mcm-26-b/docs/algo-2.md

问题二算法说明：保证接收的第二检测点选择（当前实现）

本文按当前仓库实际运行路径重写。生产入口是 src/mcm26b/planner.select_second_point，其核心选点器是 select_measurement_point；src/mcm26b/geometry/planning.py 中的 first_bearing_candidate_disk 是解析充分证书与独立校核工具， 并不在运行时被 select_second_point 调用（见 §6 核对结果）。

1. 问题、实现入口与交付物

问题二给定一个全向干扰源的首次有效示向度 $(s,\theta)$，要求给出第二个 检测点 q 的选择策略、定位效果与候选区域。两个约束必须同时满足：

1. 接收保证：q 到所有仍可能为真源的位置都不超过有效接收半径下界 R_-=1000 m，否则第二次测量可能返回 no_signal，几何收益落空；
2. 定位效果：在保证接收的候选点中，使第二次测量后的保守位置集合 尽量小。当前实现以“最坏后验最小包围半径”为主指标，以移动耗时为次指标。

层次	文件	内容
在线入口	src/mcm26b/planner/__init__.py::select_second_point	由首次 direction 构造 $K_1$，返回 SecondPointPlan
核心选点	同文件 select_measurement_point	任意候选集的保证接收盘内选点
几何证书	src/mcm26b/geometry/planning.py::first_bearing_candidate_disk	截断角域解析外包圆与安全候选盘
信念构造	src/mcm26b/belief/__init__.py::BeliefState、CandidateRegion	K_1 的保守凸外包与更新
对比框架	project/q2/{optimal,baseline,reference,region,cases,compare}.py	生产选点器 / 两种朴素基线 / 保证盘内网格参考
回归	tests/test_planner.py、tests/test_geometry_certificates.py、tests/test_belief.py	接收保证、后验收缩、near 分支、解析证书
结果	project/results/q2.{md,json}	30 个随机首次示向度算例配对结果

2. 首次观测后的候选集 K_1

2.1 精确定义

记首次检测点为 $s$、首次示向度为 $\theta$、误差半角 $\delta_{\rm eff}=1^\circ+0.005^\circ$（题设误差 + 两位小数舍入裕量）， 有效接收半径上界 R_+=1500 m，源位置圆域 $\Omega=B(0,1800)$。则

K_1=\Omega\cap W(s,\theta,\delta_{\rm eff})\cap B(s,R_+).

真实源在合法观测下必属于 $K_1$。注意 B(s,R_+) 的半径是接收半径上界： direction 读数本身就隐含测得距离不超过 $R_+$；而 B(s,R_-) 不在 K_1 之中，因为第二次是否收到信号正是本问要保证的事。

2.2 实际保守表示

在线实现不直接处理圆弧边界，而用以下外切多边形表示 $K_1$：

• 先取 \Omega 的 192 边外切正多边形 $P_M(0,1800)$；
• 再与 B(s,1500) 的 192 边外切正多边形求交；
• 最后用 Sutherland–Hodgman 逐半平面裁剪两条测向边界。

设圆盘外切多边形相对圆盘的最大径向超出为 $R(1-\cos(\pi/M))$。实现把每次 圆盘裁剪的该量累加到 CandidateRegion.slack_m，因此维护的多边形满足 $K_1\subseteq P_{\rm out}$，且 slack_m 是可审计的外包半径余量。

这条路径与问题一的区别：问题一在纯角域上枚举边界直线交点，精确处理 空集/无界；问题二候选集一开始就被 \Omega 和 B(s,R_+) 限成有界集， 因此可以只用凸多边形裁剪。角域系数与问题一 halfplanes 完全一致： \sin(\theta-\delta)x-\cos(\theta-\delta)y\le c 与 $-\sin(\theta+\delta)x+\cos(\theta+\delta)y\le c$。

3. 保证接收区域

3.1 一般集合形式

对非空紧候选集 $K$，定义

F_K(q)=\max_{g\in K}\lVert q-g\rVert,\qquad
\mathcal Q(K)=\{q:F_K(q)\le R_-\}=\bigcap_{g\in K}B(g,R_-).

F_K 是凸函数且 1-Lipschitz，\mathcal Q(K) 是闭凸集。

定理 1. \mathcal Q(K)\ne\varnothing 当且仅当 $\rho(K)=\min_q F_K(q)\le R_-$，其中 \rho(K) 是 K 的最小包围半径。

证明：\min_q F_K(q) 就是最小包围半径；存在 q 使 F_K(q)\le R_- 与 其最小值不超过 R_- 等价。证毕。

3.2 多边形外包给出的充分安全盘

设在线维护的多边形 $P_{\rm out}\supseteq K$，其最小包围圆为 $B(m,\rho_{\rm out})$。任取

q\in B(m,\ R_- - \rho_{\rm out}-\eta),\qquad \eta=10^{-3}\ {\rm m},

则对任意真源 $g\in K$：

\lVert q-g\rVert\le\lVert q-m\rVert+\lVert m-g\rVert
\le (R_--\rho_{\rm out}-\eta)+\rho_{\rm out}
=R_--\eta<1000.

实现中 safe_disk_radius(region) 直接返回 $R_--\rho_{\rm out}-10^{-3}$；因为 \rho_{\rm out} 已是包含真实候选集 的多边形最小包围半径，这个盘内的点到真实源的三角不等式上界严格小于 1000 m。1 mm 的数值余量避免浮点贴边被 r_{\rm eff}=1000 的源判成 no_signal。若该半径 $<0$，说明当前凸外包的 MEC 半径已超过 1000 m：

• 这不能证明真实 \mathcal Q(K) 为空，只说明这个充分证书不够紧；
• 实现退化为探索 MEC 圆心，并在 reason 中明确标注“可能 no_signal”。

3.3 首次截断角域的解析候选盘

完全去掉 \Omega 后，完整的截断角域 S=W(s,\theta,\delta)\cap B(s,R_+) 有一个精确最小包围圆：

c=s+a\,u(\theta),\qquad a=\frac{R_+}{2\cos\delta},\qquad
S\subseteq B(c,a),

对 0\le\delta\le45^\circ 成立。简证：设 $g=s+t,u(\theta+\varphi)$，$0\le t\le R_+$， $|\varphi|\le\delta$，则 $\lVert g-c\rVert^2=t^2+a^2-2at\cos\varphi$。固定 \varphi 时该式 关于 t 是凸二次函数，最大值在 t=0 或 t=R_+ 处：前者为 $a^2$， 后者不超过 $R_+^2+a^2-2aR_+\cos\delta=a^2$（代入 $a=R_+/(2\cos\delta)$），故 $S\subseteq B(c,a)$。最小性由三点 $s$、s+R_+u(\theta\pm\delta) 的加权距离恒等式给出：权重 $\lambda_\pm=1/(4\cos^2\delta)$、 \lambda_0=1-1/(2\cos^2\delta) 非负且和为 1，且 $c=\lambda_0s+\lambda_+p_++\lambda_-p_-$，故任何覆盖这三点的圆半径 至少为 $a$。于是

\mathcal Q_0=B(c,\ R_- - a)

是保证接收的充分候选区域。题设 \delta_{\rm eff}\le1.005^\circ 时：

误差半角	轴向中心距离 a / m	安全候选半径 R_- - a / m
1^\circ	750.114246	249.885754
1.005^\circ	750.115391	249.884609

该解析盘由 first_bearing_candidate_disk 实现并测试。它给出的是 S 的最小圆；由于 $K_1\subseteq S$，B(c,R_- - a)\subseteq\mathcal Q(K_1) 是严格充分的。实际在线路径使用比 S 更紧的 K_1 凸外包，因此其安全盘 通常大于该解析下界（例：q2-4200 的 \rho_{\rm out}=674.59 m， 安全盘半径 325.41 m，而解析下界约 249.89 m）。

4. 实际选点算法

4.1 入口伪代码

select_second_point(client, s, theta):
    region = CandidateRegion.initial(s)          # Ω ∩ B(s,1500) 的外包
    region.clip_wedge(s, theta, 1.005°)          # 交入首次角域
    return select_measurement_point(region, client.position)

select_measurement_point(region, from_position):
    (m, rho) = region.mec()                       # Welzl 最小包围圆
    safe = 1000 - rho - 1e-3
    if safe < 0: return MEC 圆心（探索，可能 no_signal）
    候选 = {m} ∪ {m + f*safe*(cos ψ, sin ψ)}
           f ∈ {0.4, 0.75, 1.0}, ψ 取 12 个均匀方向
    对每个候选 q:
        最坏后验 = max( 方向分支、near 分支 )
        分数 = (最坏后验, 移动时间)
    取分数最小的 q
    用 1/4 间距加密复核 q 的最坏后验
    return q、最坏后验半径、移动耗时、理由

当前 search.candidate_rings=(0.0,0.4,0.75,1.0)、candidate_angles=12， 去重后实际是 37 个候选点（圆心 + 3 环 × 12 方向）。所有点严格属于 保证接收盘，因此第二次测量不会因距离不足返回 no_signal。

4.2 最坏后验评估

对候选点 $q$，最坏后验半径按以下有限枚举计算：

1. 在候选集边界上以 witness_spacing_m=60 m 采样见证点 $g$（region.witnesses，含全部顶点）；
2. 对每个 $g$，真实方位 $\phi=\operatorname{bearing}(q,g)$，枚举允许的 读数区间端点 $\phi\pm\delta_{\rm eff}$；
3. 对每个端点，复制候选多边形并用 clip_wedge(q, 读数, δ_eff) 得到后验 凸外包，记录其 MEC 半径；
4. 额外处理 near 分支：以 B(q,5) 裁剪候选集，若交集非空，记录其 MEC 半径；它代表“源离第二点不超过 5 m，直接光学定位清除”的分支；
5. 以上全部有效半径取最大值，就是该候选点的评估值。

该评估是启发式上界近似：它只对目标边界采样和读数区间端点取值， 没有覆盖连续集合上所有可能读数；但它可在候选点之间做一致比较。 1/4 间距（15 m）的加密复核只提高输出数值的可信度，不改变“采样启发式” 这一事实。定理 1 保证接收，选点最优性没有全局证明。

4.3 清除与 near

若第二次测量返回 near，源在 q 的 5 m 内。由 clear_certificate： 候选集 B(q,5) 的 MEC 半径至多略大于 5 m（外包多边形余量很小）， 工程余量后仍远小于 20 m，因此可以在当前位置直接 /clear，不需要再取 第三个测向读数。若返回 direction，则用新角域更新 K 并继续按 问题三/四的定位流程处理；后验半径若仍大于 20 m，不能声称两次定位 已经完成。

5. 参数与复杂度

参数	默认值	作用
polygon_sides	192	圆盘外切多边形边数；\Omega 处径向超出约 0.24 m
bearing_rounding_margin_deg	0.005°	两位小数舍入的显式裕量
witness_spacing_m	60 m	粗评边界见证间距
candidate_rings	(0, 0.4, 0.75, 1.0)	安全盘内半径比例
candidate_angles	12	每环方向数；连同圆心共 37 个候选
near_radius_m	5 m	near 分支判定
clear_margin_m	0.5 m	清除证书的额外工程余量

若候选集顶点数为 $m$、候选点数为 $N_q$、边界见证数为 $N_g$，单次选点的 粗评估约为 $O(N_qN_g\cdot{\rm clip}+N_q{\rm MEC})$，clip 为 Sutherland–Hodgman 裁剪的 O(m) 代价；再加一次 1/4 间距加密复核。 这是明显可并行/缓存的小规模在线计算，不追求全局最优。

6. 实现核对结果：文档旧说法与当前运行路径的差异

早期说明只写到 geometry/planning.py 的解析候选盘，容易让人误以为 select_second_point 直接调用它。当前代码的实际情况是：

• select_second_point 构造 CandidateRegion（\Omega\cap B(s,1500) 的 192 边形外包）并用 clip_wedge 交入首次角域；
• 真正的选点发生在 select_measurement_point：它在上述凸外包的 MEC 保证盘内做 37 点候选评估；
• first_bearing_candidate_disk 是解析证书函数，用于证明 B(s+au,1000-a) 的充分性，并被 tests/test_geometry_certificates.py 以稠密角域采样校核；
• 生产路径不调用 first_bearing_candidate_disk，但两者给出同一性质的 保证：选出的点必能收到 direction/near。生产路径通常比解析盘更紧， 因为它利用了 K_1 完整形状而不是仅用其外包扇区。

因此，问题二的严格保证来自“安全盘点到候选集所有点的距离 $\le R_-$”， 解析盘是充分但不唯一的一种实现方式；最优性来自有限候选评估， 两者必须在说明中分开陈述。

7. 已验证结果

project/q2 在 30 个随机首次示向度算例上，用同一 $K_1$、同一评估器 对四种方法配对比较（初始 \rho 均值 681.47 m）：

方法	保证接收率	最坏后验均值	终值比 \rho'/\rho	平均移动	结论
生产选点器（保证盘内最小最坏后验）	100%	73.89 m	0.104	170.4 s	保证接收且后验最小
基线① 垂直 1000 m 最大交会角	0%	80.11 m	0.116	200.0 s	忽略接收距离，真源在远端必 no_signal
基线② 直接取 MEC 圆心	100%	340.75 m	0.500	136.3 s	保证接收但几乎不收缩
独立参考：保证盘内 9×9 网格枚举	100%	75.63 m	0.106	170.3 s	生产采样接近网格最优

代表性单例 q2-4200：

指标	数值
K_1 MEC 圆心	(1172.85, −225.68)
K_1 MEC 半径 \rho	674.59 m
保证接收盘半径	325.41 m
选中第二点	(1257.07, 88.64)
最坏后验半径	54.45 m
移动耗时	181.42 s

8. 与问题一及问题三/四的关系（核对结果）

对比	问题一	问题二（本文）	问题三/四中的去向
信息模型	纯角域 W	角域 W + 距离先验 K_1=\Omega\cap W\cap B(s,R_+)	问题三在任意后验 K_c 上重复使用；问题四再叠加朝向维度
求解方式	枚举半平面边界交点、凸包、精确直径	圆盘外切多边形 + Sutherland–Hodgman 裁剪	问题三/四沿用 CandidateRegion 凸外包
决策类型	对固定观测做几何分析	主动选择下一个测量点	问题三是多源闭环；问题四是混合源闭环
主要输出	直径与直径圆覆盖	SecondPointPlan（位置、最坏后验、移动耗时）	问题三把它推广到定位子过程；问题四把它作为联合信念选点的基础候选之一
保证口径	几何精确（在输入模型内）	接收严格保证；最坏后验是采样启发式	清除证书严格；选点与调度是启发式

关键区别：

1. 问题二不直接复用问题一的 solve，而是复用其角域语义和 smallest_enclosing_circle；候选集多出圆盘和距离上界，不能当作 “纯角域问题一”处理。
2. 问题一的输出是直径和直径圆，问题二的清除判断改用最小包围半径 $\rho\le20$；直径圆本身不参与在线清除。
3. 问题三对同一个 select_measurement_point 做任意后验集上的复用， 但同时引入网格粒子滤波处理 K 无法表示的负观测（no_signal）； 问题二没有负观测更新，因为它假设第二次测量点已在保证接收盘内。
4. 问题四不能直接使用“安全盘内必收到信号”的结论：定向源在安全盘内 也可能因朝向遮挡返回 no_signal。问题四保留问题二的安全盘作为 基础候选，但新增（位置 × 朝向）联合信念来判断可见性（见 algo-4.md）。

9. 结论

问题二的当前实现可以概括为：

• 候选集：$K_1=\Omega\cap W(s,\theta,\delta_{\rm eff})\cap B(s,R_+)$， 用 192 边形外包圆盘 + 半平面裁剪保守维护；
• 保证接收：B(m,R_--\rho_{\rm out}-10^{-3}) 内的点必不返回 no_signal；解析扇区最小圆给出可独立复核的充分候选盘 $B(s+au,1000-a)$，$a=1500/(2\cos\delta)$；
• 选点：在保证盘内取 37 个候选，以边界见证点 × 读数端点的最坏后验 包围半径为第一指标、移动时间为第二指标，选出后再做 1/4 间距加密复核；
• 清除：若第二次返回 near，直接就地清除；否则把新角域交入后验， 未达到 20 m 证书前继续测量。

严格保证与启发式性能优化在文档和代码中始终分开：接收保证有证明， 全局最优性没有证明；后者依赖自建的有限候选与固定评估口径。

参考文献

1. 全国大学生数学建模竞赛组委会. 2026 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛 B 题[Z]. 2026. 本地题面 issue/B题.pdf。
2. 模拟器配套材料. 附件 2：模拟器通信接口说明及编程指南[Z]. 2026. 本地附件 issue/附件/附件2.docx。
3. BOYD S, VANDENBERGHE L. Convex Optimization[M]. Cambridge University Press, 2004. 凸性、最坏情形与鲁棒可行性背景。
4. 本项目. docs/algo-1.md（问题一当前实现与复用差异）。
5. 本项目. docs/algo-3.md、docs/algo-4.md（选点器在后续问题中的推广与边界）。