\section{问题四：混合源的定向覆盖与网格遍历清除}
\subsection{定向观测模型与无信号歧义}
设定向源位于 $g$，朝向为 $\psi$。在检测点 $q$ 可见的充要条件为
\begin{equation}
\norm{q-g}\le r_{\mathrm{eff}},\qquad
(q-g)\cdot u(\psi)\ge0.
\label{eq:visibility}
\end{equation}
边界属于可见半平面。可见且距离不超过 $5$ m 时返回 $\near$，
否则返回 $\direction$；任何一个条件失败均为 $\sgnless$。
问题二的可行区域满足距离约束，定向接收还需满足前向半平面约束。
对于已发现频道，位于该区域内的负观测反映朝向遮挡；
区域外的负观测则同时包含距离与朝向两种解释。

向外发射的边界源需要在圆域外布置接收站点。
适用于混合源的站点集合 $S$ 应满足
\begin{equation}
\forall g\in\Omega,\ \forall\psi\in[0,2\pi),\
\exists s\in S:\quad
\norm{s-g}\le1000,\quad (s-g)\cdot u(\psi)\ge0.
\label{eq:halfcover}
\end{equation}
这是一项针对“位置、朝向”二元状态的全覆盖要求。

\subsection{方格点集的连续覆盖性}
取 $S_{49}=\{(700i,700j):i,j=-3,\ldots,3\}$。
其网格方域包含 $\Omega$，每个源落在某个边长为 $700$ m 的闭方格内。
\begin{proposition}[方格四角的定向覆盖]
$S_{49}$ 满足式~\eqref{eq:halfcover}，对全向与任意朝向的定向源均保证发现。
\end{proposition}
\begin{proof}
设包含 $g$ 的方格四角为 $v_1,\ldots,v_4$。
四角距 $g$ 均不超过对角线长 $700\sqrt2<1000$。
由于 $g$ 是四角的凸组合，存在 $\lambda_i\ge0$、
$\sum_i\lambda_i=1$ 使 $\sum_i\lambda_i(v_i-g)=0$。
对任意朝向 $u$ 取内积，得
$\sum_i\lambda_i(v_i-g)\cdot u=0$，
故不可能四个角均满足 $(v_i-g)\cdot u<0$；
至少一角处于前向闭半平面，且同时满足距离条件。
\end{proof}
四角的距离上界与凸组合性质共同保证连续覆盖。
该方案具有显式站点坐标和覆盖距离上界。

\subsection{基于集合覆盖的31点方案}
当前 \texttt{directional} 实现采用 \texttt{q4\_mincover\_v2} 计划。
在候选站点 $s_j$ 和离散目标状态 $(g_i,\psi_i)$ 上定义关联矩阵
\begin{equation}
A_{ij}=\mathbf1\{
\norm{s_j-g_i}\le r_{\mathrm{design}},
\ (s_j-g_i)\cdot u(\psi_i)\ge
\norm{s_j-g_i}\sin\gamma_{\mathrm{design}}\}.
\end{equation}
站点筛选可写为集合覆盖模型
\begin{equation}
\min\sum_j z_j,\qquad
\sum_jA_{ij}z_j\ge1\ \ (\forall i),\qquad z_j\in\{0,1\}.
\label{eq:setcover}
\end{equation}
采用集合覆盖的贪心算法与冗余站点删除求近似解\cite{chvatal}，得到 $31$ 个站点。
设计阶段使用 $965$ m 距离与 $5^\circ$ 前向角余量，
最终按 $15$ m 位置间距、$72$ 个朝向采样复核。
验证结果覆盖全部 $3\,256\,200$ 个离散状态，
最坏覆盖距离约为 $990.051$ m。

\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics[width=0.70\linewidth]{geo-q4-minimum-cover-31-points.png}
\caption{31 点最小命中集的几何分布（左）与定向源的前向半盘语义（右）。
站点取自计划文件，部分站点位于 $\Omega$ 之外，用于接收向外发射的边界源；
离散校验不等同于连续覆盖证明。}
\label{fig:q4plan}
\end{figure}

从离散覆盖推广到连续覆盖时，需同时计入位置与朝向的离散化误差。
设任意实际位置距某采样位置不超过 $\varepsilon$，
实际朝向距其采样朝向不超过 $\alpha$，覆盖站点距采样位置为 $d$。
由三角不等式及单位向量差的上界，一组充分条件为
\begin{equation}
d+\varepsilon\le1000,\qquad
(s-g_i)\cdot u(\psi_i)\ge
\varepsilon+2d\sin(\alpha/2).
\label{eq:continuous}
\end{equation}
采样网格应覆盖 $\Omega$ 及其边界。本文对 $31$ 点方案采用离散集合覆盖模型，
对 $49$ 点方案采用上述连续覆盖定理；连续近似误差的控制将在未来工作中讨论。

\subsection{位置与朝向联合候选的保守更新}
对定向假设，在每个候选位置网格的中心 $z$ 附加 $H=24$ 个朝向档，
档宽为 $15^\circ$。令 $M_z$ 为仍可能的朝向掩码。
方向与近距离观测先更新位置约束，再保留可能覆盖检测点的朝向；
无信号时只有在整格处于 $1000$ m 保证接收盘内，才可删除必然可见的朝向。

记 $\beta=\operatorname{bearing}(z\to s)$、
$\Delta_\psi=7.5^\circ$，格内方位余量为 $\alpha_z$，
查表舍入余量为 $\eta_\psi=1.5^\circ$。
以 $d_\circ$ 表示圆周最小角差，保守保留条件为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\text{正观测：}\quad&
d_\circ(\psi_k,\beta)\le90^\circ+\Delta_\psi+\eta_\psi+\alpha_z,\\
\text{盘内负观测：}\quad&
d_\circ(\psi_k,\beta)>90^\circ-\Delta_\psi-\eta_\psi-\alpha_z.
\end{aligned}
\label{eq:heading}
\end{equation}
第二行保留含有不可见方向的朝向区间，排除整个区间均可见的候选。
若格心距测点过近，格内方位可覆盖整个圆周，此时保留全部朝向。
在定向假设下，上述更新保持真源所在位置与朝向网格的可行性。
混合类型的集合估计扩展见第~\ref{sec:future}~节。

\subsection{可见性筛选与探点选择}
联合候选的用途首先是排序探点。对候选 $q$，
以均匀接收半径假设给出距离权重
\begin{equation}
w_r(d)=
\begin{cases}
1,&d\le1000,\\
(1500-d)/500,&1000<d<1500,\\
0,&d\ge1500.
\end{cases}
\end{equation}
记 $\widetilde{\mathcal G}_c$ 为位置样本集，$b_z(q)$ 为与检测点 $q$ 相容的候选朝向档数，
采用如下\textbf{可见性权重}：
\begin{equation}
V(q)=\frac1{|\widetilde{\mathcal G}_c|}\sum_{z\in\widetilde{\mathcal G}_c}
w_r(\norm{z-q})\,\frac{b_z(q)}{24}.
\label{eq:visibility-score}
\end{equation}
分母 $24$ 为初始朝向档数，$b_z(q)$ 由保留朝向集合与预计算可见角区间的交集确定。
该权重用于衡量各候选点的相对检测价值。

候选族包括算法2给出的基础点、关于候选圆心的对跖点，以及
$0.5\rho,\rho,1.5\rho$ 半径上的八方向环点。
排除已被遮挡的重复点后，保留评分达到当前最大值 $70\%$ 的点，
并从中选择
\begin{equation}
\frac{\norm{p-q}}5+\frac{\norm{q-m}}5+6
\label{eq:q4score}
\end{equation}
最小者。常数 $6$ 是检测加换频的选点评分费用，
真实结算仍按当时频道计算。该规则优先避免完全遮挡的点，
再减少移动及后续接近距离。
联合集不可用时，返回算法2、对跖探点和环探的确定性顺序。
持续遮挡时转入基于距离约束的网格遍历清除。

\subsection{网格遍历清除与计算预算}
当一轮有效定位测量达到 $8$ 次，或连续遮挡探点达到 $4$ 次且候选区域仍较大，
对保守凸候选多边形建立边长 $20$ m 的方格覆盖。
保留所有与多边形相交的格子，并以格心作为清除点。
格内任一点到格心距离满足
\begin{equation}
\norm{g-z}\le10\sqrt2<20.
\label{eq:fallback}
\end{equation}
因清除与源朝向无关，只要真源保留在多边形中，
逐格清除必有一次到达其 $20$ m 内。
按最近邻顺序访问，首次成功即停止该频道的网格遍历。

若外包框宽、高为 $w,h$，保守格数上界为
\begin{equation}
B_{\mathrm{cell}}=
\left(\left\lceil\frac w{20}\right\rceil+2\right)
\left(\left\lceil\frac h{20}\right\rceil+2\right).
\end{equation}
当前格数硬上限为 $400$，现实预算需覆盖
$N_{\mathrm{cell}}\,t_{\mathrm{RTT},95}+t_{\mathrm{reserve}}$。
超过格数或预算上限即跳过并报告未解决；
全部清除点失败则保留候选集并记录异常。
在\textbf{候选区域包含真源、格数满足上限且预算足够}的条件下，
逐格访问可保证完成该源的清除。

\subsection{算法四与终止条件}
\begin{algorithmblock}{算法4：定向集合覆盖、选点与网格遍历清除（对应 algo-4）}
\textbf{输入：}混合源接口，定向覆盖计划与预算。\quad
\textbf{输出：}已清除频道、未解决频道、停止依据。
\begin{enumerate}[leftmargin=2em,itemsep=1pt,topsep=4pt]
 \item 加载覆盖计划；默认 $31$ 点按声明分辨率验证，$49$ 点备选有连续证明。
 \item 选择最近的待测站，当前频道优先，批量检测仍未知的频道。
 \item 更新凸位置候选；首次正观测后建立朝向候选，用于探点可见性筛选。
 \item 按移动代价处理已发现频道；满足半径判据则清除，否则继续探点。
 \item 遮挡或定位停滞时检查格数与预算，允许则执行 $20$ m 方格遍历清除。
 \item 覆盖任务结束后处理未解决频道；主动退出时报告清除数及停止依据。
\end{enumerate}
\end{algorithmblock}
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问题四采用站内批量检测与最近邻任务排序。
算法结合位置集合、朝向约束和剩余预算确定测点及清除顺序，
并以各频道的处理状态作为终止时的输出。
=======
问题四使用“本站批量扫频、最近候选圆心服务”的调度骨架，
并未直接复用问题三的统一信息增益任务表。
若要求严格的混合源全清证据，除采用连续覆盖计划外，
还须补全类型联合表示或限制联合集排空的适用范围，并确保全部定位清除任务完成。
本文区分当前实现、可证明条件与尚需完善之处，不把后者追溯为正式测试时已执行的功能。

\subsection{运行过程示例}
图~\ref{fig:replay4} 回放一局含定向源的演练（案例 \texttt{GHSN-M38E-74GD-YLUD}）：
左图在轨迹、检测示向度与已清除频道之外，画出每个定向源的前向半盘
（$\pm90^\circ$，半径取该源的 $r_{\mathrm{eff}}$），箭头方向即朝向。
图中存在落在接收半径之内、却因位于背向半平面而无信号的检测点，
对应式~\eqref{eq:visibility} 的可见性条件，保留这一解释正是问题四与问题三
在候选更新上的区别；该局同样不计入正式成绩。

\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics[width=0.85\linewidth]{replay-webui-q4-directional.png}
\caption{含定向源演练局（\texttt{GHSN-M38E-74GD-YLUD}）的运行回放，
紫色半盘为定向源的前向可见区域。该局为演练案例，非正式测试记录。}
\label{fig:replay4}
\end{figure}
>>>>>>> 78e4420a3e496c43db8e06556e539fd7d2aaf231