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# 问题一算法说明：有界测向误差下的角域交会、直径与最小包围圆
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> 本文按**当前仓库实现**重写，替代早期只描述理论方案的版本。
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> 问题一生产入口为 `src/mcm26b/geometry/localization.py::solve`，CLI 为
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> `python -m mcm26b.geometry`；问题二至四只复用其中的
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> `smallest_enclosing_circle` 与同一套角域半平面语义，并不直接调用
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> `solve`（复用与差异见 §7）。
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## 1. 问题与实现入口
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同一频道的同一静止干扰源，在若干检测点 $s_i=(s_{ix},s_{iy})$ 处得到示向度
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$\theta_i$。题设测向误差不超过 $\pm1^\circ$，同一地点重复测量误差不变；
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示向度从正东逆时针计量。问题一要求定位区域的直径，并判断“以该直径为
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直径的圆”能否覆盖定位区域。
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| 层次 | 文件 | 内容 |
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| 生产内核 | `src/mcm26b/geometry/localization.py` | `Measurement`、`halfplanes`、`convex_hull`、`diameter`、`smallest_enclosing_circle`、`solve` |
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| CLI | `src/mcm26b/geometry/__main__.py` | 读 JSON、可加两位小数舍入裕量、输出结果 |
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| 统一入口 | `src/mcm26b/cli.py` | `mcm26b q1` |
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| 对比框架 | `project/q1/{optimal,baseline,reference,cases,compare}.py` | 生产实现 / 朴素基线 / 独立大框参考解 |
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| 回归 | `tests/test_geometry.py`、`tests/test_geometry_certificates.py` | 解析形状、真值保留、随机对拍、证书边界 |
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| 结果 | `examples/q1/*.json`、`project/results/q1.md` | 固定解析算例与 40 个随机交会算例的配对结果 |
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```bash
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.venv/bin/python -m mcm26b.geometry examples/q1/triangle.json
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.venv/bin/python -m mcm26b.geometry examples/q1/normal.json --rounding-margin-deg 0.005
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```
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`--rounding-margin-deg` 默认 $0$；库内在线求解默认把服务器两位小数舍入的
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$\le0.005^\circ$ 偏差计入有效半角，这是**实现口径**，不是题面新增误差。
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问题一 CLI 只有显式传参才附加该裕量，以便同时报告纯 $1^\circ$ 与
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$1.005^\circ$ 两套敏感性结果。
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## 2. 模型：把角域写成半平面交
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令方向向量 $u(\alpha)=(\cos\alpha,\sin\alpha)$，二维叉积
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$[a,b]=a_xb_y-a_yb_x$。设误差半角为 $\delta$（题设主模型 $\delta=1^\circ$），
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真实源 $g$ 属于闭前向角域
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$$
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W(s,\theta,\delta)=\{g:\ [u(\theta-\delta),g-s]\ge0,\
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[u(\theta+\delta),g-s]\le0,\ u(\theta)\cdot(g-s)\ge0\}.
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$$
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对应实现中的三条半平面 $a x+b y\le c$ 为
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| 约束 | $a$ | $b$ | $c$ |
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| 下边界左侧 | $\sin(\theta-\delta)$ | $-\cos(\theta-\delta)$ | $a s_x+b s_y$ |
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| 上边界右侧 | $-\sin(\theta+\delta)$ | $\cos(\theta+\delta)$ | $a s_x+b s_y$ |
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| 前向 | $-\cos\theta$ | $-\sin\theta$ | $a s_x+b s_y$ |
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第三条前向约束在 $0<\delta<90^\circ$ 时冗余，但在 $\delta=0$ 时必须保留，
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否则两条边界只确定一条直线而非一条射线。角域顶点按闭集处理；这是保守的
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几何含义，不表示边界点仍能返回方向读数。
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$P=\bigcap_i W_i$ 是有限条闭半平面之交，因而是闭凸集；可能为空、单点、
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线段、有界多边形或无界多边形。实现不做正态、均匀或独立误差假设，
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只使用题面给定的有界误差。
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## 3. 精确算法流程
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`solve(measurements, eps)` 的步骤如下。
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### 3.1 坐标归一化与边界交点枚举
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先对所有检测点做平移和统一缩放，使数值量级接近单位坐标；结果再换回原坐标。
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1. 生成 $k=3n$ 条半平面。
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2. 枚举全部边界直线对（$\binom{k}{2}$ 对），用行列式
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$\Delta=ae-bd$ 求交点；仅在 $\Delta$ 恰为 $0$ 时跳过，近平行对也保留，
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因为其交点可能是细长区域的合法远端顶点。
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3. 保留满足全部约束的交点；可行性判定使用随坐标量级缩放的位置容差
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`eps * max(1, |x|, |y|)`，避免大坐标下绝对残差被误判为不可行。
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### 3.2 空集、有界与无界
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- 无观测：$P=\mathbb R^2$，返回 `unbounded`。
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- 没有任何可行边界交点：返回 `empty`。
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- 否则检查衰退锥 $\mathcal R=\{d:Ad\le0\}$ 是否存在非零方向。二维情况下
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该锥若非零必含一条与某条有效边界平行的极射线；实现只需检查每条约束的
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两个切向 $(b,-a)$、$(-b,a)$ 是否满足全部齐次不等式
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$a d_x+b d_y\le 2\times10^{-14}$。阈值取得比位置容差紧得多，避免把
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极细长有界区域误判成无界。
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- 存在非零衰退方向时返回 `unbounded`，直径为 `null` 且显式置
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`diameter_infinite=true`，不伪造有限数值。
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### 3.3 凸包与状态分类
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将可行交点去重后，用 Andrew 单调链求凸包（逆时针、无重复首尾点）。
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按顶点数与维数返回：
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| `status` | 含义 | 直径 | 最小包围圆 |
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| --- | --- | --- | --- |
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| `empty` | 观测不相容 | 未定义（`null`） | 不计算 |
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| `unbounded` | 存在非零衰退方向 | $+\infty$（`null` + 标志） | 不计算 |
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| `point` | 单点 | 0 | 半径 0 |
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| `segment` | 线段 | 两端点距离 | 半径 = 直径 / 2 |
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| `polygon` | 二维有界凸多边形 | 见 §3.4 | 见 §3.6 |
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### 3.4 直径：只需枚举顶点对（已证明）
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**定理 1.** 若 $P=\operatorname{conv}(V)$ 非空有界，则
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$D(P)=\max_{v_i,v_j\in V}\lVert v_i-v_j\rVert$。
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证明：任一 $x,y\in P$ 写成凸组合后，
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$x-y=\sum_{i,j}\lambda_i\mu_j(v_i-v_j)$，由三角不等式有
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$\lVert x-y\rVert\le\max_{i,j}\lVert v_i-v_j\rVert$，而最远顶点对本身
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属于 $P$，故上界可达。实现直接枚举顶点对，复杂度 $O(m^2)$；单点返回 0，
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线段返回端点距离。
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### 3.5 直径圆覆盖：唯一候选圆心是直径中点（已证明）
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**定理 2.** 取任意一组最远顶点 $a,b$，$D=\lVert a-b\rVert$，
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$o=(a+b)/2$。存在直径为 $D$ 的覆盖圆，当且仅当所有顶点 $v_i$ 满足
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$\lVert v_i-o\rVert\le D/2$。
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证明：若半径 $D/2$ 的圆心 $z$ 同时包含 $a,b$，则
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$D\le\lVert a-z\rVert+\lVert z-b\rVert\le D$，两个不等式都必须取等号，
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故 $z$ 只能在两点中点。圆盘是凸集，检查全部顶点即检查整个凸包。
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实现输出 `diameter_circle`：圆心、半径、全部顶点到圆心的最大距离、
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`covers` 布尔值、最大超出量 `max_excess_m`、圆外顶点索引
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`outside_vertex_indices` 和反例顶点 `witness_vertex`。`witness_vertex`
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是一份可独立复核的覆盖失败证据；`max_excess_m` 不能为负，因为最远顶点
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本身在圆周上（精确算术下）。
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### 3.6 最小包围圆与 20 m 清除证书
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对凸包求最小包围圆 $\rho(P)$。实现采用 Welzl 随机增量算法的显式栈版本：
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固定随机种子使结果可复现；三个强制边界点使用外接圆；输出前再对全部
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顶点复核一次。内部有 $O(m^4)$ 的 1/2/3 点支撑圆枚举参考实现
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（`_enclosing_circle_reference`）用于单测对拍。
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在最小包围圆中心 $m$、半径 $\rho$ 处，若
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$\rho+\varepsilon_m\le20$，则可直接以 $m$ 为清除点：任意真源
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$g\in P\subseteq B(m,\rho)$，到 $m$ 的距离不超过 $\rho$。实现输出
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`minimum_enclosing_circle`、`guaranteed_clearable_at_mec_center` 以及
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`clearance_certificate`（含数值余量和剩余裕量）。
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注意：直径 $D\le40$ 只是“可能一次清除”的必要条件，**不是充分条件**；
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三角形反例中 $D=40$ 而 $\rho=23.094>20$。
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## 4. 伪代码
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```text
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solve(measurements):
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if measurements 为空: return unbounded
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平移/缩放，生成每条读数的三条半平面
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V = []
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for 每一对边界直线:
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求交点 p
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if p 满足全部半平面: V.append(p)
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if V 为空: return empty
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if 存在非零衰退切向 d: return unbounded
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H = convex_hull(V)
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D, (a,b) = argmax_{v_i,v_j∈H} |v_i-v_j|
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o = (a+b)/2
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covers = max_{v∈H} |v-o| <= D/2
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输出 diameter、diameter_circle、witness
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(m,rho) = Welzl_MEC(H)
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输出 minimum_enclosing_circle 与 rho+eps<=20 清除证书
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```
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## 5. 复杂度与数值实现
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| 步骤 | 复杂度 |
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| 生成半平面 | $O(k)$，$k=3n$ |
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| 边界交点枚举与可行性判定 | $O(k^3)$ |
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| 凸包 | $O(k^2\log k)$ 最坏 |
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| 直径 | $O(m^2)$ |
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| 直径圆检查 | $O(m)$ |
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| Welzl 最小圆 | 随机排列下期望 $O(m)$；固定排列不声称最坏线性 |
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主要数值约定：
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- 坐标归一化后计算，输出换回原坐标并重新复核包含性；
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- 仅对**精确平行**直线对跳过求交；近平行对保留；
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- 位置可行性容差随坐标幅值缩放；衰退锥判定使用独立紧阈值；
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- `solve` 主动限制最多 100 个检测点，超过时要求改用半平面交算法；
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- 所有输出用 `null`/显式标志表示空集和无界，不写非法 JSON 浮点数。
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## 6. 已验证算例与结果
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固定解析算例（`examples/q1`，当前代码实测）：
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| 算例 | 状态 | 直径 (m) | MEC 半径 (m) | 直径圆覆盖 | 最大超出 (m) | MEC 可直接清除 |
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| `normal` 三点交会 | polygon | 26.986 | 13.943 | 否（2 个圆外顶点） | 3.964 | 是 |
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| `triangle` 等边三角形反例 | polygon | 40.000 | 23.094 | 否（1 个圆外顶点） | 14.641 | 否 |
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| `segment` 零误差退化线段 | segment | 100.000 | 50.000 | 是 | 0.000 | 否 |
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| `poor` 近共线检测点 | unbounded | — | — | — | — | — |
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| `empty` 不相容观测 | empty | — | — | — | — | — |
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`triangle` 的三个顶点是 $(0,0)$、$(40,0)$、$(20,20\sqrt3)$：以直径
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$AB$ 为直径的圆圆心 $(20,0)$、半径 20，到 $C$ 的距离为 $20\sqrt3>20$，
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故不能覆盖；最小包围圆半径 $40/\sqrt3\approx23.094$，也不能一次清除。
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其中 $A=(0,0)$ 坐标是浮点下的 $-6.4\times10^{-13}$，上表按解析值取整。
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既有官方演练观测（案例 `U5ZW-P9KN-TCAG-R7ST`，不公开源坐标、未执行清除）
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的复算结果：
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| 误差半角 | 直径 (m) | MEC 半径 (m) | 直径圆最大超出 (m) |
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| --- | ---: | ---: | ---: |
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| $1^\circ$ | 23.996723 | 12.068583 | 0.604002 |
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| $1.005^\circ$ | 24.119088 | 12.130377 | 0.608486 |
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两种口径下直径圆都不覆盖定位区域，MEC 半径都小于 20 m，但该演练没有
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真实清除动作，不能据此声称实测定位误差或全清成功率。
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`project/q1` 的 40 个随机交会算例（冻结算例与独立参考解对拍）：
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| 方法 | 状态准确率 | 直径平均绝对误差 | 直径圆覆盖准确率 | 平均耗时 |
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| --- | ---: | ---: | ---: | ---: |
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| 生产 `solve` | 100% | 0.000 m | 100% | 0.086 ms |
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| 朴素基线（网格 + 包围盒对角线） | 100% | 4.583 m | 52.5% | 15.932 ms |
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## 7. 与问题二/三/四当前实现的复用关系和差异（核对结果）
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问题一给出的几何内核是后续所有几何决策的基础，但**复用方式是“语义 + 最小圆函数”，
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不是直接调用 `solve`**。代码层面的核对结果如下。
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| 后续问题 | 实际复用了什么 | 实际没有复用 / 做了什么替换 |
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| 问题二（`planner.select_second_point`） | 同一套角域半平面语义；`smallest_enclosing_circle` 求候选集 MEC；用 MEC 半径构造保证接收盘 | 不调用 `solve`；候选集不是纯角域交，而是 $K_1=\Omega\cap W\cap B(s,1500)$；用 192 边形外包圆盘 + Sutherland–Hodgman 裁剪，而不是枚举直线交点；不计算直径，也不使用“直径中点圆”判据 |
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| 问题三（`belief.CandidateRegion`、`planner.bayes_loop`） | 复用 `smallest_enclosing_circle`；角域边界公式与问题一相同；MEC 作为清除证书 | 在线信念是有界凸外包多边形，圆盘边界是外切多边形而非精确曲线；不再判无界；no_signal 的负观测由网格粒子滤波处理（问题一模型里没有负观测）；不用直径，而用“MEC 半径 + 外包余量 + 工程余量 $\le20$” |
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| 问题四（`planner.DirectionalExtension`、`belief.joint`） | 继续复用问题一的 MEC 与角域语义；（位置 × 朝向）联合信念也建立在同一网格上 | 定向源的 no_signal 不能排除位置，不能沿用问题一/三的纯角度或全向距离解释；覆盖语义改为 `forward_half_disk`（见 `algo-4.md`） |
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代码证据：
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- `src/mcm26b/belief/__init__.py` 只从 `geometry.localization` 导入
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`smallest_enclosing_circle`；
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- `src/mcm26b/particles.py` 同样只导入 `smallest_enclosing_circle`；
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- `生产/运行代码中 `geometry.localization.solve` 的调用者只有
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`geometry/__main__.py` 和 `project/q1/optimal.py`，即问题一 CLI 与其
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对比框架；测试文件会直接调用它做解析与随机对拍，不在此列；
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- 在线 `clip_wedge` 的半平面系数与问题一 `halfplanes` 一致，但作用在
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凸多边形裁剪流程上；`solve` 的“纯角域 + 精确顶点枚举 + 无界判定”
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是针对问题一的一站式分析工具，不适合直接嵌入带圆盘、负观测和状态更新
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的在线闭环。
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**差异一句话总结：** 问题一回答“固定角域观测下源可能在哪里、直径圆能否覆盖”，
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是纯几何精确解；问题二至四把其中的角域半平面和最小圆升级为“带距离先验的
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保守信念 + 主动动作 + 证据证明”的闭环，问题三再加非凸负观测，问题四再加
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朝向维度。
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## 8. 结论与适用边界
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问题一的当前实现是：三条半平面 → 可行顶点枚举/凸包 → 衰退锥判有界 →
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顶点对精确直径 → 任意直径中点唯一候选的覆盖检验 → Welzl 最小包围圆与
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20 m 证书。其结论只依赖题面有界误差，不引入误差分布假设。空集、无界、
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点、线段和多边形状态都有明确输出。
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未解决问题一的数值敏感性时，不应把在线闭环里的外包多边形半径直接当成
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问题一的精确直径；两者口径不同。反过来，在线闭环也不能把 `solve` 直接套在
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$K_1$ 上，因为 $K_1$ 含圆盘和距离上界，边界可能含圆弧。
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## 参考文献
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1. 全国大学生数学建模竞赛组委会. 2026 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛 B 题：无线电干扰源的快速自动定位与清除[Z]. 2026. 本地题面 `issue/B题.pdf`。
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2. BOYD S, VANDENBERGHE L. Convex Optimization[M]. Cambridge University Press, 2004. 凸集、半平面与凸组合背景。
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||
3. WELZL E. Smallest enclosing disks (balls and ellipsoids)[C]//New Results and New Trends in Computer Science, LNCS 555, 1991: 359–370. 随机增量最小包围圆。
|
||
4. 本项目. `docs/algo-2.md`（问题二当前实现）. 问题二对本文半平面语义与最小圆的复用说明。
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||
5. 本项目. `docs/algo-3.md`、`docs/algo-4.md`. 在线闭环中的保守信念、负观测与联合信念差异。
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