% 2026 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛论文（B 题） % 编译：在 VS Code 中默认使用 xelatex；命令行可运行： % latexmk -xelatex main.tex % % 版式、宏包、字体和通用命令统一放在 mcm26b-paper.cls 中。 % 电子版默认从摘要页开始；打印纸质版时将 documentclass 的选项 % 改为 [zihao=-4,a4paper,paper]，即可加入承诺书与编号专用页。 \documentclass[zihao=-4,a4paper]{mcm26b-paper} \begin{document} % ============================================================ % 纸质版专用页（电子版不编译） % 注意：承诺书与编号专用页的正式文字以组委会当年发布的专用页为准， % 此处为占位排版。电子版必须不含本部分。 % ============================================================ \ifpaper \thispagestyle{empty} \begin{center} {\heiti\zihao{2} 承\ 诺\ 书} \end{center} \vspace{1em} \todonote{纸质版承诺书：请将组委会当年发布的专用页原文粘贴于此（含编号、 队员信息表与全体队员签名、日期）。电子版论文不得包含本页。} \vspace{2em} \begin{center} {\heiti\zihao{2} 编号专用页} \end{center} \vspace{2em} \begin{center} {\zihao{4} 报名号：\rule[-2pt]{8cm}{0.4pt}} \end{center} \todonote{纸质版编号专用页：仅填写报名号，不得出现姓名、学校、赛区等信息。} \clearpage \fi % ============================================================ % 摘要专用页（电子版第一页；页码从此页开始编号） % ============================================================ \setcounter{page}{1} \begin{center} {\heiti\zihao{3} 无线电干扰源的\\[0.3em] 快速自动定位与清除} \end{center} \vspace{0.8em} \begin{center} {\heiti\zihao{4} 摘\quad 要} \end{center} 针对无线电干扰源的快速自动定位与清除问题，本文以测向观测的三值反馈 \texttt{no\_signal}、\texttt{near}、\texttt{direction} 为唯一信息来源，建立 \textbf{有界误差交会定位—主动选点—覆盖证明搜索—动作耗时调度}的统一框架：四个问题 复用同一几何内核，以覆盖证明与严格停止条件保证“清除所有干扰源”的硬约束，再优化 时间指标。 \textbf{针对问题~1}，将 $\pm 1^{\circ}$ 有界误差下的测向观测建模为以检测点为顶点的 前向角域 $W_i$，交会定位区域即诸角域的半平面交 $P=\bigcap_i W_i$，给出直径 $D(P)=\max_{i,j}\|v_i-v_j\|$ 的顶点对枚举算法，并处理空集、无界区域等退化情形。 对“直径圆能否覆盖定位区域”，给出只需检查最远顶点对中点的充要判定，并以符合题设 测向条件的等边三角形反例给出否定回答；以最小包围圆半径 $\rho(K)\le 20$ 米为可保证 清除的充分判据，用 Welzl 算法求解并以支撑点枚举对照。官方演练三点观测复算： $\delta=1^{\circ}$ 时 $D=23.9967$ 米、$\rho=12.0686$ 米，直径圆不覆盖定位区域， 但存在一点可保证清除。 \textbf{针对问题~2}，首次测向后取保守候选集合 $K_1=\Omega\cap W(s_1,\theta_1\pm\delta)\cap B(s_1,1500)$，将接收保证写成一族闭 圆盘之交并给出非空判据；进而证明截断角域的最小包围圆恰为 $B(c,a)$ （$a=R/(2\cos\delta)$、$c=s_1+a\bm{u}$），故安全候选圆盘 $B(c,1000-a)\subseteq\mathcal{Q}$ 严格非空（$\delta=1^{\circ}$ 时半径约 $249.89$ 米）。在安全区域内以“最坏保守后验包围半径”为主目标、移动与检测成本为次目标 主动选点，交会角仅作局部解释与同分筛选指标。 \textbf{针对问题~3}，建立以虚拟时间 $T=L/5+N_{\mathrm{switch}}+5N_{\mathrm{measure}}+5N_{\mathrm{clear}}^{\mathrm{s}} +3N_{\mathrm{clear}}^{\mathrm{f}}$ 为目标的全向源搜索清除模型。构造间距 $700$ 米的 $7\times 7=49$ 点覆盖基线，由 $700\sqrt{2}\approx 989.95<1000$ 米证明任何位置的源均能被某格点发现，从而保证 不漏源；维护逐频道覆盖记录与“发现—定位—清除”闭环，给出严格停止条件与请求数 预算控制。\todonote{演练统计值待填入} \textbf{针对问题~4}，将定向源建模为位置—半径—朝向的联合假设：\texttt{no\_signal} 不单独删除空间候选点，避免误删真源；证明 $49$ 点覆盖基线对定向源仍然有效。对再次 失去信号的源，给出候选集合的 $20$ 米网格有限圆盘覆盖后备清除方法及请求次数上界 $N\le(\lceil w/20\rceil+2)(\lceil h/20\rceil+2)$，并纳入现实时间预算约束。 \todonote{演练统计值与正式测试结果（表~1）待填入} 最后对模型的保守性与效率进行评价：几何内核可复用、覆盖保证可验证；局限在于 主动选点为采样启发式、后备清除请求数较大，可通过共享测点与自适应覆盖加速。 \vspace{0.4em} \noindent{\heiti 关键词：}交会定位；半平面交；最小包围圆；覆盖证明；主动选点；动作调度 \clearpage % ============================================================ % 正文（不超过 30 页，不要目录） % ============================================================ \section{问题分析} 四个问题构成一条递进的主线：问题~1 的交会定位几何是全部后续问题的基础；问题~2 在 单次观测下研究“下一步去哪里测”的主动测量设计；问题~3、问题~4 则是在数量未知的 条件下，把定位几何组织成“全域覆盖发现—逐个定位—清除—证明完成”的闭环调度问题。 因此不必为每问单独建模，而是复用同一几何内核与观测更新机制。 \textbf{问题~1 的分析}。题面附录~2 第（1）项把测向误差限定在 $[-1^{\circ},1^{\circ}]$，且同一地点重复检测不改变误差：没有误差分布可利用、 原地重复测量不产生新信息，故采用有界误差的集合相交建模——单次测向只能确定源 位于以示向度方向为轴、半角 $1^{\circ}$ 的前向角域内，多检测点角域的交集即为 定位区域。题目要求“采用交会定位法”计算“多边形定位区域”的直径（附录~2 第（3） 项图~2），角域边界为直线，求交即半平面交这一经典计算几何问题；直径在凸多边形 顶点上取得，可用顶点对枚举精确求得。对“直径圆能否覆盖区域”的追问，需要区分 “直径”与“外接”两个概念：先给出只需检查最远顶点对中点的充要判定，再构造符合 题设测向条件的等边三角形反例说明一般不覆盖。最后，清除以 $20$ 米距离为判据 （附录~2 第（8）项），正确的保证清除工具是最小包围圆。 \textbf{问题~2 的分析}。题目要求同时给出第二检测点的“选择策略”与“候选区域”， 这是在目标位置未知条件下的主动测量设计，方法取舍由两条题设决定。其一，有效接收 半径在 $1000$ 至 $1500$ 米之间且具体值未知（附录~2 第（2）项）：无论真实源位于 当前候选集合何处，新检测点都必须保证落在其接收半径内，否则该次检测退化为无效 动作，故先构造保守候选集合，再解析证明存在“任何情况下都收到信号”的安全区域。 其二，题面只给有界误差而无误差分布与源位置分布（附录~2 第（1）项），概率类方法 没有严格依据，故在安全区域内以最坏情形的后验包围半径为主目标、移动与检测成本 （附录~2 第（5）、（6）项）为次目标选取检测点，交会角仅作局部几何解释与同分筛选。 此外，$1800$ 米圆域限制的是源位置而非机器狗（附录~3），安全选点允许越出圆域； 返回 \texttt{near} 的分支按附录~2 第（9）项就地清除，不视为策略失败。 \textbf{问题~3 的分析}。全清是硬约束：发现 $10$ 个源或连续多次无信号都不构成停止 依据。需要一组对任何源位置都能保证“至少一个检测点落在其有效接收范围内”的覆盖点集， 并对每个频道维护覆盖记录，使“未发现”严格等价于“已证明不存在”。在该保证之上， 用虚拟时间公式统一度量移动、切换、检测与清除成本，安排发现与处理的调度。 \textbf{问题~4 的分析}。定向源的发射半平面使得“无信号”不能单独否定位置假设： 源可能恰在检测点背后发射。把观测视为对“位置—半径—朝向”联合假设的约束即可保持 不漏源的保守性；同时证明覆盖基线对定向源依然成立，失去信号后的已定位源可用有限 圆盘覆盖逐点清除作为后备。 \section{模型假设} \begin{enumerate}[label=\arabic*.,leftmargin=2.5em] \item 示向度误差满足 $|\varepsilon|\le 1^{\circ}$，且同一检测点重复检测误差不变； 仅在不同地点误差才呈现统计规律（题设）。本文取有界误差模型，不假设误差的 分布形式。 \item 每个频道至多存在一个干扰源，源总数为 $10$--$16$，频道编号 $1$--$20$； 不同源信号互不影响（题设）。 \item 各源有效接收半径未知但属于 $[1000,1500]$ 米；信号场强仅随距离衰减， 与角度无关（题设）。 \item 定向源有效覆盖角度为定向方向两侧各 $90^{\circ}$（含边界）；光学精确定位与 清除只依赖距离、不受覆盖角度限制（题设）。 \item 策略仅依赖接口返回的三值观测（\texttt{no\_signal}、\texttt{near}、 \texttt{direction} 及示向度读数），不引入场强、距离等接口未提供的观测量 （工程约定）。 \item 机器狗沿直线匀速行进、停机检测，虚拟时间按题设动作耗时累计；程序运行时间 与虚拟时间相互独立（题设）。 \end{enumerate} \section{符号说明} \begin{table}[htbp] \centering \caption{主要符号说明} \label{tab:symbols} \begin{tabular}{cl} \toprule 符号 & 说明 \\ \midrule $\Omega$ & 目标区域 $\{(x,y):x^2+y^2\le 1800^2\}$（米） \\ $R_c$ & 干扰源 $c$ 的有效接收半径，$R_c\in[1000,1500]$ 米 \\ $\delta$ & 示向度误差界，$\delta=1^{\circ}$ \\ $s_i,\ \theta_i$ & 第 $i$ 个检测点坐标及其测得的示向度读数 \\ $W_i$ & 检测点 $s_i$ 处的前向角域 $[\theta_i-\delta,\theta_i+\delta]$ \\ $P$ & 交会定位区域（诸角域的半平面交） \\ $D(P)$ & 定位区域 $P$ 的直径 \\ $K$ & 某频道源的可能位置候选集合 \\ $\rho(K)$ & $K$ 的最小包围圆半径 \\ $\mathcal{Q}$ & 第二检测点的安全候选区域 \\ $B(c,r)$ & 以 $c$ 为圆心、$r$ 为半径的闭圆盘（米） \\ $R_-,\ R_+$ & 有效接收半径的下、上限，$1000$、$1500$ 米 \\ $J(q)$ & 第二检测点 $q$ 的最坏保守后验包围半径（米） \\ $C(q)$ & 在 $q$ 处完成一次检测的虚拟时间增量（秒） \\ $L$ & 机器狗移动总路程（米） \\ $N_{\mathrm{switch}},N_{\mathrm{measure}},N_{\mathrm{clear}}$ & 频道切换、检测、清除动作次数 \\ $T$ & 完成任务的虚拟总时间（秒） \\ \bottomrule \end{tabular} \end{table} \section{问题~1：有界误差交会定位模型} \subsection{建模思路来源} 本问每种方法的取舍都由题面描述直接确定，对应关系如下。 \textbf{由误差描述确定集合模型。}题面附录~2 第（1）项指出：示向度与真实方位角之间 的误差“在一段时间内，同一地点的电磁环境干扰是固定的，所以重复检测不会改变检测 误差”，且“从目标区域全局来看，所有这些误差在 $[-1^{\circ},1^{\circ}]$ 范围内”。 因此单次观测不能确定一条精确射线，却可以确定一个必含真实方向的角域；题面没有 给出误差的分布形式，原地重复测量又不产生新信息，故采用有界误差下的集合相交， 而非直线最小二乘或多次读数平均——后两者既不能保证真源不被排除，也与“同点误差 不变”的题设相悖。 \textbf{由交会定位的规定确定半平面交。}问题~1 要求“采用交会定位法（见附录~2） 计算多边形定位区域直径”，附录~2 第（3）项的图~2 把定位区域画成两个检测点示向度 实线两侧各 $1^{\circ}$ 虚线所夹的四边形。角域边界是直线，故定位区域是二维线性 不等式组的可行域，可用半平面交显式构造，问题随之成为凸几何问题\cite{boyd}。 \textbf{由直径的定义确定顶点枚举。}题目规定直径是“区域内任意两点之间距离的最大 值”。两点距离关于其变元是凸函数，在紧凸集上的最大值必在极点处取得，故只需在 顶点对上枚举，无需任何近似。 \textbf{由覆盖之问确定“先判定、后反例”。}题目追问“以定位区域直径为直径的圆能否 覆盖此定位区域”。“直径”是最长弦概念，与“外接”并非同一对象，因此先给出存在 覆盖圆的充要判定，再构造符合题设测向条件的反例，据此回答“不一定”。 \textbf{由清除条件确定最小包围圆。}附录~2 第（8）项规定光学精确定位与清除“在距离 干扰源不超过 $20$ 米”时进行，且成功与否仅与清除点到干扰源的距离有关。定位精度的 最终判据因而是“存在一点到所有可能源位置都不超过 $20$ 米”，即最小包围圆半径 $\rho\le 20$，而非直径不超过 $40$ 米。 \subsection{测向观测的前向角域与半平面约束} 设第 $i$ 个检测点 $s_i=(s_{ix},s_{iy})$ 处测得示向度 $\theta_i$（题面附录~2 第（1）项：示向度自 $x$ 轴正向逆时针计量，范围 $[0^{\circ},360^{\circ})$）。 由假设~1，真实方位角位于 $[\theta_i-\delta,\theta_i+\delta]$ 内，故源必然落在 以 $s_i$ 为顶点、以该方向区间为边界的前向角域 \begin{equation} W_i=\bigl\{s_i+t\,u(\varphi):t\ge 0,\ \varphi\in[\theta_i-\delta,\theta_i+\delta]\bigr\}, \qquad u(\varphi)=(\cos\varphi,\sin\varphi) \label{eq:wedge} \end{equation} 内。记二维叉积 $[a,b]=a_xb_y-a_yb_x$ 与 $u_i^{\pm}=u(\theta_i\pm\delta)$。当 $0<\delta<90^{\circ}$ 时，“位于两条边界射线之间”等价于 \begin{equation} [\,u_i^-,\,g-s_i\,]\ge 0,\qquad [\,u_i^+,\,g-s_i\,]\le 0, \label{eq:cross} \end{equation} 即 $g-s_i$ 位于下边界射线的左侧、上边界射线的右侧。展开即标准线性约束 \begin{align} \sin(\theta_i-\delta)\,x-\cos(\theta_i-\delta)\,y &\le \sin(\theta_i-\delta)\,s_{ix}-\cos(\theta_i-\delta)\,s_{iy},\\ -\sin(\theta_i+\delta)\,x+\cos(\theta_i+\delta)\,y &\le -\sin(\theta_i+\delta)\,s_{ix}+\cos(\theta_i+\delta)\,s_{iy}. \end{align} 另保留前向约束 $u(\theta_i)\cdot(g-s_i)\ge0$：它在 $0<\delta<90^{\circ}$ 时冗余， 但 $\delta=0$ 时前两条约束只限定一条直线，加入它才得到正确的射线。角域顶点本身 包含在闭集合内，这是保守处理，并不表示在该点仍能获得示向度。采用向量不等式后， $359^{\circ}$ 与 $0^{\circ}$ 跨界无需分段比较角度。示向度读数保留两位小数时，可 取 $\delta=1.005^{\circ}$ 作显式声明的保守裕量；本节推导对任意 $\delta\in(0,90^{\circ})$ 成立，本题算例始终取 $\delta=1^{\circ}$。 \subsection{定位区域的构造与分类} 交会定位区域为诸角域之交 \begin{equation} P=\bigcap_i W_i=\{g:Ag\le b\}. \label{eq:polygon} \end{equation} 每个 $W_i$ 都是闭凸集，故 $P$ 也是闭凸集；它可能为空、为单点、为线段、为有界凸 多边形，也可能无界，算法必须显式区分这五种情形，不得混同处理。 \textbf{边界交点枚举。}把约束统一写成 $a_jx+b_jy\le c_j$，两条边界的行列式 $\Delta_{jk}=a_jb_k-a_kb_j\ne0$ 时，交点为 $x=(c_jb_k-c_kb_j)/\Delta_{jk}$、 $y=(a_jc_k-a_kc_j)/\Delta_{jk}$。保留满足全部约束的交点，去重后构造凸包即得 $P$ 的顶点集。 \textbf{命题~1}（极点存在保证判空）\quad 至少有一次观测时，非空的角域交集一定存在 极点，因此可通过可行边界交点枚举判空。 \textbf{证明}\quad 取第一个角域的轴向 $u_1$，其中任意 $g$ 满足 $u_1\cdot(g-s_1)\ge\cos\delta_1\,\|g-s_1\|$，且 $\cos\delta_1>0$。在非空 $P$ 上 最小化线性函数 $u_1\cdot(g-s_1)$：由该不等式，以任一可行点的函数值截得的下水平 集有界，从而是非空紧集，最小值可达；最小化点集位于一条支撑直线上且有界，因而是 点或线段，取其点或端点即得 $P$ 的极点。二维线性约束的极点至少有两条法向量线性 无关的有效边界（否则沿所有有效边界的公共切向可作双向小扰动，与极点定义矛盾）， 故必出现在上述交点枚举中。\hfill$\square$ 无观测时 $P=\R^2$，应直接判为无界，不能用“没有交点”判为空集。 \textbf{有界性判定。}对非空 $P$ 定义衰退锥 $\mathcal{R}=\{d:Ad\le0\}$。若存在 $d\ne0$，则任取 $g_0\in P$ 都有 $g_0+td\in P$（$t\ge0$），$P$ 无界；反之若 $P$ 无界，取 $g_k\in P$ 使 $\|g_k-g_0\|\to\infty$，将 $Ag_k\le b$ 减去 $Ag_0\le b$、 除以 $\|g_k-g_0\|$ 并取极限，知单位向量 $(g_k-g_0)/\|g_k-g_0\|$ 的任一聚点 $d$ 满足 $Ad\le0$。故 $P$ 有界当且仅当 $\mathcal{R}=\{0\}$。本模型的衰退锥被一个小于 $180^{\circ}$ 的闭角域约束，若含非零向量必含一条极射线，该射线平行于某条有效 约束边界，故只需检查每个法向量 $(a_j,b_j)$ 的两个切向方向 $(b_j,-a_j)$、 $(-b_j,a_j)$ 是否满足全部齐次不等式。 \textbf{分类约定。}可行交点为空时返回空集；存在非零衰退方向时返回无界；否则对 可行交点去重求凸包，按顶点数与仿射维数区分单点、线段和二维多边形。空集的直径 约定为无定义，无界区域的直径为 $+\infty$。显示窗口只用于绘图裁剪：任何大矩形都 不能取代衰退锥判定，更不能把截断图形的直径称为原无界区域的直径。 \subsection{定位区域直径的顶点定理} \textbf{定理~1}（直径在顶点上取得）\quad 若 $P=\mathrm{conv}\{v_1,\dots,v_m\}$ 非空 且有界，则 \begin{equation} D(P)=\max_{1\le i0$ 即覆盖失败，取达到最大值的顶点即得可独立复核的失败证据。 \textbf{结论：直径圆不一定覆盖定位区域。}反例如表~\ref{tab:counterexample} 所示 （误差半角均取 $1^{\circ}$，符合题设测向条件）。 \begin{table}[htbp] \centering \caption{符合题设测向条件的反例：三点观测} \label{tab:counterexample} \begin{tabular}{ccc} \toprule 检测点 & 坐标（米） & 示向度 \\ \midrule $s_1$ & $(-1000,0)$ & $1^{\circ}$ \\ $s_2$ & $(540,-500\sqrt{3})$ & $121^{\circ}$ \\ $s_3$ & $(520,520\sqrt{3})$ & $241^{\circ}$ \\ \bottomrule \end{tabular} \end{table} 三个角域的下边界方向分别为 $0^{\circ},120^{\circ},240^{\circ}$，对应左半平面 $y\ge0$、$\sqrt{3}\,x+y\le40\sqrt{3}$、$y\le\sqrt{3}\,x$，其交为顶点 $A=(0,0)$、 $B=(40,0)$、$C=(20,20\sqrt{3})$ 的等边三角形。以 $s_1$ 为例，它到三顶点的方向分别 为 $0^{\circ},0^{\circ},\arctan(20\sqrt{3}/1020)\approx1.945^{\circ}$，均在 $[0^{\circ},2^{\circ}]$ 内，故上边界不切去该三角形；其余两站由绕三角形中心旋转 $120^{\circ}$ 的对称性同理成立，三个完整前向角域之交恰为该三角形。取真实源为 三角形中心 $g_*=(20,20\sqrt{3}/3)$：以 $s_1$ 为例，真实方位约 $0.649^{\circ}$，与 读数 $1^{\circ}$ 的偏差不超过 $1^{\circ}$，检测距离约 $1020$ 米，不超过 $1500$ 米， 另两站同理，故该反例符合题设的误差界与有效接收半径范围。此时 $D=40$ 米，以 $AB$ 为直径的圆中心为 $(20,0)$，到 $C$ 的距离为 $20\sqrt{3}>20$ 米，不能覆盖；换任何 最远顶点对亦然。该三角形的最小包围圆即其外接圆，半径 $40/\sqrt{3}\approx23.094011$ 米。这同时说明“直径不超过 $40$ 米”不足以保证一次 清除。 \subsection{最小包围圆与可保证清除} 定位的最终目的是清除（附录~2 第（8）项的 $20$ 米距离判据），故正确工具是最小 包围圆 \begin{equation} \rho(K)=\min_{z}\max_{g\in K}\|g-z\|. \label{eq:mec} \end{equation} 对有限顶点集 $V$，$f(z)=\max_{v\in V}\|v-z\|$ 连续且随 $\|z\|\to\infty$ 趋于无穷， 最小值存在；若两个不同中心 $c_1,c_2$ 都以半径 $r$ 覆盖 $V$，则中点 $c=(c_1+c_2)/2$ 对每个顶点满足 $\|v-c\|^2=(\|v-c_1\|^2+\|v-c_2\|^2)/2-\|c_1-c_2\|^2/40$），但最小 包围圆半径均小于 $20$ 米，即存在一点可保证清除，与可视化结果一致。该演练未公开 源坐标且未执行清除，故仅用于观测交会与计算一致性复核，不能据此声称实测定位误差 或清除成功率。\todonote{此处可补充定位区域图（figures/）} \begin{table}[htbp] \centering \caption{官方演练三点观测的离线复算结果} \label{tab:q1practice} \begin{tabular}{cccc} \toprule 误差半角 & 直径 $D$ / 米 & 最小包围半径 $\rho$ / 米 & 直径圆最大超出 $E$ / 米 \\ \midrule $1^{\circ}$ & 23.996723 & 12.068583 & 0.604002 \\ $1.005^{\circ}$ & 24.119088 & 12.130377 & 0.608486 \\ \bottomrule \end{tabular} \end{table} \section{问题~2：第二检测点的主动选点模型} \subsection{建模思路来源} 问题~2 给定“某全向干扰源在一个检测点处测得的示向度”，要求“给出第二个检测点的 选择策略，以获得关于该干扰源较好的定位效果，并给出第二个检测点的候选区域”。 注意源类型明确为全向，不能混入问题~4 的朝向可见性条件。本问方法的取舍同样由 题面描述逐项确定。 \textbf{先接收、后优化。}附录~2 第（2）项规定各源有效接收半径在 $1000$ 至 $1500$ 米之间且具体值未知。真实源位置未知时，若第二检测点距真源超过其实际接收半径， 第二次检测将返回 \texttt{no\_signal}，任何定位收益都无从谈起。因此把本问拆成 先后两个问题：先构造“无论真源在候选集合内何处都能收到信号”的安全候选区域， 再在其中优化定位效果。若只追求较大交会角而不控制到真实源的距离，预期几何收益 可能根本无法实现。 \textbf{由误差描述确定最坏情形指标。}题面只给出有界误差（附录~2 第（1）项），没有 给出源位置的概率分布，也不存在可独立重抽样的测向噪声模型（同一地点误差固定， 重复检测不产生新信息）。因此不能把卡尔曼滤波、协方差传播或费舍尔信息直接用作 严格保证，本文以最坏情形的后验包围半径作为选点主目标\cite{boyd}；交会角仍有 明确的几何意义，但只作局部解释与候选筛选依据。 \textbf{由区域描述确定活动范围。}题面第~1 页的 $1800$ 米圆域限制的是干扰源位置； 附录~3 说明机器狗位置通常不构成约束（接口坐标分量绝对值上限仅为数值防护）。 故第二检测点允许位于 $\Omega$ 之外，安全候选区域不受源位置圆域限制。 \textbf{由 near 机制确定分支处理。}附录~2 第（9）项规定检测点距源不超过 $5$ 米时 “无法获得示向度信息，此时可直接进行光学精确定位并清除干扰源”。返回 \texttt{near} 不是策略失败，而是定位效果更好的分支（不确定半径不超过 $5$ 米）， 应单独建模并就地清除。 \textbf{由动作耗时确定成本项。}附录~2 第（5）、（6）项规定检测耗时 $5$ 秒、移动 速度 $5$ 米/秒，故第二点的成本取移动与检测耗时之和，作为后验半径择优之后的次 目标，避免任意混合米与秒。 \subsection{首次观测后的候选集合} 设在 $s_1$ 处首次测得 \texttt{direction}，示向度 $\theta_1$，记 $u=u(\theta_1)$。 由角域模型、题面第~1 页的源位置圆域与附录~2 第（2）项的接收半径上界，真实源 $g$ 满足 \begin{equation} g\in K_1=\Omega\cap W(s_1,\theta_1,\delta)\cap B(s_1,R_+), \qquad R_+=1500, \label{eq:k1} \end{equation} 即保守位置候选集合 $K_1$ 为闭凸紧集；观测一致时它必含真源，从而非空。首次返回 \texttt{direction} 还意味着 $\|g-s_1\|>5$（附录~2 第（9）项），但排除这个开圆盘 会破坏凸性，本文暂不使用该信息，保留包含真源的凸外包集合：由此得到的保证可能 更保守，但绝不误删真实位置。若计算得到 $K_1=\varnothing$，说明输入、频道、误差 界或数值处理与题设不一致，应返回不一致状态，不能继续给空集计算圆心。 \subsection{安全候选区域的定义与非空判据} 第二个检测点 $q$ 必须保证：无论真源位于 $K_1$ 内何处，都有 $\|q-g\|\le R_-$ （$R_-=1000$），从而对任何 $R_c\ge R_-$ 都能收到信号。定义 \begin{equation} F_K(q)=\max_{g\in K}\|q-g\|,\qquad \mathcal{Q}(K)=\{q:F_K(q)\le R_-\}=\bigcap_{g\in K}B(g,R_-). \label{eq:Q} \end{equation} 保证接收不等于保证返回示向度：距离不超过 $5$ 米时可能返回 \texttt{near}，该分支 定位效果更好（见 6.6 节），不能视为策略失败。 \textbf{命题~1}（$F_K$ 的凸性与稳定性）\quad 对任意非空紧集 $K$，$F_K$ 为凸函数， 且 $|F_K(q_1)-F_K(q_2)|\le\|q_1-q_2\|$。 \textbf{证明}\quad 对每个固定的 $g$，距离函数关于 $q$ 凸，逐点取最大值保持凸性； 由三角不等式 $\|q_1-g\|\le\|q_2-g\|+\|q_1-q_2\|$，对 $g$ 取最大得到一个方向的 不等式，再交换两点即得 Lipschitz 性。\hfill$\square$ 故 $\mathcal{Q}(K)$ 为闭凸集；非空时它含于任一 $B(g_0,R_-)$ 内，因而有界。 \textbf{定理~1}（非空判据）\quad $\mathcal{Q}(K)\ne\varnothing$ 当且仅当 $\rho(K)\le R_-$。 \textbf{证明}\quad 由定义 $\rho(K)=\min_q F_K(q)$；$F_K$ 连续且随 $\|q\|\to\infty$ 趋于无穷，最小值可达，故“存在 $q$ 使 $F_K(q)\le R_-$”与“该最小值不超过 $R_-$” 完全等价。\hfill$\square$ 当 $\rho(K)=R_-$ 时，安全区域仅含最小包围圆中心这个单点（唯一性见 5.6 节），因此 判据必须使用不严格不等式，不能把等号情形误判为空。 \textbf{外包圆给出的充分区域。}若已知 $K\subseteq B(c,r)$ 且 $r\le R_-$，则对任意 $\|q-c\|\le R_--r$ 的点都有 $\|q-g\|\le\|q-c\|+\|c-g\|\le R_-$，故 \begin{equation} B(c,R_--r)\subseteq\mathcal{Q}(K). \label{eq:sufficient} \end{equation} 这给出容易计算的充分候选区域；但一个满足 $r>R_-$ 的宽松外包圆只能说明该外包圆 不能提供证书，不能据此判定真实的 $\mathcal{Q}(K)$ 为空。 \subsection{截断角域的解析最小包围圆} 首次角域狭窄（$\delta=1^{\circ}$）这一题设特征，使 \eqref{eq:sufficient} 所需的 外包圆可以解析地算到最小。暂时去掉只会缩小集合的 $\Omega$ 约束，考虑完整截断 角域 $S=W(s_1,\theta_1,\delta)\cap B(s_1,R_+)$，其点可写成 $g=s_1+t\,u(\theta_1+\varphi)$（$0\le t\le R_+$，$|\varphi|\le\delta$）。令 \begin{equation} a=\frac{R_+}{2\cos\delta},\qquad c=s_1+a\,u. \label{eq:ac} \end{equation} \textbf{定理~2}（截断角域的最小包围圆）\quad 对 $0\le\delta\le45^{\circ}$，$S$ 的 最小包围圆恰为 $B(c,a)$。 \textbf{证明}\quad 先证包含。对 $g=s_1+t\,u(\theta_1+\varphi)\in S$， \begin{equation} \|g-c\|^2=t^2+a^2-2at\cos\varphi. \label{eq:dist} \end{equation} 固定 $\varphi$ 时右端关于 $t$ 为凸二次函数，区间最大值在端点取得：$t=0$ 时等于 $a^2$；$t=R_+$ 时由 $\cos\varphi\ge\cos\delta$ 得 $\|g-c\|^2\le R_+^2+a^2-2aR_+\cos\delta=a^2$，最后一步代入了 $a=R_+/(2\cos\delta)$。故 $S\subseteq B(c,a)$。 再证最小。取 $p_0=s_1$、$p_{\pm}=s_1+R_+u(\theta_1\pm\delta)$，三点都在 $B(c,a)$ 的圆周上。令 $\lambda_+=\lambda_-=1/(4\cos^2\delta)$、 $\lambda_0=1-1/(2\cos^2\delta)$；$\delta\le45^{\circ}$ 时三权重非负且和为 $1$， 直接代入得 $c=\lambda_0p_0+\lambda_+p_++\lambda_-p_-$。于是对任意中心 $z$，由加权 距离恒等式 \begin{equation} \sum_j\lambda_j\|p_j-z\|^2=a^2+\|c-z\|^2\ge a^2, \end{equation} 故任何覆盖这三点的圆半径不小于 $a$；而覆盖 $S$ 的圆必须覆盖这三点，结合包含性 知最小半径恰为 $a$。$\delta=0$ 时两个远端点重合，结论退化为长度 $R_+$ 的线段 直径圆，仍成立。\hfill$\square$ 该推导不依赖源位置先验与任何概率分布；它给出完整截断角域的精确最小圆，与 $\Omega$ 相交后，真实 $K_1$ 的最小圆可能更小。 \subsection{本题可直接采用的安全候选圆盘} 由 $K_1\subseteq S\subseteq B(c,a)$ 与 \eqref{eq:sufficient}，取 \begin{equation} \mathcal{Q}_0=B(c,b),\qquad b=R_--a=1000-\frac{1500}{2\cos\delta}, \label{eq:Q0} \end{equation} 数值见表~\ref{tab:q2disk}。 \begin{table}[htbp] \centering \caption{安全候选圆盘的解析参数} \label{tab:q2disk} \begin{tabular}{ccc} \toprule 误差半角 $\delta$ & 轴向中心距离 $a$ / 米 & 安全候选半径 $b$ / 米 \\ \midrule $1^{\circ}$ & 750.114246 & 249.885754 \\ $1.005^{\circ}$ & 750.115391 & 249.884609 \\ \bottomrule \end{tabular} \end{table} 两种口径下 $b>0$，故本题首次有效测向后的安全候选区域由解析证明严格非空，无需把 “若安全区域为空就去最小包围圆圆心”作为保底步骤（对一般候选集合，$\rho(K)>R_-$ 时根本不存在保证接收的点）。几何上 $\mathcal{Q}_0$ 位于首测示向方向前方约 $750$ 米处、半径约 $250$ 米，与首测点相距至少约 $500$ 米，还天然避免了同点重复测量不 产生新信息的问题（附录~2 第（1）项）。机器狗不受源位置圆域限制，即使 $c$ 位于 $\Omega$ 外，选点也合法。为抵消坐标计算与动作提交中的工程舍入，可取缩小区域 $\mathcal{Q}_\eta=B(c,b-\eta)$（$0<\eta5$ 的候选位置记真实方位 $h_q(g)=\operatorname{atan2}(g_y-q_y,g_x-q_x)$， 则可能读数集合为 $\mathcal{B}(q)=\{\beta:\exists\, g\in K_1,\ \|g-q\|>5,\ d_{\mathbb{S}^1}(\beta,h_q(g)) \le\delta\}$。这里用所有允许误差描述可能读数，而不是假设误差可以随机独立重抽样。 \textbf{最坏后验半径指标。}定义 $J(q)$ 为所有可能 \texttt{direction} 分支 $\rho(K_d(q,\beta))$ 与非空 \texttt{near} 分支 $\rho(K_n(q))$ 的上确界，即未来所有 允许观测下最坏的保守包围半径；不存在的观测分支不参与取最大。选点主目标即在安全 候选区域内降低 $J(q)$。该指标直接服务一次清除要求：$J(q)\le20$ 时每个可能分支都 有半径不超过 $20$ 米的保守定位圆；它比面积更贴合任务——面积较小的集合仍可能 十分狭长。注意后验总是 $K_1$ 的子集，故 $J(q)\le\rho(K_1)$，但不一定严格小于： 不能仅由“增加一次观测”推断精度必然严格改善，更不能保证两次测向即达 $20$ 米 阈值。 \textbf{移动成本与字典序。}连续测量同一频道时，本次动作的虚拟时间增量为 \begin{equation} C(q)=\|q-s_1\|/5+5\ \text{秒}. \label{eq:cost} \end{equation} 以 $\widehat{J}(q)$ 表示实际计算的评估量（6.8 节取保守上界 $\overline{J}(q)$）， 推荐先按后验半径择优，再保留满足 $\widehat{J}(q)\le J_{\min}+\tau$ 的近优点并取 其中 $C(q)$ 最小者，其中 $\tau\ge0$ 是显式声明的定位容忍量（米），$\tau=0$ 对应 严格字典序；本文不预设未经实验支持的最优 $\tau$。 \subsection{交会角的局部几何解释} 在假定真实位置 $g$ 附近，记两站距离为 $r_1,r_2$，真实视线单位向量为 $u_1,u_2$， 对应法向量为 $n_1,n_2$。角误差很小且位置扰动相对站距很小时，方位函数的一阶展开 给出 $n_i\cdot\Delta g\approx r_ie_i$（$|e_i|\le\delta_{\mathrm{rad}}$，弧度），即 局部不确定区域近似由两条带状约束 $|n_i\cdot\Delta g|\le r_i\delta_{\mathrm{rad}}$ 限定。若视线交会角为 $\phi$，法向量矩阵的行列式绝对值为 $|\sin\phi|$，对法向坐标 中的矩形作线性逆变换，得近似面积 \begin{equation} A_{\mathrm{loc}}\approx\frac{4\,r_1r_2\,\delta_{\mathrm{rad}}^{2}}{|\sin\phi|}. \label{eq:anglearea} \end{equation} 这解释了两点：视线近于平行或反向时误差被显著放大；在距离不变的局部比较下，接近 直角的交会较有利。但真实源位置未知，$r_2$ 与 $\phi$ 随 $g$ 改变，且有限角域并非 无限带状区域，故不能由此推出“总应横移固定距离”或“对某个假定源位置成 $90^{\circ}$ 即全局最优”。本文仅用它优先考虑轴线两侧的候选点，最终仍以后验集合 指标评价，交会角只作同分筛选指标。 \subsection{圆弧先验的保守离散与读数区间评估} \textbf{外包切线多边形。}直接连接圆周采样点得到的是内接多边形，会错误排除圆盘 边缘的真实位置。为复用问题~1 的半平面工具，取 $M\ge3$ 个均匀法向量 $v_j=u(2\pi j/M)$，定义 \begin{equation} P_M(o,R)=\{x:v_j\cdot(x-o)\le R,\ j=0,\dots,M-1\}. \end{equation} 由柯西不等式，$B(o,R)\subseteq P_M(o,R)$；相邻切线交点到圆心的距离为 $R\sec(\pi/M)$，故单个圆盘外包的最大径向超出不超过 $R[\sec(\pi/M)-1]$。令 $\widetilde{K}_1=P_M(0,1800)\cap W(s_1,\theta_1,\delta)\cap P_M(s_1,1500)$，则 $K_1\subseteq\widetilde{K}_1$，对任何第二读数再求半平面交仍保留真源。靠近切触或 退化情形须加密检查，不能把单圆径向误差未经论证直接当成最终定位半径的误差界。 安全选点仍使用解析的 $\mathcal{Q}_\eta$：即使粗糙外包多边形的最小圆偏大，也不能 据此推翻解析安全区域的非空结论。若改用任意有界凸外包多边形 $\widetilde{K}=\mathrm{conv}\{v_j\}$，则 $\max_{g\in\widetilde{K}}\|q-g\|=\max_j\|q-v_j\|$（与 5.4 节相同的凸组合论证）， 其保证接收区域由有限个圆盘约束 $\|q-v_j\|\le1000$ 给出；离散区域为空时优先加密 或回到解析候选盘，不把离散失败误报为问题无解。 \textbf{读数区间的保守评估。}仅枚举少量假定源位置与误差端点，只得到被枚举情形的 最大值，可能漏掉真正最坏的读数。将整周按圆周意义划分为若干区间 $I_j$（中心 $\beta_j$、宽度 $h_j$，要求 $\delta+h_j/2<90^{\circ}$，跨 $0^{\circ}$ 的区间按 圆周距离处理）。 \textbf{命题~2}\quad 对任意 $\beta\in I_j$，有 $W(q,\beta,\delta)\subseteq W(q,\beta_j,\delta+h_j/2)$。 \textbf{证明}\quad 左侧角域内任意非顶点位置，其方向到 $\beta$ 的圆周距离不超过 $\delta$，而 $\beta$ 到区间中心的距离不超过 $h_j/2$，由圆周距离的三角不等式，其 方向到中心的距离不超过两者之和；顶点在两个闭角域中均被保留。\hfill$\square$ 定义 $U_j(q)=\widetilde{K}_1\cap W(q,\beta_j,\delta+h_j/2)$，则落在该区间的任何 真实读数对应的保守后验都含于 $U_j(q)$，从而 $\rho(K_d(q,\beta))\le\rho(U_j(q))$；\texttt{near} 分支取统一上界 $\min\{5,\rho(\widetilde{K}_1)\}$。令 $\overline{J}(q)$ 为所有非空 $U_j(q)$ 的最小 包围半径与该上界的最大值，则 $J(q)\le\overline{J}(q)$（精确几何计算下成立；浮点 实现还须另行给出包含性与数值误差处理）。二分角区间或增加外包切线都使相应上界 单调不增，给出稳定的自适应加密方向。实际可先以少量读数采样粗筛，再对入围点使用 完整区间上界：粗筛只决定计算资源分配，最终报告的保守上界必须来自完整覆盖的 区间，不能来自粗筛样本最大值。 \subsection{选点算法与边界情形} \textbf{算法~2}（安全区域内的有限候选主动测向） \begin{enumerate}[label=\arabic*.,leftmargin=2.5em] \item 核验首次观测为同一全向源的有效示向度，构造 $K_1$ 或其保守表示； \item 按 \eqref{eq:ac} 计算 $a$、$c$ 与 $b=1000-a$，选取满足误差预算的缩小半径 $b-\eta$； \item 构造有限候选集：圆心 $c$ 及 $q=c+r_\ell(\cos\psi_j\,u+\sin\psi_j\,u_\perp)$（$01000$：不存在对该集合全部位置保证接收的点，圆心仅是最小化最坏 距离的探索选择，改善交会角若要求偏离该中心还会牺牲最坏距离最优性，两项冲突的 要求不能同时称为已保证；（v）外包圆半径大于 $1000$：只能说明该证书不足，不能 判真实安全区域为空；（vi）测量轴接近 $0^{\circ}/360^{\circ}$：使用向量约束与 圆周区间，避免角度断点错误；（vii）两次测向交会较差：保留完整后验并继续测量， 不把小面积当成小直径；（viii）源类型为定向：距离证书仍成立，但接收还受朝向 限制，不能直接沿用本问的接收保证（见问题~4）。 \todonote{候选区域示意图与选点对比实验待补} \section{问题~3：全向干扰源的搜索定位与清除调度} \subsection{虚拟时间与动作成本模型} 依据题设动作耗时，完成任务所需虚拟时间 \begin{equation} T=\frac{L}{5}+N_{\mathrm{switch}}+5N_{\mathrm{measure}} +5N_{\mathrm{clear}}^{\mathrm{s}}+3N_{\mathrm{clear}}^{\mathrm{f}}, \label{eq:time} \end{equation} 其中 $L$ 为移动总路程（含检测与清除引发的移动），频道切换次数只计被接受的检测 动作。优化顺序为：先保证全部清除，再减小 $T$；不能通过少清除源来改善平均时间。 虚拟活动时长上限为 $100$ 小时；程序运行时间另受 $20$ 分钟窗口约束，二者独立。 \subsection{全域覆盖发现基线} 在 $s$ 处对某频道测得 \texttt{no\_signal}，只能排除以 $s$ 为中心、半径 $1000$ 米 圆盘内存在该频道源（有效接收半径可能只有 $1000$ 米），不能一律排除到 $1500$ 米。 据此构造覆盖点集 \begin{equation} S=\{(700i,700j):i,j=-3,-2,\dots,3\},\qquad |S|=49, \end{equation} 其覆盖范围 $[-2100,2100]^2$ 包含 $\Omega$。对任一单元内的源 $g$，其所在单元的 $4$ 个格点到 $g$ 的距离均不超过 $700\sqrt{2}\approx 989.95<1000$ 米，故必存在 合格检测点；又 $g$ 位于 $4$ 个格点的凸包内部，经过 $g$ 的任意发射半平面必包含 至少一个格点（否则全部格点落入相反开半平面，与 $g$ 在凸包内矛盾）。因此 $49$ 点 逐一检测可保证发现该频道的源；源恰在网格线上时按半开区间归入相邻单元处理。 $49$ 点 $\times\,20$ 频道至多 $980$ 次检测，虚拟耗时上界约 $1.32\times 10^4$ 秒， 在 $100$ 小时上限内有充分设计空间；实际执行中已清除频道跳过、同点共享多频道测量、 已发现频道转入定位队列。 \subsection{发现—定位—清除闭环} 机器狗维护逐频道状态：未知／已发现待定位／可清除／已清除／已证明不存在，以及候选 集合 $K_c$。闭环流程为：覆盖扫描发现源 $\to$ 用问题~2 的主动选点缩小 $K_c$ 直至 $\rho(K_c)\le 20$ $\to$ 移动到 $C_{20}(K_c)$ 内距当前点最近的点清除 $\to$ 更新覆盖 记录与队列。多个已发现源按“预期信息改善／增量虚拟耗时”排序处理；候选采样点恰 返回 \texttt{near} 时立即就地清除。 \subsection{停止条件与结果统计} \textbf{停止成功的依据为以下之一}：（i）已成功清除 $16$ 个不同频道的源（数量 上界）；（ii）每个频道都已有清除成功记录或经完整覆盖证明不存在。发现 $10$ 个源、 连续若干次无信号、候选采样为空均不是充分停止条件；程序运行时间或窗口不足而退出 记为未证明完成，不与成功混记。结果统计按题设给出 \begin{align} \text{被清除干扰源个数的比例} &= \frac{\text{被清除干扰源的个数}}{\text{干扰源总数}} ,\\ \text{平均定位清除时间} &= \frac{\text{定位清除总时间}}{\text{被清除干扰源的个数}} . \end{align} \begin{table}[htbp] \centering \caption{问题~3 正式测试结果（按题目表~1 格式）} \label{tab:q3formal} \begin{tabular}{lcccc} \toprule & 测试案例编码 & 清除干扰源个数 & 平均定位清除时间 & 程序运行时间 \\ \midrule 测试~1 & \todonote{待填} & \todonote{待填} & \todonote{待填} & \todonote{待填} \\ 测试~2 & \todonote{待填} & \todonote{待填} & \todonote{待填} & \todonote{待填} \\ 测试~3 & \todonote{待填} & \todonote{待填} & \todonote{待填} & \todonote{待填} \\ \bottomrule \end{tabular} \end{table} \todonote{演练测试统计值（清除比例、平均定位清除时间）待演练后填入} \section{问题~4：含定向干扰源的检测与清除} \subsection{定向源观测模型} 定向源的接收条件是“距离 $\le R_c$ 且检测点位于发射半平面内”。因此 \texttt{no\_signal} 约束的是位置—半径—朝向的\textbf{联合假设}：若不联合维护朝向 可行集合，就不能用它单独删除空间候选点。可靠基线是对 \texttt{no\_signal} 只记录 “该点覆盖检测已完成”，不做空间删除；加速版本再维护朝向可行集合，且必须验证 不误删真源。 \subsection{覆盖发现基线对定向源仍然有效} 由 7.2 节的凸包论证：源 $g$ 位于所在单元 $4$ 格点的凸包内部，故经过 $g$ 的任意 发射半平面必含至少一个格点；该格点同时满足距离不超过 $989.95<1000$ 米。因此 $49$ 点逐频道检测对全向与定向源统一保证发现，包括贴近 $\Omega$ 边界朝外发射的源 （格点允许越出 $\Omega$ 访问）。 \subsection{失去信号后的后备清除} 已发现的定向源在定位过程中可能再次失去信号。对已知有界候选集合 $K$，构造边长 $20$ 米的全局网格：格中心到格内任意点距离不超过 $10\sqrt{2}\approx 14.14<20$ 米， 保留与 $K$ 的外包框相交的格子即得无空洞的有限圆盘覆盖，逐点调用清除动作。请求 次数上界 \begin{equation} N\le\Bigl(\lceil w/20\rceil+2\Bigr)\Bigl(\lceil h/20\rceil+2\Bigr), \end{equation} 其中 $w,h$ 为候选集合外包框的宽与高；单源全失败清除耗时为 $L/5+3N$。若 $K$ 外包 尺寸较大（如半径 $1500$ 米圆盘的外包框达上万格点），盲扫不满足现实预算，应先继续 定位缩小候选集合。现实时间预算按“剩余请求数 $\times$ 实测单请求高分位耗时”估计， 不满足预算时转入其他任务或按预算退出。 \begin{table}[htbp] \centering \caption{问题~4 正式测试结果（按题目表~1 格式）} \label{tab:q4formal} \begin{tabular}{lcccc} \toprule & 测试案例编码 & 清除干扰源个数 & 平均定位清除时间 & 程序运行时间 \\ \midrule 测试~1 & \todonote{待填} & \todonote{待填} & \todonote{待填} & \todonote{待填} \\ 测试~2 & \todonote{待填} & \todonote{待填} & \todonote{待填} & \todonote{待填} \\ 测试~3 & \todonote{待填} & \todonote{待填} & \todonote{待填} & \todonote{待填} \\ \bottomrule \end{tabular} \end{table} \section{模型评价与推广} \textbf{优点}：（1）四个问题复用同一几何内核（角域半平面交—直径—最小包围圆）， 模型一致、实现可复用；（2）全程坚持保守几何：有界误差不取平均、无信号只排除 $1000$ 米、\texttt{no\_signal} 对定向源不删位置、停止条件需覆盖证明，所有“清除 完毕”的结论都可验证；（3）虚拟时间公式把调度目标显式化，且区分了虚拟时间与程序 运行时间两类约束。 \textbf{缺点与改进}：（1）主动选点采用最坏情形采样，是启发式而非全局最优，可研究 对候选集合的更精细离散化；（2）$49$ 点覆盖基线存在冗余，自适应跳点须以保留逐频道 覆盖证据为前提；（3）后备清除请求数较大，宜结合朝向可行集合减小候选集合；（4） 当前演练验证限于问题~1 的几何内核，问题~3、4 的闭环策略与统计结果有待演练填充。 \begin{thebibliography}{9} \zihao{5} \bibitem{preparata} Preparata F P, Shamos M I. Computational Geometry: An Introduction[M]. New York: Springer-Verlag, 1985. \bibitem{welzl} Welzl E. Smallest enclosing disks (balls and ellipsoids)[C]// Maurer H. New Results and New Trends in Computer Science. Lecture Notes in Computer Science, vol 555. Berlin: Springer, 1991: 359--370. \bibitem{toussaint} Toussaint G T. Solving geometric problems with the rotating calipers[C]//Proceedings of IEEE MELECON. Athens: IEEE, 1983. \bibitem{mcgill} CGAL Project. Bounding Volumes: Min\_circle\_2[EB/OL]. \url{https://doc.cgal.org/latest/Bounding_volumes/}, 2026. \bibitem{cgrl} McGill School of Computer Science. Rotating Calipers[EB/OL]. \url{https://www-cgrl.cs.mcgill.ca/~godfried/research/calipers.html}, 2026. \bibitem{boyd} Boyd S, Vandenberghe L. Convex Optimization[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 2004. \end{thebibliography} \clearpage % ============================================================ % 附录（页数不限；电子版与纸质版均须包含） % ============================================================ \appendix \section{支撑材料文件列表} \todonote{提交前更新为实际支撑材料压缩包内容，须与附录~B 源码一致} \begin{table}[htbp] \centering \caption{支撑材料文件列表} \begin{tabular}{lll} \toprule 文件/目录 & 内容 & 说明 \\ \midrule \texttt{geometry/} & 几何内核源代码 & 角域交、直径、最小包围圆 \\ \texttt{planning.py} & 问题~2 安全候选盘计算 & \texttt{first\_bearing\_candidate\_disk} \\ \texttt{examples/q1/} & 问题~1 输入样例 & 含等边三角形反例 \\ \texttt{output/q1/} & 问题~1 输出与演练记录 & 优化报告、可视化 \\ \bottomrule \end{tabular} \end{table} \section{程序源代码} 以下为支撑模型计算的核心源代码，完整可运行代码以支撑材料压缩包为准。 \subsection{\texttt{src/mcm26b/geometry/localization.py}：交会定位几何内核} \lstinputlisting[language=Python]{../../src/mcm26b/geometry/localization.py} \subsection{\texttt{src/mcm26b/geometry/planning.py}：问题~2 安全候选区域} \lstinputlisting[language=Python]{../../src/mcm26b/geometry/planning.py} \end{document}