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几何计算示意图册

本册逐图给出坐标口径、关键量与图中各元素的含义。插图位于 figures/，复现命令：

uv run python scripts/make_figures.py --only geo-q1-convex-intersection-zoom,\
  geo-q1-diameter-circle-counterexample,geo-q2-guaranteed-reception-disk,\
  geo-q3-seven-point-coverage,geo-q4-minimum-cover-31-points

图中的数字由脚本现算：问题一调用生产求解器，问题三、四直接读覆盖计划与证书； 来源与 sha256 记在 figures/manifest.json。

统一的坐标与符号约定：

• 世界坐标以 Ω 圆心为原点，x 轴向右、y 轴向上，单位米；
• Ω 是半径 R=1800 m 的圆盘；源的有效接收半径 r_{\rm eff}\in[1000,1500] m；
• 示向度 \theta 以 +x 轴为 0° 逆时针为正，误差半角 $\delta=1°$；
• 清除半径 r_{\rm clear}=20 m；
• "可保证清除" ⟺ 存在一点使整个候选区域落在该点 20 m 内 ⟺ \rho\le 20 m（充分）。

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图 1　问题一：角域交会与定位区域

左（总览）：三个检测点（官方演练案例 U5ZW-P9KN-TCAG-R7ST，频道 9） 各自的前向角域 W_i=\{p:\angle(p-s_i)-\theta_i\in[-1°,+1°]\} 画成窄扇形 （2° 宽，图中放大成可见宽度）；三者交集就是定位区域 $P$。检测点相距 600~900 m， 而 P 的直径只有 24 m，所以左图里 P 缩成一个点——这是必须做局部放大的原因。

右（放大，视野 ±31.4 m）：以最小包围圆圆心为中心：

• 浅蓝扇形 = 三个角域在放大框内的可见部分；三者重叠成白色区域= $P$；
• 红色实线多边形 = P 的顶点边界（与左图同一个集合）；
• 蓝色虚线圆 = 直径圆，半径 D/2=11.9984 m，圆心是中点 $(-450.634,\ 508.944)$；
• 绿色实线圆 = 最小包围圆（MEC），\rho=12.0686 m，圆心 $(-449.977,\ 507.953)$。

关键量（图 (c) 栏）

量	值	判定
直径 D(P)	23.9967 m	顶点对枚举（凸集上最远点必为顶点）
MEC 半径 \rho	12.0686 m	Welzl 算法 + 支撑点枚举对照
直径圆最大超出 E	+0.6040 m	E>0 ⇒ 直径圆不覆盖 P
\rho\le20 m	成立	⇒ 存在可保证清除的点（取 MEC 圆心）

这两个结论不矛盾：题目问"直径圆能否覆盖"（答案：不能，$E>0$） 与"能否保证清除"（答案：能，\rho\le20 m）是两个不同的问题。 E 的定义：$E=\max_i\lVert v_i-o\rVert-D/2$，o 为直径中点； 精确算术下最远顶点对就在圆周上，故 $E\ge0$，E>0 即覆盖失败， 达到最大值的顶点就是可独立复核的失败证据。

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图 2　问题一：直径圆不覆盖的反例

等边三角形布站（$S_1(-1000,0)$、$S_2(540,-866)$、$S_3(520,901)$，示向度 $1°,121°,241°$，误差半角 $1°$）。三条 2° 宽的角域交出一个等边三角形 $P$：顶点 $(0,0)$、$(40,0)$、$(20,34.641)$。

• 直径 D=40.0000 m，最远点对是底边两端 ⇒ 直径圆圆心 $(20,0)$、半径 20 m；
• 到第三个顶点 (20,34.641) 的距离是 20\sqrt3\approx34.6410 m > 20 m， 故直径圆不覆盖：E=+14.6410 m（图中箭头所指）；
• 该反例的最小包围圆半径 \rho=40/\sqrt3\approx23.0940 m > 20 m， 属于"覆盖失败且无法保证清除"的更坏情形。

反例是符合题设测向条件的：把真实源放在三角形中心 $(20,20\sqrt3/3)$， 三个检测点的真实方位与读数偏差均小于 $1°$，且三个检测距离都小于 1500 m， 所以它不是"脱离测向模型的任意图形"。构造与证明见 问题一解答.md 第六节。

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图 3　问题二：保证接收的候选盘与安全盘

候选集（首次观测之后可能的位置集合）：

K_1=\Omega\ \cap\ W(s_1,\theta_1\pm\delta)\ \cap\ B(s_1,\ 1500),

即"Omega 内、首次角域内、且距离不超过最大接收半径"的三者之交。

解析安全盘：截断角域（扇形，半径 R_{\max}=1500 m、半角 $\delta=1°$） 的最小包围圆恰为 $B(c,a)$，其中 $c=s_1+a\boldsymbol u$（\boldsymbol u 为示向度单位向量），

a=\frac{R_{\max}}{2\cos\delta}=\frac{1500}{2\cos1°}=750.1142\ \text{m}.

于是对安全盘内任一点 $q$、扇形内任一点 $p$：

\lVert q-p\rVert\le a+(1000-a)=1000\ \text{m}
\ \Longrightarrow\ q\ \text{必然收到源的信号},

\boxed{\ \text{安全盘半径}=1000-a=249.8858\ \text{m}\ }

（严格非空；图中绿色实心圆，圆心 $c=(649.62,\ 375.06)$）。 第二检测点就在该盘内选，目标是最小化最坏保守后验包围半径， 移动与检测成本作次目标；交会角只用于同分筛选与可解释性说明。

图中 a 与 1000 m 两个圆几乎重合是可预期的：\delta 只有 $1°$， a=R_{\max}/(2\cos\delta) 与 R_{\max}/2 相差 0.0114%， 因此安全盘的"安全"主要来自角域约束，而不是圆心位置。

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图 4　问题三：七点解析覆盖

站点集：原点 + 半径 a 的六等分环， $S(a)={(0,0)}\cup{a(\cos k\pi/3,\ \sin k\pi/3):k=0,\dots,5}$。

定理（algo-3.md §4.2） 当 0<a/\sqrt3\le R 时

\max_{g\in\Omega}\min_{s\in S(a)}\lVert g-s\rVert
\le D(a):=\max\Bigl\{\frac{a}{\sqrt3},\ \sqrt{R^2+a^2-\sqrt3Ra}\Bigr\}.

代入默认 a=1159.7 m、R=1800 m：

D(a)=984.5391\ \text{m}<1000\ \text{m}
\quad(\text{几何余量 }15.46\ \text{m}).

图上看到的就是这个证明：7 个半径 1000 m 的接收盘（浅绿，裁剪在 Ω 内）的 并集完全覆盖 Ω，最坏点出现在 $(0,-1800)$（Ω 正下方边界，图中圈出）， 到最近站点 1159.7 m（正下方环站）的距离恰为 984.54 m。

数值复核（脚本内 20 m 网格）：Ω 内 25445 个采样点全部被覆盖，缺口 0—— 解析上界与数值结果一致到小数点后 3 位。

代价对比：七点每轮 7 次检测即可证明"无源"，49 点网格要 49 次； 巡回长度 6a\approx6.96 km（对照 49 点的 NN 巡回约 36.4 km）。 a 的可行下界 a_{\min}\approx1122.9558 m（零余量），默认配置留 15 m 以上余量。

为什么能"发现即证明"：某频道若在全部站点都测得 no_signal， 由覆盖定理知该频道必无源（负观测只能排除该站点 1000 m 圆盘，而 r_{\rm eff}\ge1000 m）， 于是可以安全销账；所有频道销账 ⇒ 完成证明成立 ⇒ 立即 /exit。

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图 5　问题四：定向源的 31 点最小命中集与联合信念

覆盖语义变了：定向源只向朝向 \pm90° 的前向半球辐射， 所以"某站点附近一定收到"这件事必须同时考虑源的位置与朝向：

\text{站点 }s\text{ 能发现源}\iff
\lVert s-\text{pos}\rVert\le r_{\rm eff}\ \wedge\
\angle\bigl(\text{heading},\ s-\text{pos}\bigr)\le90°.

这个语义记作 forward_half_disk（图中右侧示意）。

31 点最小命中集（q4_mincover_v2，图中红点）：

项	值
点数	31（离线贪心最小命中集，取代 49 点网格）
设计参数	r_{\rm design}=965 m + 前向角裕量 5°
运行期证书	15 m / 72 朝向档，325.62 万个 (位置, 朝向) 采样格，缺口 0
最坏命中距离	990.051 m
最近邻巡回	23.9 km ≈ 4776.8 s 虚拟时间
旧计划对照	q4_mincover_v1 在 15 m/72 档下有 566 个缺口（粗采样过拟合）

位置 × 朝向联合信念：负观测（no_signal）在问题四里只约束朝向—— 它只能排除"朝向正对本站点"的那些朝向档，位置信息几乎不更新。 因此证据层维护网格 × 朝向档的联合分布，可见性判据必须与引擎一致 （距离 \le r_{\rm eff} 且夹角 $\le90°$），并按格内角裕量保守裁剪。 当信念坍缩到有限格时启用后备盲清：就近到可疑格 /clear， 把盲清次数从 125.7 次/局压到 4.3 次/局。

本轮修复的正确性缺陷：旧版 no_signal 的朝向裁剪规则反向、且漏计格内角裕量， 会删掉真源所在的朝向档。已修复，并由 tests/test_joint_belief.py 的随机观测序列保留性测试固化。

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附：把图接进论文

docs/paper/main.tex 目前用表格承载结论，插图按下例插入即可：

\begin{figure}[htbp]
  \centering
  \includegraphics[width=0.95\textwidth]{figures/geo-q1-convex-intersection-zoom.png}
  \caption{问题一：角域交会得到的定位区域，以及直径圆与最小包围圆的关系。}
  \label{fig:geo-q1}
\end{figure}

图片按 160 mm 宽排版。图内不含标题与图注，说明写在 \caption 与正文。