# 几何计算示意图册

> 本册逐图给出坐标口径、关键量与图中各元素的含义。插图位于 [`figures/`](figures/)，复现命令：
>
> ```bash
> uv run python scripts/build_figure_data.py --only geo-q1-convex-intersection-zoom,\
>   geo-q1-diameter-circle-counterexample,geo-q2-guaranteed-reception-disk,\
>   geo-q3-seven-point-coverage,geo-q4-minimum-cover-31-points
> ```
>
> 图中的数字由脚本现算：问题一调用生产求解器，问题三、四直接读覆盖计划与证书；
> 来源与 sha256 记在 [`figures/manifest.json`](figures/manifest.json)。

统一的坐标与符号约定：

- 世界坐标以 Ω 圆心为原点，$x$ 轴向右、$y$ 轴向上，单位**米**；
- Ω 是半径 $R=1800$ m 的圆盘；源的有效接收半径 $r_{\rm eff}\in[1000,1500]$ m；
- 示向度 $\theta$ 以 $+x$ 轴为 $0°$ 逆时针为正，误差半角 $\delta=1°$；
- 清除半径 $r_{\rm clear}=20$ m；
- "可保证清除" ⟺ 存在一点使整个候选区域落在该点 20 m 内 ⟺ $\rho\le 20$ m（充分）。

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## 图 1　问题一：角域交会与定位区域

![问题一角域交会](figures/geo-q1-convex-intersection-zoom.png)

**左（总览）**：三个检测点（官方演练案例 `U5ZW-P9KN-TCAG-R7ST`，频道 9）
各自的**前向角域** $W_i=\{p:\angle(p-s_i)-\theta_i\in[-1°,+1°]\}$ 画成窄扇形
（2° 宽，图中放大成可见宽度）；三者交集就是定位区域 $P$。检测点相距 600~900 m，
而 $P$ 的直径只有 24 m，所以左图里 $P$ 缩成一个点——这是**必须做局部放大**的原因。

**右（放大，视野 ±20.6 m）**：以定位区域为中心：

- 浅蓝扇形 = 三个角域在放大框内的可见部分；**橙色多边形** = 三者交集，即定位区域 $P$；
- 左图里 $P$ 的直径只有 24 m，缩成一个红色方块，放大后才看得到形状；
- 蓝色虚线圆 = **直径圆**，半径 $D/2=11.9984$ m，圆心是中点 $(-450.634,\ 508.944)$；
- 绿色实线圆 = **最小包围圆（MEC）**，$\rho=12.0686$ m，圆心 $(-449.977,\ 507.953)$。

**关键量**

| 量 | 值 | 判定 |
| --- | ---: | --- |
| 直径 $D(P)$ | 23.9967 m | 顶点对枚举（凸集上最远点必为顶点） |
| MEC 半径 $\rho$ | 12.0686 m | Welzl 算法 + 支撑点枚举对照 |
| 直径圆最大超出 $E$ | +0.6040 m | $E>0$ ⇒ **直径圆不覆盖** $P$ |
| $\rho\le20$ m | 成立 | ⇒ **存在可保证清除的点**（取 MEC 圆心） |

> 这两个结论不矛盾：题目问"直径圆能否覆盖"（答案：不能，$E>0$）
> 与"能否保证清除"（答案：能，$\rho\le20$ m）是**两个不同的问题**。
> $E$ 的定义：$E=\max_i\lVert v_i-o\rVert-D/2$，$o$ 为直径中点；
> 精确算术下最远顶点对就在圆周上，故 $E\ge0$，$E>0$ 即覆盖失败，
> 达到最大值的顶点就是可独立复核的失败证据。

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## 图 2　问题一：直径圆不覆盖的反例

![直径圆反例](figures/geo-q1-diameter-circle-counterexample.png)

等边三角形布站（$S_1(-1000,0)$、$S_2(540,-866)$、$S_3(520,901)$，示向度
$1°,121°,241°$，误差半角 $1°$）。三条 2° 宽的角域交出一个**等边三角形**
$P$：顶点 $(0,0)$、$(40,0)$、$(20,34.641)$。

- 直径 $D=40.0000$ m，最远点对是底边两端 ⇒ 直径圆圆心 $(20,0)$、半径 20 m；
- 到第三个顶点 $(20,34.641)$ 的距离是 $20\sqrt3\approx34.6410$ m > 20 m，
  故**直径圆不覆盖**：$E=+14.6410$ m；
- 该反例的最小包围圆半径 $\rho=40/\sqrt3\approx23.0940$ m **> 20 m**，
  属于"覆盖失败且无法保证清除"的更坏情形。

> 反例是**符合题设测向条件**的：把真实源放在三角形中心 $(20,20\sqrt3/3)$，
> 三个检测点的真实方位与读数偏差均小于 $1°$，且三个检测距离都小于 1500 m，
> 所以它不是"脱离测向模型的任意图形"。构造与证明见
> [`问题一解答.md`](问题一解答.md) 第六节。

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## 图 3　问题二：保证接收的候选盘与安全盘

![问题二保证接收盘](figures/geo-q2-guaranteed-reception-disk.png)

**候选集**（首次观测之后可能的位置集合）：

$$
K_1=\Omega\ \cap\ W(s_1,\theta_1\pm\delta)\ \cap\ B(s_1,\ 1500),
$$

即"Omega 内、首次角域内、且距离不超过最大接收半径"的三者之交。

**解析安全盘**：截断角域（扇形，半径 $R_{\max}=1500$ m、半角 $\delta=1°$）
的最小包围圆恰为 $B(c,a)$，其中 $c=s_1+a\boldsymbol u$（$\boldsymbol u$ 为示向度单位向量），

$$
a=\frac{R_{\max}}{2\cos\delta}=\frac{1500}{2\cos1°}=750.1142\ \text{m}.
$$

于是对安全盘内任一点 $q$、扇形内任一点 $p$：

$$
\lVert q-p\rVert\le a+(1000-a)=1000\ \text{m}
\ \Longrightarrow\ q\ \text{必然收到源的信号},
$$

$$
\boxed{\ \text{安全盘半径}=1000-a=249.8858\ \text{m}\ }
$$

（严格非空；图中绿色实心圆，圆心 $c=(649.62,\ 375.06)$）。
第二检测点就在该盘内选，目标是**最小化最坏保守后验包围半径**，
移动与检测成本作次目标；交会角只用于同分筛选与可解释性说明。

> 图中 $a$ 与 1000 m 两个圆几乎重合是可预期的：$\delta$ 只有 $1°$，
> $a=R_{\max}/(2\cos\delta)$ 与 $R_{\max}/2$ 相差 0.0114%，
> 因此**安全盘的"安全"主要来自角域约束，而不是圆心位置**。

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## 图 4　问题三：七点解析覆盖

![问题三七点覆盖](figures/geo-q3-seven-point-coverage.png)

**站点集**：原点 + 半径 $a$ 的六等分环，
$S(a)=\{(0,0)\}\cup\{a(\cos k\pi/3,\ \sin k\pi/3):k=0,\dots,5\}$。

**定理（`algo-3.md` §4.2）** 当 $0<a/\sqrt3\le R$ 时

$$
\max_{g\in\Omega}\min_{s\in S(a)}\lVert g-s\rVert
\le D(a):=\max\Bigl\{\frac{a}{\sqrt3},\ \sqrt{R^2+a^2-\sqrt3Ra}\Bigr\}.
$$

代入默认 $a=1159.7$ m、$R=1800$ m：

$$
D(a)=984.5391\ \text{m}<1000\ \text{m}
\quad(\text{几何余量 }15.46\ \text{m}).
$$

**图上看到的就是这个证明**：7 个半径 1000 m 的接收盘（浅绿）的
并集**完全覆盖** Ω，最坏点出现在 $(0,-1800)$（Ω 正下方边界，图中圈出），
到最近站点 $1159.7$ m（正下方环站）的距离恰为 984.54 m。

数值复核（脚本内 20 m 网格）：Ω 内 25445 个采样点全部被覆盖，**缺口 0**——
解析上界与数值结果一致到小数点后 3 位。

**代价对比**：七点每轮 7 次检测即可证明"无源"，49 点网格要 49 次；
巡回长度 $6a\approx6.96$ km（对照 49 点的 NN 巡回约 36.4 km）。
$a$ 的可行下界 $a_{\min}\approx1122.9558$ m（零余量），默认配置留 15 m 以上余量。

**为什么能"发现即证明"**：某频道若在**全部**站点都测得 `no_signal`，
由覆盖定理知该频道必无源（负观测只能排除该站点 1000 m 圆盘，而 $r_{\rm eff}\ge1000$ m），
于是可以安全销账；所有频道销账 ⇒ 完成证明成立 ⇒ 立即 `/exit`。

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## 图 5　问题四：定向源的 31 点最小命中集与联合信念

![问题四最小命中集](figures/geo-q4-minimum-cover-31-points.png)

**覆盖语义变了**：定向源只向**朝向 $\pm90°$ 的前向半球**辐射，
所以"某站点附近一定收到"这件事必须同时考虑**源的位置与朝向**：

$$
\text{站点 }s\text{ 能发现源}\iff
\lVert s-\text{pos}\rVert\le r_{\rm eff}\ \wedge\
\angle\bigl(\text{heading},\ s-\text{pos}\bigr)\le90°.
$$

这个语义记作 `forward_half_disk`（图中右侧示意）。

**31 点最小命中集**（`q4_mincover_v2`，图中红点）：

| 项 | 值 |
| --- | --- |
| 点数 | 31（离线贪心最小命中集，取代 49 点网格） |
| 设计参数 | $r_{\rm design}=965$ m + 前向角裕量 $5°$ |
| 运行期证书 | 15 m / 72 朝向档，325.62 万个 (位置, 朝向) 采样格，**缺口 0** |
| 最坏命中距离 | 990.051 m |
| 最近邻巡回 | 23.9 km ≈ 4776.8 s 虚拟时间 |
| 旧计划对照 | `q4_mincover_v1` 在 15 m/72 档下有 **566** 个缺口（粗采样过拟合） |

**位置 × 朝向联合信念**：负观测（`no_signal`）在问题四里**只约束朝向**——
它只能排除"朝向正对本站点"的那些朝向档，位置信息几乎不更新。
因此证据层维护网格 × 朝向档的联合分布，可见性判据必须与引擎一致
（距离 $\le r_{\rm eff}$ 且夹角 $\le90°$），并按格内角裕量保守裁剪。
当信念坍缩到有限格时启用**后备盲清**：就近到可疑格 `/clear`，
把盲清次数从 125.7 次/局压到 **4.3 次/局**。

> **本轮修复的正确性缺陷**：旧版 `no_signal` 的朝向裁剪规则反向、且漏计格内角裕量，
> 会删掉真源所在的朝向档。已修复，并由
> `tests/test_joint_belief.py` 的随机观测序列保留性测试固化。

---

## 附：把图接进论文

`docs/paper/main.tex` 目前用表格承载结论，插图按下例插入即可：

```latex
\begin{figure}[htbp]
  \centering
  \includegraphics[width=0.95\textwidth]{figures/geo-q1-convex-intersection-zoom.png}
  \caption{问题一：角域交会得到的定位区域，以及直径圆与最小包围圆的关系。}
  \label{fig:geo-q1}
\end{figure}
```

图片按 160 mm 宽排版。图内不含标题与图注，说明写在 `\caption` 与正文。