_i+\delta)\,x+\cos(\theta_i+\delta)\,y
+    &\le -\sin(\theta_i+\delta)\,s_{ix}+\cos(\theta_i+\delta)\,s_{iy}.
+\end{align}
+另保留前向约束 $u(\theta_i)\cdot(g-s_i)\ge0$：它在 $0<\delta<90^{\circ}$ 时冗余，
+但 $\delta=0$ 时前两条约束只限定一条直线，加入它才得到正确的射线。角域顶点本身
+包含在闭集合内，这是保守处理，并不表示在该点仍能获得示向度。采用向量不等式后，
+$359^{\circ}$ 与 $0^{\circ}$ 跨界无需分段比较角度。示向度读数保留两位小数时，可
+取 $\delta=1.005^{\circ}$ 作显式声明的保守裕量；本节推导对任意
+$\delta\in(0,90^{\circ})$ 成立，本题算例始终取 $\delta=1^{\circ}$。
+
+\subsection{定位区域的构造与分类}
+
+交会定位区域为诸角域之交
+\begin{equation}
+  P=\bigcap_i W_i=\{g:Ag\le b\}.
   \label{eq:polygon}
 \end{equation}
-求各边界直线交点并筛除不可行点，再按极角排序即得凸多边形 $P$。算法必须区分五种
-情形：空集（观测矛盾，应核查频道与数据）、单点、线段、有界多边形与无界区域；
-对无界区域不能截断后声称得到真实直径。
+每个 $W_i$ 都是闭凸集，故 $P$ 也是闭凸集；它可能为空、为单点、为线段、为有界凸
+多边形，也可能无界，算法必须显式区分这五种情形，不得混同处理。
 
-\subsection{定位区域直径的算法}
+\textbf{边界交点枚举。}把约束统一写成 $a_jx+b_jy\le c_j$，两条边界的行列式
+$\Delta_{jk}=a_jb_k-a_kb_j\ne0$ 时，交点为 $x=(c_jb_k-c_kb_j)/\Delta_{jk}$、
+$y=(a_jc_k-a_kc_j)/\Delta_{jk}$。保留满足全部约束的交点，去重后构造凸包即得
+$P$ 的顶点集。
 
-凸函数 $\|x-y\|$ 的最大值在紧凸集的极点处取得，故当 $P$ 为有界多边形
-$P=\mathrm{conv}\{v_1,\dots,v_n\}$ 时
+\textbf{命题~1}（极点存在保证判空）\quad 至少有一次观测时，非空的角域交集一定存在
+极点，因此可通过可行边界交点枚举判空。
+
+\textbf{证明}\quad 取第一个角域的轴向 $u_1$，其中任意 $g$ 满足
+$u_1\cdot(g-s_1)\ge\cos\delta_1\,\|g-s_1\|$，且 $\cos\delta_1>0$。在非空 $P$ 上
+最小化线性函数 $u_1\cdot(g-s_1)$：由该不等式，以任一可行点的函数值截得的下水平
+集有界，从而是非空紧集，最小值可达；最小化点集位于一条支撑直线上且有界，因而是
+点或线段，取其点或端点即得 $P$ 的极点。二维线性约束的极点至少有两条法向量线性
+无关的有效边界（否则沿所有有效边界的公共切向可作双向小扰动，与极点定义矛盾），
+故必出现在上述交点枚举中。\hfill$\square$
+
+无观测时 $P=\R^2$，应直接判为无界，不能用“没有交点”判为空集。
+
+\textbf{有界性判定。}对非空 $P$ 定义衰退锥 $\mathcal{R}=\{d:Ad\le0\}$。若存在
+$d\ne0$，则任取 $g_0\in P$ 都有 $g_0+td\in P$（$t\ge0$），$P$ 无界；反之若 $P$
+无界，取 $g_k\in P$ 使 $\|g_k-g_0\|\to\infty$，将 $Ag_k\le b$ 减去 $Ag_0\le b$、
+除以 $\|g_k-g_0\|$ 并取极限，知单位向量 $(g_k-g_0)/\|g_k-g_0\|$ 的任一聚点 $d$
+满足 $Ad\le0$。故 $P$ 有界当且仅当 $\mathcal{R}=\{0\}$。本模型的衰退锥被一个小于
+$180^{\circ}$ 的闭角域约束，若含非零向量必含一条极射线，该射线平行于某条有效
+约束边界，故只需检查每个法向量 $(a_j,b_j)$ 的两个切向方向 $(b_j,-a_j)$、
+$(-b_j,a_j)$ 是否满足全部齐次不等式。
+
+\textbf{分类约定。}可行交点为空时返回空集；存在非零衰退方向时返回无界；否则对
+可行交点去重求凸包，按顶点数与仿射维数区分单点、线段和二维多边形。空集的直径
+约定为无定义，无界区域的直径为 $+\infty$。显示窗口只用于绘图裁剪：任何大矩形都
+不能取代衰退锥判定，更不能把截断图形的直径称为原无界区域的直径。
+
+\subsection{定位区域直径的顶点定理}
+
+\textbf{定理~1}（直径在顶点上取得）\quad 若 $P=\mathrm{conv}\{v_1,\dots,v_m\}$ 非空
+且有界，则
 \begin{equation}
-  D(P)=\max_{1\le i<j\le n}\|v_i-v_j\| .
+  D(P)=\max_{1\le i<j\le m}\|v_i-v_j\|.
   \label{eq:diameter}
 \end{equation}
-$n$ 很小（等于检测点数的常数倍），直接枚举顶点对即可，复杂度 $O(n^2)$，结果可靠；
-规模确有需要时可换用旋转卡壳算法 $O(n)$\cite{preparata,toussaint,mcgill}。本文以
-顶点对枚举为基准实现，旋转卡壳仅作对照。
 
-\subsection{直径圆能否覆盖定位区域}
+\textbf{证明}\quad 任取 $x,y\in P$，写成凸组合 $x=\sum_i\lambda_iv_i$、
+$y=\sum_j\mu_jv_j$（权重非负且各自求和为 $1$），则
+$x-y=\sum_{i,j}\lambda_i\mu_j(v_i-v_j)$。由三角不等式，
+$\|x-y\|\le\sum_{i,j}\lambda_i\mu_j\|v_i-v_j\|\le\max_{i,j}\|v_i-v_j\|$；最远顶点对
+本身属于 $P$，上界可达。\hfill$\square$
 
-\textbf{结论：不一定。}反例：边长为 $D$ 的等边三角形，其直径为 $D$，但最小包围圆
-半径为 $D/\sqrt{3}>D/2$，直径圆不能覆盖三角形区域。
+$m$ 很小（为检测点数的常数倍），直接枚举顶点对即可，复杂度 $O(m^2)$；这是精确
+算法而非近似，缺点仅在于大规模时的计算量，确有需要时可换旋转卡壳算法
+$O(m)$\cite{preparata,toussaint,cgrl}。本文以顶点对枚举为基准实现，旋转卡壳仅作
+对照。单点的直径为 $0$，线段的直径为端点距离。
 
-直径圆覆盖判定可一次完成：设 $A,B$ 为 $P$ 的一对最远顶点，$\|A-B\|=D$。若存在直径
-为 $D$ 的圆覆盖 $P$，其圆心必为 $(A+B)/2$（因该圆须同时包含相距 $D$ 的两点）。故
-只需检查全部顶点到 $(A+B)/2$ 的距离是否不超过 $D/2$；若失败，换任何一组直径对也
-不可能成功，同时输出最坏超出距离与圆外顶点作为反例证据。
+\subsection{直径圆覆盖的充要条件与反例}
+
+\textbf{定理~2}（覆盖判定）\quad 取任意一组最远顶点 $a,b$，记 $D=\|a-b\|$、
+$o=(a+b)/2$。存在直径为 $D$ 的圆覆盖 $P$，当且仅当所有顶点满足
+$\|v_i-o\|\le D/2$。
+
+\textbf{证明}\quad 若半径 $D/2$、圆心 $z$ 的圆同时包含 $a,b$，则
+$D\le\|a-z\|+\|z-b\|\le D$，两处不等号必须同时取等，故 $z$ 在 $a,b$ 连线上且到
+两点等距，只能是中点 $o$；$D=0$ 时结论直接成立。又圆盘是凸集，包含全部顶点等价
+于包含其凸包，故只需在这唯一可能的圆心处检查全部顶点。\hfill$\square$
+
+该判定同时回答“以某条直径线段为直径的圆能否覆盖”与“能否移动一个同样大小的圆
+使其覆盖”：检查失败时，移动圆心或更换最远顶点对均不可能成功。定义最大超出量
+$E=\max_i\|v_i-o\|-D/2$：精确算术下不会出现严格负值（最远顶点对就在圆周上），
+$E>0$ 即覆盖失败，取达到最大值的顶点即得可独立复核的失败证据。
+
+\textbf{结论：直径圆不一定覆盖定位区域。}反例如表~\ref{tab:counterexample} 所示
+（误差半角均取 $1^{\circ}$，符合题设测向条件）。
+
+\begin{table}[htbp]
+  \centering
+  \caption{符合题设测向条件的反例：三点观测}
+  \label{tab:counterexample}
+  \begin{tabular}{ccc}
+    \toprule
+    检测点 & 坐标（米） & 示向度 \\
+    \midrule
+    $s_1$ & $(-1000,0)$ & $1^{\circ}$ \\
+    $s_2$ & $(540,-500\sqrt{3})$ & $121^{\circ}$ \\
+    $s_3$ & $(520,520\sqrt{3})$ & $241^{\circ}$ \\
+    \bottomrule
+  \end{tabular}
+\end{table}
+
+三个角域的下边界方向分别为 $0^{\circ},120^{\circ},240^{\circ}$，对应左半平面
+$y\ge0$、$\sqrt{3}\,x+y\le40\sqrt{3}$、$y\le\sqrt{3}\,x$，其交为顶点 $A=(0,0)$、
+$B=(40,0)$、$C=(20,20\sqrt{3})$ 的等边三角形。以 $s_1$ 为例，它到三顶点的方向分别
+为 $0^{\circ},0^{\circ},\arctan(20\sqrt{3}/1020)\approx1.945^{\circ}$，均在
+$[0^{\circ},2^{\circ}]$ 内，故上边界不切去该三角形；其余两站由绕三角形中心旋转
+$120^{\circ}$ 的对称性同理成立，三个完整前向角域之交恰为该三角形。取真实源为
+三角形中心 $g_*=(20,20\sqrt{3}/3)$：以 $s_1$ 为例，真实方位约 $0.649^{\circ}$，与
+读数 $1^{\circ}$ 的偏差不超过 $1^{\circ}$，检测距离约 $1020$ 米，不超过 $1500$ 米，
+另两站同理，故该反例符合题设的误差界与有效接收半径范围。此时 $D=40$ 米，以 $AB$
+为直径的圆中心为 $(20,0)$，到 $C$ 的距离为 $20\sqrt{3}>20$ 米，不能覆盖；换任何
+最远顶点对亦然。该三角形的最小包围圆即其外接圆，半径
+$40/\sqrt{3}\approx23.094011$ 米。这同时说明“直径不超过 $40$ 米”不足以保证一次
+清除。
 
 \subsection{最小包围圆与可保证清除}
 
-定位的最终目的是清除：清除半径为 $20$ 米，故正确判据是最小包围圆
+定位的最终目的是清除（附录~2 第（8）项的 $20$ 米距离判据），故正确工具是最小
+包围圆
 \begin{equation}
-  \rho(K)=\min_{z}\max_{g\in K}\|g-z\|\le 20 .
+  \rho(K)=\min_{z}\max_{g\in K}\|g-z\|.
   \label{eq:mec}
 \end{equation}
-$\rho(K)\le 20$ 时，最小包围圆圆心即可作为清除点；更一般地，所有可保证清除的位置
-组成 $C_{20}(K)=\bigcap_{g\in K}B(g,20)$，非空时可取其中距机器狗最近者以节省移动。
-$D\le 40$ 只是必要条件。最小包围圆采用带固定随机种子的 Welzl 增量算法\cite{welzl}
-计算，保留全支撑点枚举法作独立对照，并对 $20$ 米阈值保留数值余量。
+对有限顶点集 $V$，$f(z)=\max_{v\in V}\|v-z\|$ 连续且随 $\|z\|\to\infty$ 趋于无穷，
+最小值存在；若两个不同中心 $c_1,c_2$ 都以半径 $r$ 覆盖 $V$，则中点 $c=(c_1+c_2)/2$
+对每个顶点满足
+$\|v-c\|^2=(\|v-c_1\|^2+\|v-c_2\|^2)/2-\|c_1-c_2\|^2/4<r^2$，
+与最小性矛盾，故最小包围圆唯一。在最优中心处，圆周上的顶点集 $T$ 满足
+$c\in\mathrm{conv}(T)$（否则沿严格分离方向小幅移动中心，可使所有圆周点的距离同时
+减小，产生矛盾）；二维凸组合经仿射相关权重消元至多保留 $3$ 个点，故最小包围圆由
+至多 $3$ 个圆周顶点支撑。进而若 $c=\sum_j\lambda_jp_j$ 为支撑点凸组合，则对任意
+$z$ 有 $\sum_j\lambda_j\|p_j-z\|^2=r^2+\|c-z\|^2\ge r^2$，给出任何覆盖圆半径不能
+小于 $r$ 的直接证据。
 
-\textbf{演练验证。}对官方演练的三点观测离线复算：$\delta=1^{\circ}$ 时
-$D=23.996723$ 米、$\rho=12.068583$ 米；$\delta=1.005^{\circ}$ 时
-$D=24.119088$ 米、$\rho=12.130377$ 米。两种口径下直径圆均不覆盖定位区域，
-但最小包围圆半径均小于 $20$ 米，即一点可保证清除，与可视化结果一致
-\todonote{此处可补充定位区域图（figures/）}。
+求解采用带固定随机种子的 Welzl 随机增量算法\cite{welzl,mcgill}：打乱点序，若当前
+圆不包含新点，则在该点成为边界点的约束下求解较小子问题，边界点至多 $3$ 个；实现
+用显式栈避免递归深度限制，$3$ 个强制边界点必须用外接圆，不能替换成其无约束最小
+圆。其期望线性复杂度依赖随机排列分析，不等于任意固定排列的最坏时间保证；另保留
+支撑点枚举法（单点零半径圆、两点直径圆、三点外接圆，最坏 $O(m^4)$）作独立对照。
+
+$\rho(K)\le20$ 时，最小包围圆圆心即可作为清除点；更一般地，所有可保证清除的位置
+组成
+\begin{equation}
+  C_{20}(K)=\bigcap_{g\in K}B(g,20)=\bigcap_{v\in V}B(v,20),
+  \label{eq:c20}
+\end{equation}
+第二个等号来自圆盘的凸性；该集合非空当且仅当 $\rho(K)\le20$，非空时可取其中距
+机器狗最近者以节省移动。相比之下，$D\le40$ 只是必要条件（见上节反例）。
+
+\subsection{算法流程与演练复算}
+
+综合上述结果，问题~1 的完整算法如下。
+
+\textbf{算法~1}（角域交、直径与覆盖证据）
+\begin{enumerate}[label=\arabic*.,leftmargin=2.5em]
+  \item 校验观测并进行坐标平移、尺度归一化，保留原误差半角；
+  \item 按 \eqref{eq:cross} 生成每次观测的半平面约束（含前向约束）；
+  \item 枚举非平行边界交点，保留满足全部约束的点；无观测与空集分别处理；
+  \item 检验非零衰退方向；存在时报告无界并停止有限圆计算；
+  \item 对可行点去重并求凸包，识别单点、线段或多边形；
+  \item 枚举顶点对求直径及任意一组最远顶点；
+  \item 检查其中点到全部顶点的距离，输出最大超出量 $E$ 与失败顶点；
+  \item 求最小包围圆，换回原坐标，重新检查顶点包含性，输出清除半径余量。
+\end{enumerate}
+
+设半平面数为 $k$（约为观测数的 $3$ 倍）、顶点数为 $m$：边界交点枚举及全约束检查
+为 $O(k^3)$，衰退方向检查为 $O(k^2)$，交点排序上界为 $O(k^2\log k)$，直径计算为
+$O(m^2)$，覆盖证据检查为 $O(m)$；随机增量最小圆在随机排列下期望为 $O(m)$。整体仍
+由半平面交点枚举主导，不能称为总体线性算法。数值实现上，数学结论使用精确不等式，
+浮点计算先平移、归一化，再以位置容差、平行判定阈值和衰退方向容差分别处理不同
+问题；接近平行或退化的输入应作精度与容差敏感性检查，任意追加固定小数裕量不能
+替代严格的误差传播分析。清除判断采用 $\rho+\varepsilon_m\le20$，其中
+$\varepsilon_m$ 为工程数值裕量。
+
+\textbf{演练复算。}对官方演练案例 \texttt{U5ZW-P9KN-TCAG-R7ST} 的三点观测离线复算，
+结果如表~\ref{tab:q1practice}。两种口径下直径圆均不覆盖定位区域（$E>0$），但最小
+包围圆半径均小于 $20$ 米，即存在一点可保证清除，与可视化结果一致。该演练未公开
+源坐标且未执行清除，故仅用于观测交会与计算一致性复核，不能据此声称实测定位误差
+或清除成功率。\todonote{此处可补充定位区域图（figures/）}
+
+\begin{table}[htbp]
+  \centering
+  \caption{官方演练三点观测的离线复算结果}
+  \label{tab:q1practice}
+  \begin{tabular}{cccc}
+    \toprule
+    误差半角 & 直径 $D$ / 米 & 最小包围半径 $\rho$ / 米 & 直径圆最大超出 $E$ / 米 \\
+    \midrule
+    $1^{\circ}$ & 23.996723 & 12.068583 & 0.604002 \\
+    $1.005^{\circ}$ & 24.119088 & 12.130377 & 0.608486 \\
+    \bottomrule
+  \end{tabular}
+\end{table}
 
 \section{问题~2：第二检测点的主动选点模型}
 
-\subsection{首次测向后的候选集合}
+\subsection{建模思路来源}
 
-设在 $s_1$ 处首次测得 \texttt{direction}，示向度 $\theta_1$。记
+问题~2 给定“某全向干扰源在一个检测点处测得的示向度”，要求“给出第二个检测点的
+选择策略，以获得关于该干扰源较好的定位效果，并给出第二个检测点的候选区域”。
+注意源类型明确为全向，不能混入问题~4 的朝向可见性条件。本问方法的取舍同样由
+题面描述逐项确定。
+
+\textbf{先接收、后优化。}附录~2 第（2）项规定各源有效接收半径在 $1000$ 至 $1500$
+米之间且具体值未知。真实源位置未知时，若第二检测点距真源超过其实际接收半径，
+第二次检测将返回 \texttt{no\_signal}，任何定位收益都无从谈起。因此把本问拆成
+先后两个问题：先构造“无论真源在候选集合内何处都能收到信号”的安全候选区域，
+再在其中优化定位效果。若只追求较大交会角而不控制到真实源的距离，预期几何收益
+可能根本无法实现。
+
+\textbf{由误差描述确定最坏情形指标。}题面只给出有界误差（附录~2 第（1）项），没有
+给出源位置的概率分布，也不存在可独立重抽样的测向噪声模型（同一地点误差固定，
+重复检测不产生新信息）。因此不能把卡尔曼滤波、协方差传播或费舍尔信息直接用作
+严格保证，本文以最坏情形的后验包围半径作为选点主目标\cite{boyd}；交会角仍有
+明确的几何意义，但只作局部解释与候选筛选依据。
+
+\textbf{由区域描述确定活动范围。}题面第~1 页的 $1800$ 米圆域限制的是干扰源位置；
+附录~3 说明机器狗位置通常不构成约束（接口坐标分量绝对值上限仅为数值防护）。
+故第二检测点允许位于 $\Omega$ 之外，安全候选区域不受源位置圆域限制。
+
+\textbf{由 near 机制确定分支处理。}附录~2 第（9）项规定检测点距源不超过 $5$ 米时
+“无法获得示向度信息，此时可直接进行光学精确定位并清除干扰源”。返回
+\texttt{near} 不是策略失败，而是定位效果更好的分支（不确定半径不超过 $5$ 米），
+应单独建模并就地清除。
+
+\textbf{由动作耗时确定成本项。}附录~2 第（5）、（6）项规定检测耗时 $5$ 秒、移动
+速度 $5$ 米/秒，故第二点的成本取移动与检测耗时之和，作为后验半径择优之后的次
+目标，避免任意混合米与秒。
+
+\subsection{首次观测后的候选集合}
+
+设在 $s_1$ 处首次测得 \texttt{direction}，示向度 $\theta_1$，记 $u=u(\theta_1)$。
+由角域模型、题面第~1 页的源位置圆域与附录~2 第（2）项的接收半径上界，真实源
+$g$ 满足
 \begin{equation}
-  K_1=\Omega\cap W(s_1,\theta_1\pm\delta)\cap \overline{B}(s_1,1500),
+  g\in K_1=\Omega\cap W(s_1,\theta_1,\delta)\cap B(s_1,R_+),
+  \qquad R_+=1500,
   \label{eq:k1}
 \end{equation}
-即目标区域、角域与最大可能接收圆盘的交。保留整个距离圆盘是保守处理：即使
-\texttt{direction} 还隐含“距离超过 $5$ 米”的排除，忽略它也不会丢失真源。
+即保守位置候选集合 $K_1$ 为闭凸紧集；观测一致时它必含真源，从而非空。首次返回
+\texttt{direction} 还意味着 $\|g-s_1\|>5$（附录~2 第（9）项），但排除这个开圆盘
+会破坏凸性，本文暂不使用该信息，保留包含真源的凸外包集合：由此得到的保证可能
+更保守，但绝不误删真实位置。若计算得到 $K_1=\varnothing$，说明输入、频道、误差
+界或数值处理与题设不一致，应返回不一致状态，不能继续给空集计算圆心。
 
-\subsection{安全候选区域的解析非空证明}
+\subsection{安全候选区域的定义与非空判据}
 
-第二个检测点 $q$ 必须保证：无论真实源位于 $K_1$ 内何处，$q$ 都落在其有效接收半径
-内（任何 $R_c\ge 1000$）。故安全候选区域定义为
+第二个检测点 $q$ 必须保证：无论真源位于 $K_1$ 内何处，都有 $\|q-g\|\le R_-$
+（$R_-=1000$），从而对任何 $R_c\ge R_-$ 都能收到信号。定义
 \begin{equation}
-  \mathcal{Q}=\Bigl\{q:\max_{g\in K_1}\|q-g\|\le 1000\Bigr\} .
+  F_K(q)=\max_{g\in K}\|q-g\|,\qquad
+  \mathcal{Q}(K)=\{q:F_K(q)\le R_-\}=\bigcap_{g\in K}B(g,R_-).
   \label{eq:Q}
 \end{equation}
-对一般的 $K_1$，$\mathcal{Q}$ 非空当且仅当 $\rho(K_1)\le 1000$。本题首次测向条件下
-有更强的解析结论：取 $R=1500$、$\bm{u}$ 为示向度方向单位向量，
-\begin{equation}
-  a=\frac{R}{2\cos\delta},\qquad c=s_1+a\,\bm{u},
-\end{equation}
-则 $K_1\subseteq B(c,a)$。事实上任意候选 $g=s_1+t\,\bm{u}_\varphi$
-（$0\le t\le R$，$|\varphi-\theta_1|\le\delta$）满足
-\begin{equation}
-  \|g-c\|^2=t^2+a^2-2at\cos(\varphi-\theta_1),
-\end{equation}
-该式关于 $t$ 为凸函数，最大值在 $t=0$ 或 $t=R$ 取得；$t=0$ 处值为 $a^2$，
-$t=R$ 处由 $a=R/(2\cos\delta)$ 知其不超过 $a^2$。于是
-$B(c,1000-a)\subseteq\mathcal{Q}$。取 $\delta=1.005^{\circ}$ 时
-$a\approx 750.115391$ 米，安全圆盘半径约 $249.884609$ 米，严格为正；题设
-$\delta=1^{\circ}$ 时同样成立。即使 $c$ 位于 $\Omega$ 外也合法，因为机器狗不受
-源位置圆域限制。
+保证接收不等于保证返回示向度：距离不超过 $5$ 米时可能返回 \texttt{near}，该分支
+定位效果更好（见 6.6 节），不能视为策略失败。
 
-\subsection{选点目标与算法}
+\textbf{命题~1}（$F_K$ 的凸性与稳定性）\quad 对任意非空紧集 $K$，$F_K$ 为凸函数，
+且 $|F_K(q_1)-F_K(q_2)|\le\|q_1-q_2\|$。
 
-在安全圆盘内以“信息收益—成本”双指标选点：主目标为最坏情形后验包围圆半径
-$\sup_{\theta'}\rho\bigl(K_1\cap W(q,\theta')\bigr)$，其中 $\theta'$ 取遍与 $K_1$
-及误差界一致的读数；次目标为移动与检测成本。实现上对目标位置与误差区间端点采样
-并加密检查，交会角只作同分筛选指标，不为改善交会角越出已证明安全的候选区域。
-若返回 \texttt{near}，则源位于当前点 $5$ 米以内，可直接在当前位置尝试清除。
+\textbf{证明}\quad 对每个固定的 $g$，距离函数关于 $q$ 凸，逐点取最大值保持凸性；
+由三角不等式 $\|q_1-g\|\le\|q_2-g\|+\|q_1-q_2\|$，对 $g$ 取最大得到一个方向的
+不等式，再交换两点即得 Lipschitz 性。\hfill$\square$
+
+故 $\mathcal{Q}(K)$ 为闭凸集；非空时它含于任一 $B(g_0,R_-)$ 内，因而有界。
+
+\textbf{定理~1}（非空判据）\quad $\mathcal{Q}(K)\ne\varnothing$ 当且仅当
+$\rho(K)\le R_-$。
+
+\textbf{证明}\quad 由定义 $\rho(K)=\min_q F_K(q)$；$F_K$ 连续且随 $\|q\|\to\infty$
+趋于无穷，最小值可达，故“存在 $q$ 使 $F_K(q)\le R_-$”与“该最小值不超过 $R_-$”
+完全等价。\hfill$\square$
+
+当 $\rho(K)=R_-$ 时，安全区域仅含最小包围圆中心这个单点（唯一性见 5.6 节），因此
+判据必须使用不严格不等式，不能把等号情形误判为空。
+
+\textbf{外包圆给出的充分区域。}若已知 $K\subseteq B(c,r)$ 且 $r\le R_-$，则对任意
+$\|q-c\|\le R_--r$ 的点都有 $\|q-g\|\le\|q-c\|+\|c-g\|\le R_-$，故
+\begin{equation}
+  B(c,R_--r)\subseteq\mathcal{Q}(K).
+  \label{eq:sufficient}
+\end{equation}
+这给出容易计算的充分候选区域；但一个满足 $r>R_-$ 的宽松外包圆只能说明该外包圆
+不能提供证书，不能据此判定真实的 $\mathcal{Q}(K)$ 为空。
+
+\subsection{截断角域的解析最小包围圆}
+
+首次角域狭窄（$\delta=1^{\circ}$）这一题设特征，使 \eqref{eq:sufficient} 所需的
+外包圆可以解析地算到最小。暂时去掉只会缩小集合的 $\Omega$ 约束，考虑完整截断
+角域 $S=W(s_1,\theta_1,\delta)\cap B(s_1,R_+)$，其点可写成
+$g=s_1+t\,u(\theta_1+\varphi)$（$0\le t\le R_+$，$|\varphi|\le\delta$）。令
+\begin{equation}
+  a=\frac{R_+}{2\cos\delta},\qquad c=s_1+a\,u.
+  \label{eq:ac}
+\end{equation}
+
+\textbf{定理~2}（截断角域的最小包围圆）\quad 对 $0\le\delta\le45^{\circ}$，$S$ 的
+最小包围圆恰为 $B(c,a)$。
+
+\textbf{证明}\quad 先证包含。对 $g=s_1+t\,u(\theta_1+\varphi)\in S$，
+\begin{equation}
+  \|g-c\|^2=t^2+a^2-2at\cos\varphi.
+  \label{eq:dist}
+\end{equation}
+固定 $\varphi$ 时右端关于 $t$ 为凸二次函数，区间最大值在端点取得：$t=0$ 时等于
+$a^2$；$t=R_+$ 时由 $\cos\varphi\ge\cos\delta$ 得
+$\|g-c\|^2\le R_+^2+a^2-2aR_+\cos\delta=a^2$，最后一步代入了
+$a=R_+/(2\cos\delta)$。故 $S\subseteq B(c,a)$。
+
+再证最小。取 $p_0=s_1$、$p_{\pm}=s_1+R_+u(\theta_1\pm\delta)$，三点都在 $B(c,a)$
+的圆周上。令 $\lambda_+=\lambda_-=1/(4\cos^2\delta)$、
+$\lambda_0=1-1/(2\cos^2\delta)$；$\delta\le45^{\circ}$ 时三权重非负且和为 $1$，
+直接代入得 $c=\lambda_0p_0+\lambda_+p_++\lambda_-p_-$。于是对任意中心 $z$，由加权
+距离恒等式
+\begin{equation}
+  \sum_j\lambda_j\|p_j-z\|^2=a^2+\|c-z\|^2\ge a^2,
+\end{equation}
+故任何覆盖这三点的圆半径不小于 $a$；而覆盖 $S$ 的圆必须覆盖这三点，结合包含性
+知最小半径恰为 $a$。$\delta=0$ 时两个远端点重合，结论退化为长度 $R_+$ 的线段
+直径圆，仍成立。\hfill$\square$
+
+该推导不依赖源位置先验与任何概率分布；它给出完整截断角域的精确最小圆，与
+$\Omega$ 相交后，真实 $K_1$ 的最小圆可能更小。
+
+\subsection{本题可直接采用的安全候选圆盘}
+
+由 $K_1\subseteq S\subseteq B(c,a)$ 与 \eqref{eq:sufficient}，取
+\begin{equation}
+  \mathcal{Q}_0=B(c,b),\qquad b=R_--a=1000-\frac{1500}{2\cos\delta},
+  \label{eq:Q0}
+\end{equation}
+数值见表~\ref{tab:q2disk}。
+
+\begin{table}[htbp]
+  \centering
+  \caption{安全候选圆盘的解析参数}
+  \label{tab:q2disk}
+  \begin{tabular}{ccc}
+    \toprule
+    误差半角 $\delta$ & 轴向中心距离 $a$ / 米 & 安全候选半径 $b$ / 米 \\
+    \midrule
+    $1^{\circ}$ & 750.114246 & 249.885754 \\
+    $1.005^{\circ}$ & 750.115391 & 249.884609 \\
+    \bottomrule
+  \end{tabular}
+\end{table}
+
+两种口径下 $b>0$，故本题首次有效测向后的安全候选区域由解析证明严格非空，无需把
+“若安全区域为空就去最小包围圆圆心”作为保底步骤（对一般候选集合，$\rho(K)>R_-$
+时根本不存在保证接收的点）。几何上 $\mathcal{Q}_0$ 位于首测示向方向前方约 $750$
+米处、半径约 $250$ 米，与首测点相距至少约 $500$ 米，还天然避免了同点重复测量不
+产生新信息的问题（附录~2 第（1）项）。机器狗不受源位置圆域限制，即使 $c$ 位于
+$\Omega$ 外，选点也合法。为抵消坐标计算与动作提交中的工程舍入，可取缩小区域
+$\mathcal{Q}_\eta=B(c,b-\eta)$（$0<\eta<b$，如 $\eta=0.01$ 米）：若圆心与提交位置
+的合计偏差不超过 $\eta$，三角不等式保证仍有 $\|q-g\|\le1000$；这是可调工程选择，
+不是题面要求。若有更精细的 $K_1$ 外包圆，可得更大的充分区域；这些扩展均属性能
+优化，不影响 $\mathcal{Q}_0$ 的正确性。
+
+\subsection{“较好的定位效果”的数学定义}
+
+\textbf{保守后验集合。}对 $q\in\mathcal{Q}_0$，若返回 \texttt{direction} 及读数
+$\beta$，定义 $K_d(q,\beta)=K_1\cap W(q,\beta,\delta)$（继续忽略距离超过 $5$ 米的
+非凸排除信息），真源必在其中；若返回 \texttt{near}，定义
+$K_n(q)=K_1\cap B(q,5)$，故 $\rho(K_n)\le5$，可直接在当前位置光学定位并清除，满足
+$20$ 米清除条件，不必强行再取一个角度。以 $d_{\mathbb{S}^1}$ 记圆周角距离，对
+$\|g-q\|>5$ 的候选位置记真实方位 $h_q(g)=\operatorname{atan2}(g_y-q_y,g_x-q_x)$，
+则可能读数集合为
+$\mathcal{B}(q)=\{\beta:\exists\, g\in K_1,\ \|g-q\|>5,\ d_{\mathbb{S}^1}(\beta,h_q(g))
+\le\delta\}$。这里用所有允许误差描述可能读数，而不是假设误差可以随机独立重抽样。
+
+\textbf{最坏后验半径指标。}定义 $J(q)$ 为所有可能 \texttt{direction} 分支
+$\rho(K_d(q,\beta))$ 与非空 \texttt{near} 分支 $\rho(K_n(q))$ 的上确界，即未来所有
+允许观测下最坏的保守包围半径；不存在的观测分支不参与取最大。选点主目标即在安全
+候选区域内降低 $J(q)$。该指标直接服务一次清除要求：$J(q)\le20$ 时每个可能分支都
+有半径不超过 $20$ 米的保守定位圆；它比面积更贴合任务——面积较小的集合仍可能
+十分狭长。注意后验总是 $K_1$ 的子集，故 $J(q)\le\rho(K_1)$，但不一定严格小于：
+不能仅由“增加一次观测”推断精度必然严格改善，更不能保证两次测向即达 $20$ 米
+阈值。
+
+\textbf{移动成本与字典序。}连续测量同一频道时，本次动作的虚拟时间增量为
+\begin{equation}
+  C(q)=\|q-s_1\|/5+5\ \text{秒}.
+  \label{eq:cost}
+\end{equation}
+以 $\widehat{J}(q)$ 表示实际计算的评估量（6.8 节取保守上界 $\overline{J}(q)$），
+推荐先按后验半径择优，再保留满足 $\widehat{J}(q)\le J_{\min}+\tau$ 的近优点并取
+其中 $C(q)$ 最小者，其中 $\tau\ge0$ 是显式声明的定位容忍量（米），$\tau=0$ 对应
+严格字典序；本文不预设未经实验支持的最优 $\tau$。
+
+\subsection{交会角的局部几何解释}
+
+在假定真实位置 $g$ 附近，记两站距离为 $r_1,r_2$，真实视线单位向量为 $u_1,u_2$，
+对应法向量为 $n_1,n_2$。角误差很小且位置扰动相对站距很小时，方位函数的一阶展开
+给出 $n_i\cdot\Delta g\approx r_ie_i$（$|e_i|\le\delta_{\mathrm{rad}}$，弧度），即
+局部不确定区域近似由两条带状约束 $|n_i\cdot\Delta g|\le r_i\delta_{\mathrm{rad}}$
+限定。若视线交会角为 $\phi$，法向量矩阵的行列式绝对值为 $|\sin\phi|$，对法向坐标
+中的矩形作线性逆变换，得近似面积
+\begin{equation}
+  A_{\mathrm{loc}}\approx\frac{4\,r_1r_2\,\delta_{\mathrm{rad}}^{2}}{|\sin\phi|}.
+  \label{eq:anglearea}
+\end{equation}
+这解释了两点：视线近于平行或反向时误差被显著放大；在距离不变的局部比较下，接近
+直角的交会较有利。但真实源位置未知，$r_2$ 与 $\phi$ 随 $g$ 改变，且有限角域并非
+无限带状区域，故不能由此推出“总应横移固定距离”或“对某个假定源位置成
+$90^{\circ}$ 即全局最优”。本文仅用它优先考虑轴线两侧的候选点，最终仍以后验集合
+指标评价，交会角只作同分筛选指标。
+
+\subsection{圆弧先验的保守离散与读数区间评估}
+
+\textbf{外包切线多边形。}直接连接圆周采样点得到的是内接多边形，会错误排除圆盘
+边缘的真实位置。为复用问题~1 的半平面工具，取 $M\ge3$ 个均匀法向量
+$v_j=u(2\pi j/M)$，定义
+\begin{equation}
+  P_M(o,R)=\{x:v_j\cdot(x-o)\le R,\ j=0,\dots,M-1\}.
+\end{equation}
+由柯西不等式，$B(o,R)\subseteq P_M(o,R)$；相邻切线交点到圆心的距离为
+$R\sec(\pi/M)$，故单个圆盘外包的最大径向超出不超过 $R[\sec(\pi/M)-1]$。令
+$\widetilde{K}_1=P_M(0,1800)\cap W(s_1,\theta_1,\delta)\cap P_M(s_1,1500)$，则
+$K_1\subseteq\widetilde{K}_1$，对任何第二读数再求半平面交仍保留真源。靠近切触或
+退化情形须加密检查，不能把单圆径向误差未经论证直接当成最终定位半径的误差界。
+安全选点仍使用解析的 $\mathcal{Q}_\eta$：即使粗糙外包多边形的最小圆偏大，也不能
+据此推翻解析安全区域的非空结论。若改用任意有界凸外包多边形
+$\widetilde{K}=\mathrm{conv}\{v_j\}$，则
+$\max_{g\in\widetilde{K}}\|q-g\|=\max_j\|q-v_j\|$（与 5.4 节相同的凸组合论证），
+其保证接收区域由有限个圆盘约束 $\|q-v_j\|\le1000$ 给出；离散区域为空时优先加密
+或回到解析候选盘，不把离散失败误报为问题无解。
+
+\textbf{读数区间的保守评估。}仅枚举少量假定源位置与误差端点，只得到被枚举情形的
+最大值，可能漏掉真正最坏的读数。将整周按圆周意义划分为若干区间 $I_j$（中心
+$\beta_j$、宽度 $h_j$，要求 $\delta+h_j/2<90^{\circ}$，跨 $0^{\circ}$ 的区间按
+圆周距离处理）。
+
+\textbf{命题~2}\quad 对任意 $\beta\in I_j$，有
+$W(q,\beta,\delta)\subseteq W(q,\beta_j,\delta+h_j/2)$。
+
+\textbf{证明}\quad 左侧角域内任意非顶点位置，其方向到 $\beta$ 的圆周距离不超过
+$\delta$，而 $\beta$ 到区间中心的距离不超过 $h_j/2$，由圆周距离的三角不等式，其
+方向到中心的距离不超过两者之和；顶点在两个闭角域中均被保留。\hfill$\square$
+
+定义 $U_j(q)=\widetilde{K}_1\cap W(q,\beta_j,\delta+h_j/2)$，则落在该区间的任何
+真实读数对应的保守后验都含于 $U_j(q)$，从而
+$\rho(K_d(q,\beta))\le\rho(U_j(q))$；\texttt{near} 分支取统一上界
+$\min\{5,\rho(\widetilde{K}_1)\}$。令 $\overline{J}(q)$ 为所有非空 $U_j(q)$ 的最小
+包围半径与该上界的最大值，则 $J(q)\le\overline{J}(q)$（精确几何计算下成立；浮点
+实现还须另行给出包含性与数值误差处理）。二分角区间或增加外包切线都使相应上界
+单调不增，给出稳定的自适应加密方向。实际可先以少量读数采样粗筛，再对入围点使用
+完整区间上界：粗筛只决定计算资源分配，最终报告的保守上界必须来自完整覆盖的
+区间，不能来自粗筛样本最大值。
+
+\subsection{选点算法与边界情形}
+
+\textbf{算法~2}（安全区域内的有限候选主动测向）
+\begin{enumerate}[label=\arabic*.,leftmargin=2.5em]
+  \item 核验首次观测为同一全向源的有效示向度，构造 $K_1$ 或其保守表示；
+  \item 按 \eqref{eq:ac} 计算 $a$、$c$ 与 $b=1000-a$，选取满足误差预算的缩小半径
+        $b-\eta$；
+  \item 构造有限候选集：圆心 $c$ 及
+        $q=c+r_\ell(\cos\psi_j\,u+\sin\psi_j\,u_\perp)$（$0<r_\ell\le b-\eta$、
+        $\psi_j=2\pi j/N_\psi$、$u_\perp=(-\sin\theta_1,\cos\theta_1)$），全部候选
+        自动满足接收距离保证；
+  \item 对每个候选点构造外包后验并评估 $\overline{J}(q)$，保存最坏角区间及对应
+        包围圆作为评估依据；
+  \item 优先取 $\overline{J}$ 较小者，按预先声明的 $\tau$ 筛出近优点后比较移动
+        检测成本，必要时以固定顺序消除完全同分；
+  \item 在计算预算内对入围候选附近加密位置、细分最坏角区间并增加外包切线；预算
+        耗尽时返回当前已验证安全的最好点；
+  \item 在所选位置测量同一频道：若 \texttt{near} 则就地清除；若 \texttt{direction}
+        则用实际读数更新候选集合并复算最小包围圆，半径仍大于 $20$ 米时继续测向，
+        不宣称两次定位已经完成；
+  \item 若在距离保证条件下意外返回 \texttt{no\_signal}，核查动作是否被接受、频道
+        是否正确、源是否仍存在及坐标模型是否一致；原因查明前不按正常
+        \texttt{direction} 分支更新候选。
+\end{enumerate}
+
+例如可取 $3$ 层半径、每层 $16$ 个方向加圆心共 $49$ 个候选点起步；这只是位置搜索
+的数值分辨率示例，与问题~3 的 $49$ 点覆盖网格无关，也不是已优化参数。设候选数为
+$N_q$、角区间数为 $N_\beta$、每个后验的半平面数为 $k$，复用问题~1 的边界枚举时
+主计算量约为 $O(N_qN_\beta k^3)$，另加直径或最小圆计算；选点器自身的运行时间不能
+忽略。算法输出保证的是：所选点位于已证明安全的区域内，并在给定有限候选与评估
+精度下按既定规则择优；本文未证明 $q\mapsto J(q)$ 为凸函数，也未证明有限候选的
+最优点就是整个 $\mathcal{Q}(K_1)$ 中的全局最优点。
+
+\textbf{边界情形。}（i）$K_1$ 为空：报告模型或数据不一致，不构造虚假圆心；
+（ii）首次结果已是 \texttt{near}：直接清除，不再套用本问流程；
+（iii）一般集合满足 $\rho(K)=1000$：安全区域退化为最小包围圆中心这个单点；
+（iv）$\rho(K)>1000$：不存在对该集合全部位置保证接收的点，圆心仅是最小化最坏
+距离的探索选择，改善交会角若要求偏离该中心还会牺牲最坏距离最优性，两项冲突的
+要求不能同时称为已保证；（v）外包圆半径大于 $1000$：只能说明该证书不足，不能
+判真实安全区域为空；（vi）测量轴接近 $0^{\circ}/360^{\circ}$：使用向量约束与
+圆周区间，避免角度断点错误；（vii）两次测向交会较差：保留完整后验并继续测量，
+不把小面积当成小直径；（viii）源类型为定向：距离证书仍成立，但接收还受朝向
+限制，不能直接沿用本问的接收保证（见问题~4）。
 \todonote{候选区域示意图与选点对比实验待补}
 
 \section{问题~3：全向干扰源的搜索定位与清除调度}
@@ -555,6 +1010,8 @@ $1000$ 米、\texttt{no\_signal} 对定向源不删位置、停止条件需覆
     \url{https://doc.cgal.org/latest/Bounding_volumes/}, 2026.
   \bibitem{cgrl} McGill School of Computer Science. Rotating Calipers[EB/OL].
     \url{https://www-cgrl.cs.mcgill.ca/~godfried/research/calipers.html}, 2026.
+  \bibitem{boyd} Boyd S, Vandenberghe L. Convex Optimization[M]. Cambridge:
+    Cambridge University Press, 2004.
 \end{thebibliography}
 
 \clearpage
@@ -585,12 +1042,12 @@ $1000$ 米、\texttt{no\_signal} 对定向源不删位置、停止条件需覆
 
 以下为支撑模型计算的核心源代码，完整可运行代码以支撑材料压缩包为准。
 
-\subsection{\texttt{geometry/localization.py}：交会定位几何内核}
+\subsection{\texttt{src/mcm26b/geometry/localization.py}：交会定位几何内核}
 
-\lstinputlisting[language=Python]{../../../geometry/localization.py}
+\lstinputlisting[language=Python]{../../src/mcm26b/geometry/localization.py}
 
-\subsection{\texttt{geometry/planning.py}：问题~2 安全候选区域}
+\subsection{\texttt{src/mcm26b/geometry/planning.py}：问题~2 安全候选区域}
 
-\lstinputlisting[language=Python]{../../../geometry/planning.py}
+\lstinputlisting[language=Python]{../../src/mcm26b/geometry/planning.py}
 
 \end{document}