\section{问题四：混合源的定向覆盖与后备清除}
\subsection{定向观测模型与无信号歧义}
设定向源位于 $g$，朝向为 $\psi$。在检测点 $q$ 可见的充要条件为
\begin{equation}
\norm{q-g}\le r_{\mathrm{eff}},\qquad
(q-g)\cdot u(\psi)\ge0.
\label{eq:visibility}
\end{equation}
边界属于可见半平面。可见且距离不超过 $5$ m 时返回 $\near$，
否则返回 $\direction$；任何一个条件失败均为 $\sgnless$。
因此在问题二安全盘内，也只能保证距离足够近，不能保证定向源可见。
若已知该频道存在源且测点位于严格距离安全盘内，此时的无信号可以判定朝向遮挡。
离开安全盘后则必须同时保留距离不足的解释。

问题三七站全部位于源圆域内部，对于位于边界且向外发射的源，
所有站点可能处于其背向半平面。即使七点圆盘覆盖了位置，
也不满足定向发现要求。适用于混合源的站点集合 $S$ 必须满足
\begin{equation}
\forall g\in\Omega,\ \forall\psi\in[0,2\pi),\
\exists s\in S:\quad
\norm{s-g}\le1000,\quad (s-g)\cdot u(\psi)\ge0.
\label{eq:halfcover}
\end{equation}
这是一项针对“位置、朝向”二元状态的全覆盖要求。

\subsection{严格连续备选：四角凸组合证明}
取 $S_{49}=\{(700i,700j):i,j=-3,\ldots,3\}$。
其网格方域包含 $\Omega$，每个源落在某个边长为 $700$ m 的闭方格内。
\begin{proposition}[方格四角的定向覆盖]
$S_{49}$ 满足式~\eqref{eq:halfcover}，对全向与任意朝向的定向源均保证发现。
\end{proposition}
\begin{proof}
设包含 $g$ 的方格四角为 $v_1,\ldots,v_4$。
四角距 $g$ 均不超过对角线长 $700\sqrt2<1000$。
由于 $g$ 是四角的凸组合，存在 $\lambda_i\ge0$、
$\sum_i\lambda_i=1$ 使 $\sum_i\lambda_i(v_i-g)=0$。
对任意朝向 $u$ 取内积，得
$\sum_i\lambda_i(v_i-g)\cdot u=0$，
故不可能四个角均满足 $(v_i-g)\cdot u<0$；
至少一角处于前向闭半平面，且同时满足距离条件。
\end{proof}
证明必须同时使用四角的距离界与凸组合性质，
仅说明“最近网格点足够近”不能推出定向覆盖。
这一方案给出连续空间的严格发现保证，代价是站点较多。

\subsection{31点离散集合覆盖计划及其适用范围}
当前 \texttt{directional} 实现采用 \texttt{q4\_mincover\_v2} 计划。
在离线候选站点 $s_j$ 和离散目标状态 $(g_i,\psi_i)$ 上定义命中矩阵
\begin{equation}
A_{ij}=\mathbf1\{
\norm{s_j-g_i}\le r_{\mathrm{design}},
\ (s_j-g_i)\cdot u(\psi_i)\ge
\norm{s_j-g_i}\sin\gamma_{\mathrm{design}}\}.
\end{equation}
站点筛选可写为集合覆盖模型
\begin{equation}
\min\sum_j z_j,\qquad
\sum_jA_{ij}z_j\ge1\ \ (\forall i),\qquad z_j\in\{0,1\}.
\label{eq:setcover}
\end{equation}
当前生成器用贪心覆盖及逐点删除求近似解，采用集合覆盖的经典思想\cite{chvatal}，
并没有给出 $31$ 点是全局最少点数的证明。
设计阶段使用 $965$ m 距离与 $5^\circ$ 前向角余量，
最终按 $15$ m 位置间距、$72$ 个朝向采样复核。
计划文件记录 $3\,256\,200$ 个离散目标、零未覆盖目标，
最坏命中距离约 $990.051$ m。上述量描述\textbf{离线覆盖校验}，
不属于模拟器实测成绩。

\input{figures/q4-plan}

离散零缺口不能直接提升为式~\eqref{eq:halfcover} 的连续定理。
例如设任意实际位置距某验证位置不超过 $\varepsilon$，
实际朝向距其采样朝向不超过 $\alpha$，某验证见证站距采样位置为 $d$。
由三角不等式及单位向量差的界，一组充分条件为
\begin{equation}
d+\varepsilon\le1000,\qquad
(s-g_i)\cdot u(\psi_i)\ge
\varepsilon+2d\sin(\alpha/2).
\label{eq:continuous}
\end{equation}
还需先保证验证位置网覆盖全部 $\Omega$，包括边界。
对于 $15$ m 方格的通常位置裕量 $15/\sqrt2$，
$990.051+15/\sqrt2\approx1000.658$ m，已超过距离界；
最终证书的前向角余量又为 $0^\circ$，也未满足统一朝向扰动条件。
因此本文将 $31$ 点方案表述为经过细网格验证的工程方案，
不赋予无条件连续覆盖保证。需要严格发现保证时可选已实现的 $49$ 点方案；
切换后的时间表现需要独立测试，不能沿用既有正式统计。

\subsection{位置与朝向联合候选的保守更新}
对定向假设，在位置网格的每个幸存格中心 $z$ 附加 $H=24$ 个朝向档，
档宽为 $15^\circ$。令 $M_z$ 为仍可能的朝向掩码。
方向与近距离观测先更新位置约束，再保留可能覆盖检测点的朝向；
无信号时只有在整格处于 $1000$ m 保证接收盘内，才可删除必然可见的朝向。

记 $\beta=\operatorname{bearing}(z\to s)$、
$\Delta_\psi=7.5^\circ$，格内方位余量为 $\alpha_z$，
查表舍入余量为 $\eta_\psi=1.5^\circ$。
以 $d_\circ$ 表示圆周最小角差，保守保留条件为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\text{正观测：}\quad&
d_\circ(\psi_k,\beta)\le90^\circ+\Delta_\psi+\eta_\psi+\alpha_z,\\
\text{盘内负观测：}\quad&
d_\circ(\psi_k,\beta)>90^\circ-\Delta_\psi-\eta_\psi-\alpha_z.
\end{aligned}
\label{eq:heading}
\end{equation}
第二行的含义是保留\textbf{可能不可见}的档，排除整档必然可见者，
并不要求保留档内所有方向都不可见。
若格心距测点过近、格内方位可能任意变化，则不进行此类方向裁剪。
在定向模型与有效裕量条件下，这一保守更新不删除真源的位置与朝向格。

\textbf{混合源的类型边界。}
类型未知时，严格可行集应是
\begin{equation}
\mathcal H_c=\mathcal H_c^{\mathrm{omni}}
\ \cup\ \mathcal H_c^{\mathrm{dir}},
\label{eq:typeunion}
\end{equation}
分别表示全向与定向解释。
全向源可能从其周围多个方向均被接收，而不存在一个固定发射半平面包含全部测点；
定向假设为空不意味着全向假设为空。
当前代码在首次正观测后即建立定向联合集，并包含以
\texttt{joint\_empty} 标记无源的分支，没有单独维护式~\eqref{eq:typeunion} 的全向分支。
因此，类型未知时不能把该分支当作严格缺席证明。
已获正观测的静止源若尚无清除成功响应，候选矛盾应进入异常处理。
这一点是实现的待完善边界，不由已有四次正式统计消除。

\subsection{可见性筛选与探点选择}
联合候选的用途首先是排序探点。对候选 $q$，
以均匀接收半径假设给出距离权重
\begin{equation}
w_r(d)=
\begin{cases}
1,&d\le1000,\\
(1500-d)/500,&1000<d<1500,\\
0,&d\ge1500.
\end{cases}
\end{equation}
当前 \texttt{prob\_detect} 将可见朝向掩码的位数除以初始档数 $24$，
乘 $w_r$ 后对位置样本取均值。由于分母并非每格剩余档数，
且可见性查表带保守扩张，它是未归一化的\textbf{可见性评分}，
不应解释为校准过的真实后验检测概率。

候选族包括算法2给出的基础点、关于候选圆心的对跖点，以及
$0.5\rho,\rho,1.5\rho$ 半径上的八方向环点。
排除已被遮挡的重复点后，保留评分达到当前最大值 $70\%$ 的点，
并从中选择
\begin{equation}
\frac{\norm{p-q}}5+\frac{\norm{q-m}}5+6
\label{eq:q4score}
\end{equation}
最小者。常数 $6$ 是检测加换频的选点评分费用，
真实结算仍按当时频道计算。该规则优先避免完全遮挡的点，
再减少移动及后续接近距离。
联合集不可用时，返回算法2、对跖探点和环探的确定性顺序。
有限角度环探本身没有接收完备性：候选源可位于环上且朝向环的外侧，
可见弧甚至只剩切点，因此需要后备清除。

\subsection{有限格后备清除及预算}
当一轮有效定位测量达到 $8$ 次，或连续遮挡探点达到 $4$ 次仍未取得清除证书，
对保守凸候选多边形建立边长 $20$ m 的方格覆盖。
保留所有与多边形相交的格子，并以格心作为后备清除点。
格内任一点到格心距离满足
\begin{equation}
\norm{g-z}\le10\sqrt2<20.
\label{eq:fallback}
\end{equation}
因清除与源朝向无关，只要真源保留在多边形中，
逐格清除必有一次到达其 $20$ m 内。
按最近邻顺序访问，首次成功即停止该频道的后备流程。

若外包框宽、高为 $w,h$，保守格数上界为
\begin{equation}
B_{\mathrm{cell}}=
\left(\left\lceil\frac w{20}\right\rceil+2\right)
\left(\left\lceil\frac h{20}\right\rceil+2\right).
\end{equation}
当前格数硬上限为 $400$，现实预算需覆盖
$N_{\mathrm{cell}}\,t_{\mathrm{RTT},95}+t_{\mathrm{reserve}}$。
超过格数或预算上限即跳过并报告未解决；
全部清除点失败则保留候选集并记录异常。
故后备完备性是\textbf{候选包含真源、格数允许且预算足够}下的条件性结论，
不能写成所有合法场景必能在有限时间内完成。

\subsection{算法四与完成声明}
\begin{algorithmblock}{算法4：定向覆盖、可见性探点与有限格后备（对应 algo-4）}
\textbf{输入：}混合源接口，定向覆盖计划与预算。\quad
\textbf{输出：}已清除频道、未解决频道、停止依据。
\begin{enumerate}[leftmargin=2em,itemsep=1pt,topsep=4pt]
 \item 加载覆盖计划；默认 $31$ 点按声明分辨率验证，$49$ 点备选有连续证明。
 \item 选择最近的待测站，当前频道优先，批量检测仍未知的频道。
 \item 更新凸位置候选；首次正观测后建立朝向候选，用于探点可见性筛选。
 \item 按候选圆心的接近成本服务已发现频道；证书成立则清除，否则继续探点。
 \item 遮挡或定位停滞时检查格数与预算，允许则执行 $20$ m 方格后备清除。
 \item 覆盖任务结束后处理未解决频道；主动退出时报告清除数及停止依据。
       默认离散覆盖结束及混合类型下的联合集排空不表述为无条件全清证明。
\end{enumerate}
\end{algorithmblock}
问题四使用“本站批量扫频、最近候选圆心服务”的调度骨架，
并未直接复用问题三的统一信息增益任务表。
若要求严格的混合源全清证据，除采用连续覆盖计划外，
还须补全类型联合表示或限制联合集排空的适用范围，并确保全部定位清除任务完成。
本文区分当前实现、可证明条件与尚需完善之处，不把后者追溯为正式测试时已执行的功能。