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\section{问题一：有界误差交会定位与覆盖圆}
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\subsection{前向角域的半平面模型}
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给定检测点 $s_i=(s_{ix},s_{iy})$ 与读数 $\theta_i$，
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误差约束意味着真实方位位于
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$[\theta_i-\delta,\theta_i+\delta]$ 内。因此可行位置属于前向角域
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\begin{equation}
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W_i=\left\{g:
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\begin{aligned}\relax
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[u(\theta_i-\delta),g-s_i]&\ge0,\\
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[u(\theta_i+\delta),g-s_i]&\le0,\\
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u(\theta_i)\cdot(g-s_i)&\ge0
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\end{aligned}\right\}.
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\label{eq:wedge}
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\end{equation}
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三条不等式均可写为 $a x+b y\le c$，其法向依次为
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\begin{equation}
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\begin{aligned}
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&(\sin(\theta_i-\delta),-\cos(\theta_i-\delta)),\\
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&(-\sin(\theta_i+\delta),\cos(\theta_i+\delta)),\\
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&(-\cos\theta_i,-\sin\theta_i),
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\end{aligned}
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\end{equation}
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右端为相应法向与 $s_i$ 的内积。在 $0<\delta<90^\circ$ 时，
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前两条已限定前向窄角域；第三条显式保留方向性，
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并使零误差退化情形对应射线而非整条直线。
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采用正弦、余弦表示可自动处理 $0^\circ/360^\circ$ 跨界。
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问题一的多边形定位区域定义为
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\begin{equation}
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P=\bigcap_{i=1}^{n}W_i=\{g:Ag\le b\}.
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\label{eq:q1set}
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\end{equation}
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这是纯角域交会模型。后续问题加入 $\Omega$ 与接收距离先验后会形成更紧的集合，
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但不能将这些附加约束混入问题一的直径结果。
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半平面交是闭凸集，可能为空、单点、线段、有界多边形或无界集。
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\subsection{区域构造、空集及无界情形}
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令约束数 $k=3n$。对任意两条不平行边界
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$a x+b y=c$、$d x+e y=f$，候选交点为
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\begin{equation}
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x=\frac{ce-bf}{ae-bd},\qquad y=\frac{af-cd}{ae-bd}.
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\end{equation}
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仅保留满足全部不等式的交点，再经去重和单调链凸包构造得到顶点集合。
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实现先平移与缩放坐标，以降低千米尺度坐标造成的数值误差；
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近平行边界仍参与求交，因为其远端交点可能决定细长区域的直径。
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不能以任意大矩形裁剪后得到的有限直径代替无界性判断。
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对非空集合定义衰退锥
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\begin{equation}
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\mathcal R=\{d:Ad\le0\}.
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\end{equation}
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若 $\mathcal R$ 含非零向量，则 $g+td\in P$ 对所有 $t\ge0$ 成立，
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区域无界，直径为 $+\infty$。二维多面锥只需检查约束边界的两个切向
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$(b,-a)$ 与 $(-b,a)$ 是否满足全部齐次不等式。
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本题至少一个前向窄角域会排除直线性，故非空交集存在极点；
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在此特定输入族中，没有可行边界交点可以判为空集。
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无观测输入单独返回整个平面，不按空集处理。
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有界非空区域中，一个顶点对应单点，两个顶点对应线段，其余为凸多边形。
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空集没有本文定义的有效直径与覆盖圆，程序以显式状态报告观测不相容，
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便于检查频道、误差界或输入数据。
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\subsection{直径与直径圆的判定}
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\begin{proposition}[顶点直径]
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设 $P=\operatorname{conv}\{v_1,\ldots,v_m\}$ 非空有界，则
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\begin{equation}
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D(P)=\max_{i,j}\norm{v_i-v_j}.
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\label{eq:diameter}
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\end{equation}
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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任意 $x,y\in P$ 可表示为凸组合
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$x=\sum_i\lambda_i v_i$、$y=\sum_j\mu_jv_j$。
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由于系数非负且各自和为 $1$，
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\[
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\norm{x-y}
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=\left\|\sum_{i,j}\lambda_i\mu_j(v_i-v_j)\right\|
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\le\sum_{i,j}\lambda_i\mu_j\norm{v_i-v_j}
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\le\max_{i,j}\norm{v_i-v_j}.
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\]
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最远顶点对本身属于 $P$，故上界可达。
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\end{proof}
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因此无需在整个区域内部搜索，只需枚举顶点对，计算量为 $O(m^2)$。
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\begin{proposition}[直径圆覆盖的充要条件]
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取最远顶点对 $a,b$，令 $D=\norm{a-b}$、$o=(a+b)/2$。
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存在直径等于 $D$ 的圆盘覆盖 $P$，当且仅当
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\begin{equation}
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\max_{v\in V(P)}\norm{v-o}\le D/2.
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\label{eq:diametercircle}
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\end{equation}
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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若半径 $D/2$ 的圆盘中心为 $z$ 且包含 $a,b$，则
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$D\le\norm{a-z}+\norm{z-b}\le D$。
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等号迫使 $z=o$。反之，圆盘为凸集，包含全部顶点即包含它们的凸包。
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\end{proof}
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若条件不成立，输出圆外顶点及超出量
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$e=\max_v\norm{v-o}-D/2$，即得到可独立检查的否定证据。
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不能仅以直径端点在圆周上判断整个区域被覆盖。
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\subsection{反例与可清除半径}
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构造等边三角形
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\begin{equation}
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A=(0,0),\qquad B=(40,0),\qquad C=(20,20\sqrt3).
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\end{equation}
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其直径为 $40$ m。以 $AB$ 为直径的圆心为 $(20,0)$，半径为 $20$ m，
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但 $C$ 到圆心的距离为 $20\sqrt3$ m，位于圆外。
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其最小包围圆圆心为 $(20,20/\sqrt3)$，半径
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$40/\sqrt3\approx23.094$ m，同样大于清除半径。
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图~\ref{fig:triangle} 展示两类圆的差别。
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\begin{figure}[htbp]
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\centering
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\begin{tikzpicture}[x=0.095cm,y=0.095cm,font=\small]
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\fill[inkblue!10] (0,0)--(40,0)--(20,34.641)--cycle;
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\draw[thick] (0,0)--(40,0)--(20,34.641)--cycle;
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\draw[warmgray,dashed,thick] (20,0) circle (20);
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\draw[inkblue,thick] (20,11.547) circle (23.094);
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\fill (0,0) circle (0.6) node[below left] {$A$};
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\fill (40,0) circle (0.6) node[below right] {$B$};
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\fill (20,34.641) circle (0.6) node[above] {$C$};
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\fill[warmgray] (20,0) circle (0.6) node[below] {$o$};
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\fill[inkblue] (20,11.547) circle (0.6) node[right] {$m$};
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\draw[->,warmgray] (49,-14)--(35,-13);
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\node[anchor=west,warmgray] at (49,-14) {直径圆：$r=20$};
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\draw[->,inkblue] (49,24)--(41,22);
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\node[anchor=west,inkblue] at (49,24) {最小包围圆：$\rho=40/\sqrt3$};
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\node at (20,-26) {$AB=BC=CA=40$ m};
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\end{tikzpicture}
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\caption{直径圆不能覆盖等边三角形。此图为解析反例，不是模拟器观测。}
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\label{fig:triangle}
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\end{figure}
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该形状可由题设的 $\pm1^\circ$ 角域构造出来。例如检测点
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$(-1000,0)$、$(540,-500\sqrt3)$、$(520,520\sqrt3)$，
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对应示向度为 $1^\circ$、$121^\circ$、$241^\circ$。
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各角域的一侧边界给出三角形的三条支撑线，另一侧边界包含整个三角形，
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故交集恰为上述三角形。这一构造只用于证明一般性命题，并不作为实验成绩。
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对一般候选区域，定义最小包围圆
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\begin{equation}
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\rho(P)=\min_{z\in\mathbb R^2}\max_{g\in P}\norm{g-z},\qquad
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m\in\arg\min_z\max_{g\in P}\norm{g-z}.
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\label{eq:mec}
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\end{equation}
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其边界由至多三个支撑点确定，可用 Welzl 随机增量算法计算\cite{welzl}。
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实现采用固定随机种子及显式栈，并在输出前检查全部顶点的包含关系。
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在精确模型中，若 $\rho(P)\le20$，于 $m$ 清除即可覆盖所有可能真源；
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考虑浮点计算后采用 $\rho(P)+\eta_{\mathrm{num}}\le20$ 的充分判据。
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$D(P)\le40$ 是必要条件，但并非充分条件。
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\subsection{算法一及复杂度}
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\begin{algorithmblock}{算法1：有界测向角域交会与覆盖圆判定（对应 algo-1）}
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\textbf{输入：}同一频道的检测点、示向度和误差半角。\\
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\textbf{输出：}区域状态、顶点、直径、直径圆判定与最小包围圆。
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\begin{enumerate}[leftmargin=2em,itemsep=1pt,topsep=4pt]
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\item 若观测为空，返回无界；否则归一化坐标，生成 $3n$ 条半平面。
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\item 枚举非平行边界交点，仅保留满足全部约束的点。
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\item 无可行点时返回空集；存在非零衰退切向时返回无界及无穷直径。
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\item 对可行交点去重、求凸包，并区分单点、线段和二维多边形。
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\item 枚举最远顶点对，计算 $D$、中点 $o$，检查全部顶点距 $o$ 是否不超过 $D/2$。
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\item 求最小包围圆，复核包含性和数值余量，输出清除证书。
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\end{enumerate}
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\end{algorithmblock}
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边界交点枚举需 $O(k^2)$ 次，每点校验 $k$ 条约束，主计算量为 $O(k^3)$；
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凸包最坏需 $O(k^2\log k)$，直径枚举需 $O(m^2)$。
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Welzl 算法在随机排列下具有期望线性时间，
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固定种子实现不宣称最坏时间线性。该可审计方案适合少量观测，
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当前入口限制最多 $100$ 个检测点；更大规模可替换半平面交算法。
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