\section{问题一：有界误差交会定位与覆盖圆}
\subsection{前向角域的半平面模型}
给定检测点 $s_i=(s_{ix},s_{iy})$ 与读数 $\theta_i$，
误差约束意味着真实方位位于
$[\theta_i-\delta,\theta_i+\delta]$ 内。因此可行位置属于前向角域
\begin{equation}
W_i=\left\{g:
\begin{aligned}\relax
[u(\theta_i-\delta),g-s_i]&\ge0,\\
[u(\theta_i+\delta),g-s_i]&\le0,\\
u(\theta_i)\cdot(g-s_i)&\ge0
\end{aligned}\right\}.
\label{eq:wedge}
\end{equation}
三条不等式均可写为 $a x+b y\le c$，其法向依次为
\begin{equation}
\begin{aligned}
&(\sin(\theta_i-\delta),-\cos(\theta_i-\delta)),\\
&(-\sin(\theta_i+\delta),\cos(\theta_i+\delta)),\\
&(-\cos\theta_i,-\sin\theta_i),
\end{aligned}
\end{equation}
右端为相应法向与 $s_i$ 的内积。在 $0<\delta<90^\circ$ 时，
前两条已限定前向窄角域；第三条显式保留方向性，
并使零误差退化情形对应射线而非整条直线。
采用正弦、余弦表示可自动处理 $0^\circ/360^\circ$ 跨界。

问题一的多边形定位区域定义为
\begin{equation}
P=\bigcap_{i=1}^{n}W_i=\{g:Ag\le b\}.
\label{eq:q1set}
\end{equation}
式~\eqref{eq:q1set} 根据各次测向角域确定问题一的定位区域。
后续问题将在此基础上加入 $\Omega$ 与接收距离约束。
半平面交是闭凸集，可能为空、单点、线段、有界多边形或无界集。

\subsection{区域构造、空集及无界情形}
令约束数 $k=3n$。对任意两条不平行边界
$a x+b y=c$、$d x+e y=f$，候选交点为
\begin{equation}
x=\frac{ce-bf}{ae-bd},\qquad y=\frac{af-cd}{ae-bd}.
\end{equation}
仅保留满足全部不等式的交点，再经去重和单调链凸包构造得到顶点集合。
实现先平移与缩放坐标，以降低千米尺度坐标造成的数值误差；
近平行边界仍参与求交，因为其远端交点可能决定细长区域的直径。

对非空集合定义衰退锥
\begin{equation}
\mathcal R=\{d:Ad\le0\}.
\end{equation}
若 $\mathcal R$ 含非零向量，则 $g+td\in P$ 对所有 $t\ge0$ 成立，
区域无界，直径为 $+\infty$。二维多面锥只需检查约束边界的两个切向
$(b,-a)$ 与 $(-b,a)$ 是否满足全部齐次不等式。
本题至少一个前向窄角域会排除直线性，故非空交集存在极点；
在此特定输入族中，没有可行边界交点可以判为空集。
无观测输入单独返回整个平面，不按空集处理。

有界非空区域中，一个顶点对应单点，两个顶点对应线段，其余为凸多边形。
空集没有本文定义的有效直径与覆盖圆，程序以显式状态报告观测不相容，
便于检查频道、误差界或输入数据。

\subsection{直径与直径圆的判定}
\begin{proposition}[顶点直径]
设 $P=\operatorname{conv}\{v_1,\ldots,v_m\}$ 非空有界，则
\begin{equation}
D(P)=\max_{i,j}\norm{v_i-v_j}.
\label{eq:diameter}
\end{equation}
\end{proposition}
\begin{proof}
任意 $x,y\in P$ 可表示为凸组合
$x=\sum_i\lambda_i v_i$、$y=\sum_j\mu_jv_j$。
由于系数非负且各自和为 $1$，
\[
\norm{x-y}
=\left\|\sum_{i,j}\lambda_i\mu_j(v_i-v_j)\right\|
\le\sum_{i,j}\lambda_i\mu_j\norm{v_i-v_j}
\le\max_{i,j}\norm{v_i-v_j}.
\]
最远顶点对本身属于 $P$，故上界可达。
\end{proof}
因此无需在整个区域内部搜索，只需枚举顶点对，计算量为 $O(m^2)$。

\begin{proposition}[直径圆覆盖的充要条件]
取最远顶点对 $a,b$，令 $D=\norm{a-b}$、$o=(a+b)/2$。
存在直径等于 $D$ 的圆盘覆盖 $P$，当且仅当
\begin{equation}
\max_{v\in V(P)}\norm{v-o}\le D/2.
\label{eq:diametercircle}
\end{equation}
\end{proposition}
\begin{proof}
若半径 $D/2$ 的圆盘中心为 $z$ 且包含 $a,b$，则
$D\le\norm{a-z}+\norm{z-b}\le D$。
等号迫使 $z=o$。反之，圆盘为凸集，包含全部顶点即包含它们的凸包。
\end{proof}
若条件不成立，输出圆外顶点及超出量
$e=\max_v\norm{v-o}-D/2$，用于量化该圆盘的覆盖误差。

\subsection{反例与可清除半径}
构造等边三角形
\begin{equation}
A=(0,0),\qquad B=(40,0),\qquad C=(20,20\sqrt3).
\end{equation}
其直径为 $40$ m。以 $AB$ 为直径的圆心为 $(20,0)$，半径为 $20$ m，
但 $C$ 到圆心的距离为 $20\sqrt3$ m，位于圆外。
其最小包围圆圆心为 $(20,20/\sqrt3)$，半径
$40/\sqrt3\approx23.094$ m，同样大于清除半径。
图~\ref{fig:triangle} 展示两类圆的差别。

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[x=0.095cm,y=0.095cm,font=\small]
 \fill[inkblue!10] (0,0)--(40,0)--(20,34.641)--cycle;
 \draw[thick] (0,0)--(40,0)--(20,34.641)--cycle;
 \draw[warmgray,dashed,thick] (20,0) circle (20);
 \draw[inkblue,thick] (20,11.547) circle (23.094);
 \fill (0,0) circle (0.6) node[below left] {$A$};
 \fill (40,0) circle (0.6) node[below right] {$B$};
 \fill (20,34.641) circle (0.6) node[above] {$C$};
 \fill[warmgray] (20,0) circle (0.6) node[below] {$o$};
 \fill[inkblue] (20,11.547) circle (0.6) node[right] {$m$};
 \draw[->,warmgray] (49,-14)--(35,-13);
 \node[anchor=west,warmgray] at (49,-14) {直径圆：$r=20$};
 \draw[->,inkblue] (49,24)--(41,22);
 \node[anchor=west,inkblue] at (49,24) {最小包围圆：$\rho=40/\sqrt3$};
 \node at (20,-26) {$AB=BC=CA=40$ m};
\end{tikzpicture}
\caption{等边三角形的直径圆与最小包围圆。}
\label{fig:triangle}
\end{figure}

该形状可由题设的 $\pm1^\circ$ 角域构造出来。例如检测点
$(-1000,0)$、$(540,-500\sqrt3)$、$(520,520\sqrt3)$，
对应示向度为 $1^\circ$、$121^\circ$、$241^\circ$。
各角域的一侧边界给出三角形的三条支撑线，另一侧边界包含整个三角形，
故交集恰为上述三角形。

对一般候选区域，定义最小包围圆
\begin{equation}
\rho(P)=\min_{z\in\mathbb R^2}\max_{g\in P}\norm{g-z},\qquad
m\in\arg\min_z\max_{g\in P}\norm{g-z}.
\label{eq:mec}
\end{equation}
其边界由至多三个支撑点确定，可用 Welzl 随机增量算法计算\cite{welzl}。
实现采用固定随机种子及显式栈，并在输出前检查全部顶点的包含关系。
在精确模型中，若 $\rho(P)\le20$，于 $m$ 清除即可覆盖所有可能真源；
考虑浮点计算后采用 $\rho(P)+\eta_{\mathrm{num}}\le20$ 的充分判据。
$D(P)\le40$ 是必要条件，但并非充分条件。

\subsection{算法一及复杂度}
\begin{algorithmblock}{算法1：有界测向角域交会与覆盖圆判定（对应 algo-1）}
\textbf{输入：}同一频道的检测点、示向度和误差半角。\\
\textbf{输出：}区域状态、顶点、直径、直径圆判定与最小包围圆。
\begin{enumerate}[leftmargin=2em,itemsep=1pt,topsep=4pt]
 \item 若观测为空，返回无界；否则归一化坐标，生成 $3n$ 条半平面。
 \item 枚举非平行边界交点，仅保留满足全部约束的点。
 \item 无可行点时返回空集；存在非零衰退切向时返回无界及无穷直径。
 \item 对可行交点去重、求凸包，并区分单点、线段和二维多边形。
 \item 枚举最远顶点对，计算 $D$、中点 $o$，检查全部顶点距 $o$ 是否不超过 $D/2$。
 \item 求最小包围圆，复核包含关系与数值余量，判断是否满足清除条件。
\end{enumerate}
\end{algorithmblock}
边界交点枚举需 $O(k^2)$ 次，每点校验 $k$ 条约束，主计算量为 $O(k^3)$；
凸包最坏需 $O(k^2\log k)$，直径枚举需 $O(m^2)$。
Welzl 算法在随机排列下具有期望线性时间。该求解流程适合少量观测，
当前入口限制最多 $100$ 个检测点；更大规模可替换半平面交算法。