\section{问题三：全向多源的网格滤波与滚动调度}\aigcC
\subsection{统一时间目标与任务状态}
问题一、二分别给出了"能否清除"与"下一点选在哪里"的判据，
问题三把它们放进一个连续运行的闭环：源的数量未知，机器人必须自己决定何时发现、何时定位、何时清除。
在这样的任务中，优化的最终标准不是某一步的精度，而是完成任务所花的虚拟时间，
因此第一步是把时间写成可优化的目标。
按式~\eqref{eq:time} 的计时记账，优化目标是在全部源清除的约束下最小化虚拟耗时 $T$。
题目统计的平均定位清除时间是 $\bar T=T/N_c^+$；
由于清除动作本身的 $5$ s 是常数，该平均值不能代替总虚拟时间作为优化目标。
清除请求中的频道是目标频道，不改变测向机频道；
进入与退出均不增加虚拟时间，因此路径终点自由，无需返回原点。
这一自由度允许我们把任务序列当作开放路径而非回路来处理。

在时间目标之外，还需要一套能表达"这条频道到底还有没有源"的状态。
为此各频道的状态按"未知、已发现、可清除、已清除、已证无源"管理。
首次获得 $\direction$ 或 $\near$ 即确立该频道存在源。
最小包围圆判据决定清除时机，成功响应将状态更新为已清除。
频道的候选集为空，或其所有覆盖站检测结果均为无信号时，可判定该频道无源。
后一条判据依赖下一小节的覆盖证明，是本问题效率的关键：
只有能够严格举证"不存在"，才能放心地停止检测。

当前测试程序默认采用 \texttt{BayesLoop}：七点计划只作为解析覆盖与无源举证；
证据层同时维护便于判据计算的凸候选集与逐频道网格幸存集，
后者统一吸收正负观测，负观测按最小接收半径删除整格，
候选集为空即给出缺席证明。定位测量按信息增益与移动代价选点，
覆盖、定位与清除三类任务组成统一任务表，用开放路径 2-opt 滚动重排，
并不执行七个站点对所有频道逐一全扫描的固定流程。

\subsection{七点解析覆盖与无源证据}
"证明某频道无源"要求对圆域内任意位置都保证有站点能收到信号。
为达到这一目的，取站点集合
\begin{equation}
S(a)=\{(0,0)\}\cup
\left\{a\left(\cos\frac{k\pi}{3},\sin\frac{k\pi}{3}\right):k=0,\ldots,5\right\}.
\label{eq:seven}
\end{equation}
即原点加正六边形顶点，共七点。其覆盖能力可以精确刻画。

\begin{proposition}[七点全向覆盖]
当 $0<a/\sqrt3\le R$ 时，任意 $g\in\Omega$ 到最近站点的距离不超过
\begin{equation}
D_{\mathrm{cov}}(a)=
\max\left\{\frac a{\sqrt3},\
\sqrt{R^2+a^2-\sqrt3Ra}\right\}.
\label{eq:coveragebound}
\end{equation}
\end{proposition}
\begin{proof}
设 $g$ 距原点为 $r$，其方位与最近环站的夹角不超过 $\pi/6$。
若 $r\le a/\sqrt3$，选取原点即可。
若 $r\ge a/\sqrt3$，由余弦定理，距最近环站的平方不超过
$r^2+a^2-\sqrt3ar$。
该凸二次式在 $[a/\sqrt3,R]$ 上的最大值于端点取得，
分别为 $a^2/3$ 与 $R^2+a^2-\sqrt3aR$。
\end{proof}

命题给出了一个可调的覆盖半径。当前 \texttt{bayes} 策略取 $a=1159.7$ m，
由式~\eqref{eq:coveragebound} 得 $D_{\mathrm{cov}}=984.539136$ m，
比最小接收半径小约 $15.461$ m。
因此每个合法全向源至少在一站可被接收。
某频道在七站全部为无信号，就构成该频道不存在源的严格证据。
以"站点、频道"为索引建立检测状态矩阵，记录各站对各频道的检测结果。
该矩阵用于逐频道的严格缺席证明；实际执行不要求在每个站点重测所有频道，
可由网格幸存集证明必为无信号的（站，频道）对会被跳过。

顺次从原点访问六个环站的开放路径长为 $6a$；
任务总路径由覆盖站间移动以及定位、清除所需的局部移动共同构成。

\subsection{正负观测的双重候选表示}
覆盖证明只回答"源是否可能被听见"，要把一次具体检测转化为位置信息，
还需要更新候选集合。每个已发现频道维护凸外包 $P_c^{\mathrm{out}}$。
$\direction$ 将候选集与 $\B(s,1500)$ 外切多边形及测向角域相交；
$\near$ 与 $\B(s,5)$ 外切多边形相交。
难点在于全向源的 $\sgnless$ 观测，它意味着
\begin{equation}
\norm{g-s}>r_{\mathrm{eff}}\ge1000,
\end{equation}
即排除一个圆盘。圆盘的补集不凸，直接与凸候选集求交会破坏凸性。
为此，采用网格幸存集 $\mathcal G_c$ 表示负观测带来的空间约束，
同时保留便于几何运算的凸外包：前者负责吸收负信息，后者负责快速判据与选点。

网格边长为 $\ell=14.65$ m，每格中心与格内点的最大距离为
$\epsilon_g=\ell/\sqrt2$。初始保留所有可能与 $\Omega$ 相交的格，
按以下充分排除条件更新格心 $z$：
\begin{equation}
\begin{array}{ll}
\sgnless: & \norm{z-s}\le1000-\epsilon_g\ \Rightarrow\ \text{删除};\\
\near: & \norm{z-s}>5+\epsilon_g\ \Rightarrow\ \text{删除};\\
\direction: & \norm{z-s}>1500+\epsilon_g\ \Rightarrow\ \text{删除}.
\end{array}
\label{eq:gridupdate}
\end{equation}
三式的裕量 $\epsilon_g$ 保证只有整格必然越界时才删除，故真源所在格永不被误删。
方向观测另外检查角差。若 $d=\norm{z-s}>\epsilon_g$，
源所在格引起的方位偏差可由 $\arcsin(\epsilon_g/d)$ 上界；
实现采用距离内缩后的角误差界，并在测点附近保留所有可能方位。
只有角差超过 $\delta_{\mathrm{eff}}$ 加格内角裕量时才删除。

上述排除条件保持真源所在网格的可行性。
因此网格幸存集为空时，该频道无源。
若全部候选格心均满足 $\norm{z-s}>1500+\epsilon_g$，
则在 $s$ 测量必无信号，且所有候选网格已在最小接收圆盘外，
其观测的信息增益为零，可在检测状态矩阵中标记该推断结果，
从而节省相应检测与换频时间。

\subsection{信息增益选点与清除判据}
候选集收窄之后，还需决定下一个测点。
问题二的算法2提供满足接收约束的检测点；
问题三的 \texttt{BayesLoop} 进一步采用网格幸存集上的信息增益，
即优先选择最能缩小候选集的测点。
存在保证接收圆盘时，在其内部生成环形候选并补充当前接近方向上的测点；
其余情况下，在网格最小包围圆附近生成环形采样点。
候选集合同时包含当前位置与探索点，分别根据预期信息增益和移动代价评分。
对候选 $q$ 计算
\begin{equation}
J_{\mathrm{IG}}(q)=
\widehat{\mathbb E}\!\left[
\log\frac{|\mathcal G_c^{\,\mathrm{post}}(q,Y)|}{|\mathcal G_c|}
\right]
+\lambda\left(\frac{\norm{p-q}}5+\frac{\norm{q-m_c}}5\right),
\label{eq:ig}
\end{equation}
其中 $\lambda=0.05$，空分支用正的小值截断。
较小的候选集基数比对应较大信息增益，移动项限制为测量而产生的绕行。
评分最多取 $800$ 个子样本及 $7$ 个代表假设，
并以均匀 $r_{\mathrm{eff}}\in[1000,1500]$ 估计接收概率。
该决策采用离散假设上的加权期望，接收半径的均匀分布作为选点先验。

清除判断使用完整候选集合。由于清除要求在 $20$ m 内完成，
判据必须同时计入几何半径与数值余量。凸候选集的清除判据为
\begin{equation}
\rho_c+b_c+0.5\le20,
\label{eq:clearpoly}
\end{equation}
其中 $b_c\ge0$ 为代码的累计附加余量。
凸多边形包含真源，$\rho_c$ 是其最小包围半径；
$b_c$ 与 $0.5$ m 共同提供附加数值裕量。
若负观测使网格更紧，也可使用
\begin{equation}
\rho_{\mathrm{grid}}+\epsilon_g+0.5\le20
\label{eq:cleargrid}
\end{equation}
的网格清除判据，其中 $\rho_{\mathrm{grid}}$ 为候选格心的最小包围半径。
满足任一充分条件即可选择清除点。
利用剩余距离裕量，可将圆心向当前位置平移 $\Delta$；
只要平移后的距离上界仍满足对应不等式，三角不等式便保证清除条件成立。

\subsection{开放路径上的滚动任务排序}
到这一步，每个频道都已知"是否需要检测、在哪里检测、何时清除"，
剩下的问题是如何把这些动作排成一条省时的路线。
统一任务表包含三类任务：覆盖站的批量扫频、已发现源的定位测量、
满足半径条件的清除。站内检测优先使用测向机当前频道，减少换频次数。
对任务序列 $\pi$，排序代价为
\begin{equation}
C(\pi)=\frac{\norm{p-q_{\pi_1}}}{5}
+\sum_{j=1}^{k-1}\frac{\norm{q_{\pi_j}-q_{\pi_{j+1}}}}5
+\sum_{j=1}^{k}t_{\pi_j}(c_{j-1}),
\label{eq:route}
\end{equation}
其中服务时间 $t_{\pi_j}$ 依赖进入任务时的频道，清除不改变该频道。
从最近邻初序开始，默认最多进行 $4$ 轮开放路径 2-opt 改进；
每次只执行当前序列的首任务，得到新观测后重新生成和排序。
这样新发现的源、收缩后的清除点和已证无源的频道都能及时改变路线，
避免为一条已经失效的任务继续赶路。

已停靠位置可以顺带补测：要求此前未在该位置测过、距离保证成立、
尚处于定位阶段，且预测半径有足够收缩。追加测量的费用为检测与换频时间，
其收益来自节省额外移动。题设固定同地误差，因此优先选择新的检测位置。

\subsection{算法三与完成条件}
将上述模块串成闭环，即得问题三的求解算法。

\begin{algorithm}[htbp]
\caption{网格幸存集滤波、信息增益选点与滚动调度}
\label{alg:q3}
\begin{algorithmic}[1]
\Require 题设参数、七站计划与合法观测接口
\Ensure 逐频道处理状态与会话统计
\State 检验七点覆盖条件，初始化频道状态、凸候选集、网格幸存集和检测状态矩阵
\State 调用 $/enter$，记录位置、频道和剩余现实预算
\While{存在未处理频道且预算充足}
  \State 构建覆盖、定位和清除三类任务
  \State 用网格幸存集跳过必为无信号的检测
  \State 按最近邻与开放路径 2-opt 排序任务表
  \State 执行首任务，根据真实响应更新凸候选集与网格幸存集
  \If{满足清除判据}
    \State 执行清除；成功则更新状态，失败则追加观测
  \EndIf
  \If{已清除 $16$ 个源或所有频道均被清除或证明无源}
    \State \Return 报告完成状态
  \EndIf
\EndWhile
\State 预算不足或异常时退出并报告未解决频道
\end{algorithmic}
\end{algorithm}

"清除数达到 $16$"利用题设数量上界。
对任意已存在的 $16$ 个不同频道，也可提前排除其余未知频道，
但已发现而未清除的源仍必须继续处理。

覆盖条件用于判定搜索范围，清除充分条件用于确定操作位置。
当前每轮追加有效定位测量上限为 $8$；
停滞、协议异常或预算耗尽时，记录各频道状态并终止。
程序以接口返回的现实预算为准，并预留退出时间，
实际计时在整数微秒状态上累计，避免用实机运行秒数代替虚拟动作耗时。

综上，问题三得到三点结论：1. 七点计划在环半径 $1159.7$ m 时给出 $984.539$ m 的覆盖上界，
使"全站无信号"成为该频道缺席的严格证据；2. 网格幸存集把非凸的负观测纳入集合估计，
并使大量必然无信号的检测被跳过；3. 把覆盖、定位、清除统一为一条开放路径并滚动重排，
是压缩总虚拟时间的主要手段。