mcm-26-b/docs/algo-1.md

问题一算法说明：有界测向误差下的角域交会、直径与最小包围圆

本文按当前仓库实现重写，替代早期只描述理论方案的版本。 问题一生产入口为 src/mcm26b/geometry/localization.py::solve，CLI 为 python -m mcm26b.geometry；问题二至四只复用其中的 smallest_enclosing_circle 与同一套角域半平面语义，并不直接调用 solve（复用与差异见 §7）。

1. 问题与实现入口

同一频道的同一静止干扰源，在若干检测点 s_i=(s_{ix},s_{iy}) 处得到示向度 $\theta_i$。题设测向误差不超过 $\pm1^\circ$，同一地点重复测量误差不变； 示向度从正东逆时针计量。问题一要求定位区域的直径，并判断“以该直径为 直径的圆”能否覆盖定位区域。

层次	文件	内容
生产内核	src/mcm26b/geometry/localization.py	Measurement、halfplanes、convex_hull、diameter、smallest_enclosing_circle、solve
CLI	src/mcm26b/geometry/__main__.py	读 JSON、可加两位小数舍入裕量、输出结果
统一入口	src/mcm26b/cli.py	mcm26b q1
对比框架	project/q1/{optimal,baseline,reference,cases,compare}.py	生产实现 / 朴素基线 / 独立大框参考解
回归	tests/test_geometry.py、tests/test_geometry_certificates.py	解析形状、真值保留、随机对拍、证书边界
结果	examples/q1/*.json、project/results/q1.md	固定解析算例与 40 个随机交会算例的配对结果

.venv/bin/python -m mcm26b.geometry examples/q1/triangle.json
.venv/bin/python -m mcm26b.geometry examples/q1/normal.json --rounding-margin-deg 0.005

--rounding-margin-deg 默认 $0$；库内在线求解默认把服务器两位小数舍入的 \le0.005^\circ 偏差计入有效半角，这是实现口径，不是题面新增误差。 问题一 CLI 只有显式传参才附加该裕量，以便同时报告纯 1^\circ 与 1.005^\circ 两套敏感性结果。

2. 模型：把角域写成半平面交

令方向向量 $u(\alpha)=(\cos\alpha,\sin\alpha)$，二维叉积 $[a,b]=a_xb_y-a_yb_x$。设误差半角为 $\delta$（题设主模型 $\delta=1^\circ$）， 真实源 g 属于闭前向角域

W(s,\theta,\delta)=\{g:\ [u(\theta-\delta),g-s]\ge0,\
[u(\theta+\delta),g-s]\le0,\ u(\theta)\cdot(g-s)\ge0\}.

对应实现中的三条半平面 a x+b y\le c 为

约束	a	b	c
下边界左侧	\sin(\theta-\delta)	-\cos(\theta-\delta)	a s_x+b s_y
上边界右侧	-\sin(\theta+\delta)	\cos(\theta+\delta)	a s_x+b s_y
前向	-\cos\theta	-\sin\theta	a s_x+b s_y

第三条前向约束在 0<\delta<90^\circ 时冗余，但在 \delta=0 时必须保留， 否则两条边界只确定一条直线而非一条射线。角域顶点按闭集处理；这是保守的 几何含义，不表示边界点仍能返回方向读数。

P=\bigcap_i W_i 是有限条闭半平面之交，因而是闭凸集；可能为空、单点、 线段、有界多边形或无界多边形。实现不做正态、均匀或独立误差假设， 只使用题面给定的有界误差。

3. 精确算法流程

solve(measurements, eps) 的步骤如下。

3.1 坐标归一化与边界交点枚举

先对所有检测点做平移和统一缩放，使数值量级接近单位坐标；结果再换回原坐标。

1. 生成 k=3n 条半平面。
2. 枚举全部边界直线对（\binom{k}{2} 对），用行列式 \Delta=ae-bd 求交点；仅在 \Delta 恰为 0 时跳过，近平行对也保留， 因为其交点可能是细长区域的合法远端顶点。
3. 保留满足全部约束的交点；可行性判定使用随坐标量级缩放的位置容差 eps * max(1, |x|, |y|)，避免大坐标下绝对残差被误判为不可行。

3.2 空集、有界与无界

• 无观测：$P=\mathbb R^2$，返回 unbounded。
• 没有任何可行边界交点：返回 empty。
• 否则检查衰退锥 \mathcal R=\{d:Ad\le0\} 是否存在非零方向。二维情况下 该锥若非零必含一条与某条有效边界平行的极射线；实现只需检查每条约束的 两个切向 $(b,-a)$、(-b,a) 是否满足全部齐次不等式 $a d_x+b d_y\le 2\times10^{-14}$。阈值取得比位置容差紧得多，避免把 极细长有界区域误判成无界。
• 存在非零衰退方向时返回 unbounded，直径为 null 且显式置 diameter_infinite=true，不伪造有限数值。

3.3 凸包与状态分类

将可行交点去重后，用 Andrew 单调链求凸包（逆时针、无重复首尾点）。 按顶点数与维数返回：

status	含义	直径	最小包围圆
empty	观测不相容	未定义（null）	不计算
unbounded	存在非零衰退方向	$+\infty$（null + 标志）	不计算
point	单点	0	半径 0
segment	线段	两端点距离	半径 = 直径 / 2
polygon	二维有界凸多边形	见 §3.4	见 §3.6

3.4 直径：只需枚举顶点对（已证明）

定理 1. 若 P=\operatorname{conv}(V) 非空有界，则 $D(P)=\max_{v_i,v_j\in V}\lVert v_i-v_j\rVert$。

证明：任一 x,y\in P 写成凸组合后， $x-y=\sum_{i,j}\lambda_i\mu_j(v_i-v_j)$，由三角不等式有 $\lVert x-y\rVert\le\max_{i,j}\lVert v_i-v_j\rVert$，而最远顶点对本身 属于 $P$，故上界可达。实现直接枚举顶点对，复杂度 $O(m^2)$；单点返回 0， 线段返回端点距离。

3.5 直径圆覆盖：唯一候选圆心是直径中点（已证明）

定理 2. 取任意一组最远顶点 $a,b$，$D=\lVert a-b\rVert$， $o=(a+b)/2$。存在直径为 D 的覆盖圆，当且仅当所有顶点 v_i 满足 $\lVert v_i-o\rVert\le D/2$。

证明：若半径 D/2 的圆心 z 同时包含 $a,b$，则 $D\le\lVert a-z\rVert+\lVert z-b\rVert\le D$，两个不等式都必须取等号， 故 z 只能在两点中点。圆盘是凸集，检查全部顶点即检查整个凸包。

实现输出 diameter_circle：圆心、半径、全部顶点到圆心的最大距离、 covers 布尔值、最大超出量 max_excess_m、圆外顶点索引 outside_vertex_indices 和反例顶点 witness_vertex。witness_vertex 是一份可独立复核的覆盖失败证据；max_excess_m 不能为负，因为最远顶点 本身在圆周上（精确算术下）。

3.6 最小包围圆与 20 m 清除证书

对凸包求最小包围圆 $\rho(P)$。实现采用 Welzl 随机增量算法的显式栈版本： 固定随机种子使结果可复现；三个强制边界点使用外接圆；输出前再对全部 顶点复核一次。内部有 O(m^4) 的 1/2/3 点支撑圆枚举参考实现 （_enclosing_circle_reference）用于单测对拍。

在最小包围圆中心 $m$、半径 \rho 处，若 $\rho+\varepsilon_m\le20$，则可直接以 m 为清除点：任意真源 $g\in P\subseteq B(m,\rho)$，到 m 的距离不超过 $\rho$。实现输出 minimum_enclosing_circle、guaranteed_clearable_at_mec_center 以及 clearance_certificate（含数值余量和剩余裕量）。

注意：直径 D\le40 只是“可能一次清除”的必要条件，不是充分条件； 三角形反例中 D=40 而 $\rho=23.094>20$。

4. 伪代码

solve(measurements):
    if measurements 为空: return unbounded
    平移/缩放，生成每条读数的三条半平面
    V = []
    for 每一对边界直线:
        求交点 p
        if p 满足全部半平面: V.append(p)
    if V 为空: return empty
    if 存在非零衰退切向 d: return unbounded
    H = convex_hull(V)
    D, (a,b) = argmax_{v_i,v_j∈H} |v_i-v_j|
    o = (a+b)/2
    covers = max_{v∈H} |v-o| <= D/2
    输出 diameter、diameter_circle、witness
    (m,rho) = Welzl_MEC(H)
    输出 minimum_enclosing_circle 与 rho+eps<=20 清除证书

5. 复杂度与数值实现

步骤	复杂度
生成半平面	$O(k)$，k=3n
边界交点枚举与可行性判定	O(k^3)
凸包	O(k^2\log k) 最坏
直径	O(m^2)
直径圆检查	O(m)
Welzl 最小圆	随机排列下期望 $O(m)$；固定排列不声称最坏线性

主要数值约定：

• 坐标归一化后计算，输出换回原坐标并重新复核包含性；
• 仅对精确平行直线对跳过求交；近平行对保留；
• 位置可行性容差随坐标幅值缩放；衰退锥判定使用独立紧阈值；
• solve 主动限制最多 100 个检测点，超过时要求改用半平面交算法；
• 所有输出用 null/显式标志表示空集和无界，不写非法 JSON 浮点数。

6. 已验证算例与结果

固定解析算例（examples/q1，当前代码实测）：

算例	状态	直径 (m)	MEC 半径 (m)	直径圆覆盖	最大超出 (m)	MEC 可直接清除
normal 三点交会	polygon	26.986	13.943	否（2 个圆外顶点）	3.964	是
triangle 等边三角形反例	polygon	40.000	23.094	否（1 个圆外顶点）	14.641	否
segment 零误差退化线段	segment	100.000	50.000	是	0.000	否
poor 近共线检测点	unbounded	—	—	—	—	—
empty 不相容观测	empty	—	—	—	—	—

triangle 的三个顶点是 $(0,0)$、$(40,0)$、$(20,20\sqrt3)$：以直径 AB 为直径的圆圆心 $(20,0)$、半径 20，到 C 的距离为 $20\sqrt3>20$， 故不能覆盖；最小包围圆半径 $40/\sqrt3\approx23.094$，也不能一次清除。 其中 A=(0,0) 坐标是浮点下的 $-6.4\times10^{-13}$，上表按解析值取整。

既有官方演练观测（案例 U5ZW-P9KN-TCAG-R7ST，不公开源坐标、未执行清除） 的复算结果：

误差半角	直径 (m)	MEC 半径 (m)	直径圆最大超出 (m)
1^\circ	23.996723	12.068583	0.604002
1.005^\circ	24.119088	12.130377	0.608486

两种口径下直径圆都不覆盖定位区域，MEC 半径都小于 20 m，但该演练没有 真实清除动作，不能据此声称实测定位误差或全清成功率。

project/q1 的 40 个随机交会算例（冻结算例与独立参考解对拍）：

方法	状态准确率	直径平均绝对误差	直径圆覆盖准确率	平均耗时
生产 solve	100%	0.000 m	100%	0.086 ms
朴素基线（网格 + 包围盒对角线）	100%	4.583 m	52.5%	15.932 ms

7. 与问题二/三/四当前实现的复用关系和差异（核对结果）

问题一给出的几何内核是后续所有几何决策的基础，但复用方式是“语义 + 最小圆函数”， 不是直接调用 solve。代码层面的核对结果如下。

后续问题	实际复用了什么	实际没有复用 / 做了什么替换
问题二（planner.select_second_point）	同一套角域半平面语义；smallest_enclosing_circle 求候选集 MEC；用 MEC 半径构造保证接收盘	不调用 solve；候选集不是纯角域交，而是 $K_1=\Omega\cap W\cap B(s,1500)$；用 192 边形外包圆盘 + Sutherland–Hodgman 裁剪，而不是枚举直线交点；不计算直径，也不使用“直径中点圆”判据
问题三（belief.CandidateRegion、planner.bayes_loop）	复用 smallest_enclosing_circle；角域边界公式与问题一相同；MEC 作为清除证书	在线信念是有界凸外包多边形，圆盘边界是外切多边形而非精确曲线；不再判无界；no_signal 的负观测由网格粒子滤波处理（问题一模型里没有负观测）；不用直径，而用“MEC 半径 + 外包余量 + 工程余量 $\le20$”
问题四（planner.DirectionalExtension、belief.joint）	继续复用问题一的 MEC 与角域语义；（位置 × 朝向）联合信念也建立在同一网格上	定向源的 no_signal 不能排除位置，不能沿用问题一/三的纯角度或全向距离解释；覆盖语义改为 forward_half_disk（见 algo-4.md）

代码证据：

• src/mcm26b/belief/__init__.py 只从 geometry.localization 导入 smallest_enclosing_circle；
• src/mcm26b/particles.py 同样只导入 smallest_enclosing_circle；
• 生产/运行代码中 geometry.localization.solve的调用者只有geometry/__main__.py和project/q1/optimal.py`，即问题一 CLI 与其 对比框架；测试文件会直接调用它做解析与随机对拍，不在此列；
• 在线 clip_wedge 的半平面系数与问题一 halfplanes 一致，但作用在 凸多边形裁剪流程上；solve 的“纯角域 + 精确顶点枚举 + 无界判定” 是针对问题一的一站式分析工具，不适合直接嵌入带圆盘、负观测和状态更新 的在线闭环。

差异一句话总结： 问题一回答“固定角域观测下源可能在哪里、直径圆能否覆盖”， 是纯几何精确解；问题二至四把其中的角域半平面和最小圆升级为“带距离先验的 保守信念 + 主动动作 + 证据证明”的闭环，问题三再加非凸负观测，问题四再加 朝向维度。

8. 结论与适用边界

问题一的当前实现是：三条半平面 → 可行顶点枚举/凸包 → 衰退锥判有界 → 顶点对精确直径 → 任意直径中点唯一候选的覆盖检验 → Welzl 最小包围圆与 20 m 证书。其结论只依赖题面有界误差，不引入误差分布假设。空集、无界、 点、线段和多边形状态都有明确输出。

未解决问题一的数值敏感性时，不应把在线闭环里的外包多边形半径直接当成 问题一的精确直径；两者口径不同。反过来，在线闭环也不能把 solve 直接套在 K_1 上，因为 K_1 含圆盘和距离上界，边界可能含圆弧。

参考文献

1. 全国大学生数学建模竞赛组委会. 2026 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛 B 题：无线电干扰源的快速自动定位与清除[Z]. 2026. 本地题面 issue/B题.pdf。
2. BOYD S, VANDENBERGHE L. Convex Optimization[M]. Cambridge University Press, 2004. 凸集、半平面与凸组合背景。
3. WELZL E. Smallest enclosing disks (balls and ellipsoids)[C]//New Results and New Trends in Computer Science, LNCS 555, 1991: 359–370. 随机增量最小包围圆。
4. 本项目. docs/algo-2.md（问题二当前实现）. 问题二对本文半平面语义与最小圆的复用说明。
5. 本项目. docs/algo-3.md、docs/algo-4.md. 在线闭环中的保守信念、负观测与联合信念差异。