mcm-26-b/docs/问题一解答.md

B题问题一 交会定位区域的直径与圆覆盖

问题一可以转化为二维半平面交问题：每次带误差的示向度给出一个前向角域，多次测量的交集就是定位区域。对于非空有界定位多边形，直径等于最远顶点对的距离。**以这个直径为直径的圆不一定覆盖定位区域。**判断是否能覆盖，应检验最远顶点对中点到所有顶点的距离，或直接计算最小包围圆。

代码、合成算例与官方演练观测均已实现和保存。本解答只解决问题一；在官方问题3演练中采集同一频道的三个检测点，用于检验交会计算，没有执行全域搜索清除任务，未使用正式测试。

一、题目假设和模型边界

检测点为 $S_i=(s_{ix},s_{iy})$，测得示向度为 $\theta_i$，误差半角为 $\delta=1^\circ$。角度从正东开始逆时针计算。同一频道对应同一干扰源；位置不变时重复检测不会消除误差。

本问求附录2交会法所定义的多边形，因此主模型只取前向角域之交，不额外加入1800米圆域或1500米接收上界。这些先验可用于后续搜索定位，但加入圆盘后边界可能包含圆弧，不能仍按原问题的纯多边形处理。本程序也不以图像视窗作为真实边界。

模拟器示向度保留两位小数，正文规定误差在 \pm 1^\circ 内。本次主计算使用 $\pm 1^\circ$；如需把独立舍入误差也纳入保守预算，可用 --rounding-margin-deg 0.005 显式追加半角，输出会记录实际误差半角。这是额外的工程裕量，不是题面规定。

二、从测向角域得到线性约束

设二维叉积 $[a,b]=a_xb_y-a_yb_x$，令

u_i^-=(\cos(\theta_i-\delta),\sin(\theta_i-\delta)),\qquad
u_i^+=(\cos(\theta_i+\delta),\sin(\theta_i+\delta)).

未知源位置 X=(x,y) 必须满足

[u_i^-,X-S_i]\ge0,\qquad [u_i^+,X-S_i]\le0.

这两条不等式选择两条边界射线之间的前向角域，而不是无限延伸的两条直线。写为标准形式 $a_jx+b_jy\le c_j$：

\begin{aligned}
\sin(\theta_i-\delta)x-\cos(\theta_i-\delta)y
&\le \sin(\theta_i-\delta)s_{ix}-\cos(\theta_i-\delta)s_{iy},\\
-\sin(\theta_i+\delta)x+\cos(\theta_i+\delta)y
&\le-\sin(\theta_i+\delta)s_{ix}+\cos(\theta_i+\delta)s_{iy}.
\end{aligned}

程序另外保留 u_i\cdot(X-S_i)\ge 0 的前向约束。当 0<\delta<90^\circ 时它是冗余的，但可让 \delta=0 的扩展情形正确表示射线，而不是整条直线。实现支持 $0\le\delta<90^\circ$，题目算例始终使用 $1^\circ$。

定位区域为

P=\bigcap_{i=1}^{n}W_i=\{X:AX\le b\}.

通过向量而不是简单的角度大小比较处理约束，可自然处理 359^\circ 与 0^\circ 跨界问题。

三、可复现的算法

1. 验证输入为有限数值，将检测点平移至其均值附近并按尺度归一化，减小大坐标带来的抵消误差。
2. 构造所有半平面；枚举每对不平行边界直线的交点。
3. 只保留满足全部不等式的交点；去重后用单调链算法求凸包，并保留点、线段等退化结果。
4. 判断有无非零方向 d 满足 $Ad\le 0$。若存在，任一可行点沿该方向无限前进仍可行，区域无界，直径为无穷大。
5. 对有界非空区域，枚举凸包顶点对，得到直径及一对最远顶点。
6. 用任意一组最远顶点对中点与半径 D/2 检验圆覆盖；失败时返回圆外顶点及最大超出距离。用 Welzl 随机增量法求最小包围圆，输出 20 米清除半径余量，以区分“直径圆覆盖”和“保证清除”。

非空前向角域的交集不会包含一条双向无限直线，即它是尖的多面集。这保证非空区域存在极点，所以在本模型中可以通过是否存在可行边界交点来判空。无观测时需单独返回整个平面无界，不能依据“没有顶点”误判为空集。

二维非平凡衰退锥若存在，至少有一条边界方向与某个约束边界平行。因此检查每条边界的两个切向方向是否满足 $Ad\le 0$，即可判定无界性。无界情形中输出的有限顶点仅是区域的极点，不构成完整有限多边形。

伪代码如下：

输入同一频道的测量列表 M
若 M 为空：返回无界
H ← 将每次测量转换为前向角域的半平面约束
V ← 所有边界对交点中满足 H 的点
若 V 为空：返回空集
若存在非零 d 满足 H 的齐次约束 A d <= 0：返回无界
V ← 去重并排序为凸包
(D, A, B) ← V 中的最远顶点对
O ← (A+B)/2
覆盖成立 <- max_{v in V} ||v-O|| <= D/2
返回 V、D、A、B、O、覆盖判断和最小包围圆

设半平面数为 $k$（本实现中 $k=3n$），最终顶点数为 $m$。枚举交点并检验全部约束需要 $O(k^3)$，直径计算需要 $O(m^2)$，无界性检查需要 $O(k^2)$。可行交点排序的代价上界为 $O(k^2\log k)$，临时交点存储上界为 $O(k^2)$。新增直径圆证据只需 O(m) 遍历。

最小包围圆改为 Welzl 随机增量算法：先打乱点顺序；已有圆包含新点则保留，否则强制新点成为边界点并解更小子问题；二维最多需要 3 个支撑点。3 个强制边界点必须用外接圆，不能误用这 3 点的无约束最小圆。实现以显式栈代替递归，防止大量点超过 Python 递归深度。固定随机种子使输出可复现，理论期望线性指随机排列下的期望，不是该固定种子的最坏复杂度保证。对外函数内部也做坐标归一化，最后重新计算所有点到输出圆心的最大距离，保持数值包含性。旧 O(m^4) 支撑点枚举保留为独立测试基准。

半平面交与直径仍采用容易审查的小规模算法，未为少量测点引入更复杂的旋转卡壳。大规模在线数据可后续替换半平面交，不能把MEC局部提速等同于整个求解器线性复杂度。

四、为什么只枚举顶点对就能得到直径

有界凸多边形内任意两点可表示为顶点的凸组合：

x=\sum_i\lambda_i v_i,\quad y=\sum_j\mu_jv_j,\quad
\lambda_i,\mu_j\ge0,\quad\sum_i\lambda_i=\sum_j\mu_j=1.

由三角不等式，

\lVert x-y\rVert=\left\lVert\sum_{i,j}\lambda_i\mu_j(v_i-v_j)\right\rVert
\le\sum_{i,j}\lambda_i\mu_j\lVert v_i-v_j\rVert
\le\max_{i,j}\lVert v_i-v_j\rVert.

最远顶点对本身又属于区域，因此上界可以达到：

\boxed{D(P)=\max_{i,j}\lVert v_i-v_j\rVert.}

点的直径为0，线段的直径为端点距离。对空集，本程序约定直径未定义，输出null；对无界区域，输出 diameter_infinite=true，不把Infinity写入不兼容标准的JSON数值。

五、直径圆能否覆盖的充分必要条件

取任意最远顶点对 $A,B$，距离为 $D$，令 $O=(A+B)/2$。如果半径为 D/2 的某个圆能够同时包含 A 和 $B$，则

D=\lVert A-B\rVert\le\lVert A-O'\rVert+\lVert O'-B\rVert\le D.

两个不等式只能同时取等号，因此其圆心只能是O。又因为圆盘是凸集，包含全部顶点等价于包含整个多边形。所以

\boxed{\text{存在直径为 }D\text{ 的覆盖圆}\iff
\max_{v\in V}\lVert v-(A+B)/2\rVert\le D/2.}

不必尝试移动直径圆，也不必尝试其他最远点对：若这个唯一可能的圆心不满足覆盖，就不存在直径为 D 的覆盖圆。最小包围圆半径 \rho 满足 $\rho\ge D/2$，当且仅当 \rho=D/2 时存在这样的覆盖圆。

代码的 diameter_circle.max_excess_m 为 $\max_{v\in V}\lVert v-O\rVert-D/2$；超出数值容差时返回 witness_vertex 和从 0 开始的 outside_vertex_indices。因此输出既有判断，也有可独立复核的反例。判定中使用 coverage_tolerance_m，边界附近的布尔结果属于浮点容差下结论。

保证清除使用 MEC 半径加数值余量 $\varepsilon_m$，再与 20 米比较。clearance_certificate.remaining_margin_m 对应 $20-(\rho+\varepsilon_m)$；非负时支持当前圆心清除，负数时不作此保证。这里的证书以观测误差界正确、真源属于 P 和浮点几何计算可靠为前提，不是实际清除成功记录。数学上所有可行清除中心构成 $\bigcap_{v\in V}B(v,20)$，MEC 圆心是充分选择；后续可在此集合中另选距离机器狗最近的点。

六、满足题设 \pm 1^\circ 的具体反例

取三个检测点及示向度：

检测点	x（米）	y（米）	示向度
S_1	-1000	0	1^\circ
S_2	540	-500\sqrt{3}	121^\circ
S_3	520	520\sqrt{3}	241^\circ

三个角域的交集恰为等边三角形，顶点是 $(0,0)$、$(40,0)$、$(20,20\sqrt{3})$。每个角域的一条边界对应三角形的一条边，另一条边界在三角形外侧，不切去三角形内部。可将真实源设在三角形中心 $(20,20\sqrt{3}/3)$，其真实方位与上述读数的偏差均小于 $1^\circ$，且三个检测距离都小于 1500 米。因此这不是脱离测向模型的任意图形反例。

它的直径为 D=40 米；直径圆半径为 20 米。以底边两端为最远点对，圆心为 $(20,0)$，到第三个顶点的距离是 20\sqrt{3}\approx 34.6410 米，因此不能覆盖。其最小包围圆为

O_*=(20,20\sqrt{3}/3),\qquad \rho_*=40/\sqrt{3}\approx 23.0940\,\text{米}>20\,\text{米}.

图中蓝色为定位区域，红色虚线为直径圆，绿色实线为最小包围圆。黑色加号只在合成场景中表示已知真源。

七、官方演练数据验证

2026年9月10日，界面明确为“问题3 演练 测试”后，通过公开HTTP接口采集。案例编码为 U5ZW-P9KN-TCAG-R7ST，选取频道9。

检测点	x（米）	y（米）	示向度
S_1	0	0	131.52^\circ
S_2	-613.761885	391.530775	34.92^\circ
S_3	-314.272134	656.683353	227.19^\circ

重复在 S_1 测量一次仍返回 $131.52^\circ$。这次重复观测只用于核查原地误差固定，没有作为新的独立测点加入模型。

使用 \pm 1^\circ 得到四边形，其顶点按逆时针顺序为：

顶点	x（米）	y（米）
V1	−460.698306	502.411776
V2	−456.424236	497.750714
V3	−440.569893	515.476604
V4	−441.370356	516.413163

计算结果：D=23.996723米，最远点对为V1和V3；直径圆中心为(−450.634100,508.944190)，半径11.998362米，但最远顶点到这个圆心的距离为12.602364米，所以该圆不能覆盖区域。最小包围圆中心为(−449.976955,507.952835)，半径12.068583米。

共发送14个被接受的请求：1次进入、12次检测、1次退出，最终虚拟时间293.602198秒。日志末尾为 /exit、accepted=true、exit_reason=user_exit；界面显示测试正常结束。没有调用 /clear，所以这里不能将演练结束解读为“清除了所有源”。官方没有公开该源的坐标真值，本例验证的是观测交会计算、接口适配和几何自洽性，不声称验证了真实位置误差。

原始请求响应保存在 output/q1/practice/*_actions.json，保留了复算所需的请求ID、位置、频道与时间；三点观测及其计算结果保存在 *_observations.json。没有读取或解密模拟器隐藏场景数据。

八、运行方式和代码入口

核心算法仅用Python标准库，支持Python3.10及以上；工程依赖仅 requests（测试另需 pytest）。在项目根目录运行：

uv run python -m mcm26b.geometry examples/q1/triangle.json -o output/q1/triangle_recomputed.json
uv run mcm26b q1 examples/q1/normal.json
uv run python -m mcm26b.geometry examples/q1/normal.json --rounding-margin-deg 0.005
uv run pytest
uv run python scripts/build_q1_demo.py
uv run python scripts/benchmark_q1.py

输入JSON的最小格式：

{
  "measurements": [
    {"x": 0, "y": 0, "bearing_deg": 131.52, "half_angle_deg": 1},
    {"x": -613.7618853216438, "y": 391.53077545248124, "bearing_deg": 34.92},
    {"x": -314.2721344680094, "y": 656.6833525352392, "bearing_deg": 227.19}
  ]
}

省略 half_angle_deg 时默认为1。输出包含区域状态、顶点、直径、最远点对、直径圆覆盖判断、反例证据、最小包围圆和清除余量。CLI的 error_policy 记录追加裕量与每条观测最终半角；默认追加0，不改变输入口径。tolerance_m 是归一化容差换算回米的尺度；核心算法不接收真源坐标，样例中的 target 只用于合成数据的可视化与测试。空集和无界区域不输出有限圆及清除证书。

文件	职责
src/mcm26b/geometry/localization.py	测向角域、半平面、区域分类、直径和包围圆
src/mcm26b/geometry/planning.py	问题二首次测向的距离保证候选圆盘；独立于问题一模型
src/mcm26b/geometry/__main__.py、src/mcm26b/cli.py	JSON命令行输入输出
tests/test_geometry.py	解析反例、随机几何、独立裁剪对照与退化测试
tests/test_practice_replay.py	离线复算演练计时与观测结果，不连接模拟器
tests/test_geometry_certificates.py	增量圆与穷举法对照、覆盖证据、清除阈值、舍入选项及首次选点证书
scripts/benchmark_q1.py	局部性能对比与官方演练误差界敏感性复算
scripts/capture_practice.py	在已经启动且已核验的演练中采集少量测向
scripts/build_q1_demo.py	用Python算法生成案例、结果和交互图数据
scripts/assets/q1.template.html	可视化源模板；不另写一套求解算法
output/q1/question1.html	可直接打开的离线交互式模拟，所有数据已内嵌

如需再次采集，先在模拟器明确启动“问题3演练测试”，等待接口就绪，读取案例编码，然后运行：

uv run python scripts/capture_practice.py --robot-id 你的参赛队号 --practice-confirmed --case-code 界面中的演练案例编码

接口协议没有返回演练／正式模式的字段，--practice-confirmed 是操作者确认已核验界面的显式参数，不能替代界面核查。采集脚本没有启动测试的功能，没有正式模式选项，只会调用 /enter、/measure、/exit。禁止在正式测试会话中运行。

九、验证范围和数值限制

20项自动化测试通过，包括100组随机有界案例、60组与独立矩形裁剪实现的对照、250组增量圆与穷举圆对照、1500个共圆点及重复点/共线点、平移旋转缩放不变性，以及已保存演练日志的逐动作计时复算。新增测试还覆盖清除距离20米临界值、显式舍入选项、首次安全候选圆盘边界和零半径情形。已测试一组有限但直径超过10亿米的近乎平行测向，确认不会因为显示范围而被截断成小区域。

本次离线优化报告保存在 output/q1/optimization_report.json。同一演练观测的敏感性结果如下，原始记录不改写：

误差半角	直径 / 米	MEC半径 / 米	直径圆最大超出 / 米	含数值裕量的清除余量 / 米
$1^\circ$（默认题设）	23.996723	12.068583	0.604002	7.931415
$1.005^\circ$（额外舍入）	24.119088	12.130377	0.608486	7.869621

在本机60个共圆点的局部基准中，旧MEC枚举中位约306.5毫秒，新算法约0.096毫秒；4点时旧法约0.022毫秒、新法约0.029毫秒，小规模没有提速优势。这些是特定输入的局部实测，不是普遍倍率保证，也不代表网络、全清闭环或官方成绩。三点演练的完整问题一求解中位约0.099毫秒。运行基准脚本可以重新生成当前机器的报告。

浮点计算不是精确算术。实现使用归一化位置容差 $10^{-9}$、平行行列式阈值 10^{-12} 和较严格的衰退方向角度容差。极端近乎平行、差异接近机器精度或接近退化的输入可能需要高精度几何谓词；结果接近临界阈值时应做容差敏感性检查，而不把最后若干小数位当作严格证明。正常题设坐标和测向精度下，本次案例远离这些数值极限。

交互图数据全部由同一Python求解器生成。已在最小DOM测试环境中检查32个“案例／测点数量／视图”组合，未发现缺失控件或NaN等非法图形坐标；并对360与736像素、明暗两种配色的SVG作静态图形检查。浏览器工具对本地文件URL的访问被策略拦截，因此没有声称完成真实浏览器的HTML/CSS布局验证。离线页面和对话内可视化均已生成；静态PNG可作为直接查看的补充。

几何算法参考：CGAL最小包围圆定义与Welzl增量方法；McGill旋转卡壳说明。本次代码仅用Python标准库，不依赖CGAL。